四川省成都市石室中学2023届高考理科数学适应性考试（二）试题（Word版附解析）

成都石室中学高2023届高考适应性考试（二）理科数学（全卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.1.集合的真子集的个数为（）A.3B.7C.15D.16【答案】C【解析】【分析】由对数函数的定义域结合真子集的知识得出答案.【详解】因为，所以集合A的真子集的个数为.故选：C.2.有下列四个命题，其中是真命题的是（）A.“全等三角形的面积相等”的否命题B.在中，“”是“”的充分不必要条件C.命题“，”的否定是“，”D.已知，其在复平面上对应的点落在第四象限【答案】D【解析】 【分析】利用原命题与否命题的关系即可判断A；利用充分必要条件即可判断B；利用全称命题的否定的定义即可判断C；利用复数的几何意义即可判断D．【详解】对于A，“全等三角形的面积相等”的否命题是“不全等三角形的面积不相等”，这显然是假命题，故A错误；对于B，在中，，由，得，所以“”是“”的必要不充分条件，故B错误；对于C，命题“，”的否定是“，”，故C错误；对于D，，所以其对应的点为，在第四象限，故D正确.故选：D．3.某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前､后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图.下列结论正确的是（）A.招商引资后，工资净收入较前一年减少B.招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍C.招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的D.招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍【答案】D【解析】【分析】根据已知条件及扇形图的特点即可求解.【详解】设招商引资前经济收入为M，则招商引资后经济收入为2M.对于A，招商引资前工资净收入为，招商引资后的工资净收入为，所以招商引资后，工资净收入增加了，故A错误；对于B，招商引资前转移净收入为，招商引资后转移净收入为， 所以招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍，故B错误；对于C，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为，所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的，故C错误；对于D，招商引资前经营净收入为，招商引资后经营净收入为，所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确.故选：D.4.幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（）A.B.是减函数C.奇函数D.是偶函数【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的定义及单调性可判断AB，再由奇函数的定义判断CD.【详解】函数为幂函数，则，解得或.当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A；当时，在区间上单调递减，满足题意.函数在和上单调递减，但不是减函数，排除B；因为函数定义域关于原点对称，且，所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.故选：C.5.函数图象的对称轴可以是（）A.直线B.直线C.直线D.直线【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式及二倍角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质求出函数的对称轴. 【详解】，令，解得，所以的对称轴为直线，当时，.故选：A.6.已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，则，则D.若，，则【答案】B【解析】【分析】若，，则或，A错；由线面平行的性质可判断B正确；由面面垂直的性质定理判断C错；由线面平行的判定定理即可得出D错.【详解】对于A，若，，则或，故A错误；对于B，若，，过m作平面与，分别交于直线a，b，由线面平行的性质得，，所以，又，，所以，又，，所以，所以，故B正确；对于C，由面面垂直的性质定理可得，当时，，否则不成立，故C错误；对于D，若，，则或，故D错误.故选：B7.2023年1月底，人工智能研究公司OpenAI发布的名为“ChatGTP”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.5.则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：） A.36B.37C.38D.39【答案】A【解析】【分析】由已知求得衰减系数，然后根据已知模型列不等式求解．【详解】由已知，得，所以，则有，即，即，即，因此G至少为36.故选：A.8.已知双曲线的右顶点为A，左､右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为M，且，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先利用渐近线的斜率求得，再利用余弦定理求得，进而求得，从而得到关于的齐次方程，解之即可得解.【详解】设双曲线C的半焦距为，如图，由题意可得，直线OM的方程为，有，即有，又，解得，在中，， 由余弦定理，得，因此，即有，又，则，，又，于是，所以，即，则，两边同时除以，得，即，解得（舍去）或，所以该双曲线的离心率，故选：B.9.设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（）A.的最小值是B.的最小值是C.最大值是D.的最大值是【答案】A【解析】【分析】由结合等差数列的前n项和公式可知数列为递增的等差数列，由可得，，即可求出，有最小值，且最小值为.详解】由，得，即，所以数列为递增的等差数列.因为，所以，即，则，，所以当且时，；当且时，.因此，有最小值，且最小值为.故选：A.10.安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人，根据排列组合得出各自有多少种，再得出甲、乙到同一家企业实习的情况有多少种，即可计算得出答案.【详解】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；当分为3,1,1人时，有种实习方案，当分为2,2,1人时，有种实习方案，即共有种实习方案，其中甲、乙到同一家企业实习的情况有种，故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为，故选：D.11.已知平面上两定点，则所有满足且的点的轨迹是一个圆心在直线上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为6的正方体表面上的动点满足，则点的轨迹长度为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】以为原点建立平面直角坐标系，结合题意可得点在空间内的轨迹为以为球心，半径为4的球.再根据球的性质求解即可.【详解】在图1中，以为原点建立平面直角坐标系如图2所示，设阿氏圆圆心为，半径为. 因为，所以，所以.设圆与交于点.由阿氏圆性质，知.又，所以.又，所以，解得，所以，所以点在空间内的轨迹为以为球心，半径为4的球.①当点在面内部时，如图2所示，截面圆与分别交于点，所以点在面内的轨迹为.因为在Rt中，，所以，所以，所以点在面内部的轨迹长为.②同理，点在面内部的轨迹长为.③当点在面内部时，如图3所示，因为平面，所以平面截球所得小圆是以为圆心，以长为半径圆，截面圆与分别交于点，且，所以点在面内的轨迹为，且.综上，点的轨迹长度为.故选：C12.若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】题设中的不等式等价于，令，结合导数可得该函数的单调性，结合可得的解，从而可求实数的取值范围.【详解】由有意义可知，.由，得.令，即有.因为，所以，令，问题转化为存在，使得.因为，令，即，解得；令，即，解得，所以在上单调递增，在上单调递减.又，所以当时，.因为存在，使得成立，所以只需且，解得.故选：.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x，y满足约束条件，则的最大值为______.【答案】2【解析】【分析】先作出可行域，再根据目标函数的几何意义分析运算.【详解】作约束条件的可行域，如图所示.由，解得，令. 将目标函数变形为，表示斜率为2，纵截距为的直线，根据其几何意义可得，当直线经过点时，其纵截距最小，即当时，目标函数z取到最大值，则的最大值为2.故答案为：2.14.已知数列满足，，若，，则的值为______.【答案】或【解析】【分析】由等比的定义结合其性质得出的值.【详解】因为，，所以数列为等比数列，设其公比为q.由，，得，，所以.当时，，则；当时，，则.综上，的值为或.故答案为：或15.已知函数，若函数有且只有三个零点，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调性与极值，画出函数图象，数形结合即可得解.【详解】当时，，，所以当时，当或时，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且，；当时，，，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，令，则，又.作出函数的函数图象如下：若有且只有三个零点，即与只有三个交点，由图可知需满足.故答案为：16.已知为抛物线上两点，以为切点的抛物线的两条切线交于点，设以为切点的抛物线的切线斜率为，过点的直线斜率为，则以下结论正确的有__________.（填序号）①成等差数列；②若点的横坐标为，则；③若点在抛物线的准线上，则是钝角三角形；④若点在直线上，则直线恒过定点.【答案】①②④【解析】【分析】利用导数的几何意义分别表示出切线和的方程，设，得到为方程 的两根.利用根与系数的关系判断出，即可判断①正确；由直接求出，即可判断②正确；由判断出两切线垂直，即可判断出③错误；求出直线方程：，即可判断④正确.【详解】设.由，得，故，所以切线的方程为，即.同理可得，切线的方程为.设点的坐标为，所以，所以为方程的两根，故，则，所以直线的方程为.因为，所以，所以成等差数列，故①正确；若，则，故②正确；若点在抛物线的准线上，则，所以，故两切线垂直，所以为直角三角形，故③错误；若点在直线上，则.由直线的方程，得.又，故直线的方程为，即，所以直线恒过定点，故④正确.故答案为：①②④三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题，共60分.17.某企业为了解年广告费（单位：万元）对年销售额（单位：万元）的影响，统计了近年的年广告费和年销售额的数据，得到下面的表格： 年广告费2345678年销售额25415058647889由表中数据，变量的相关系数，可判定变量的线性相关关系较强.（1）建立关于的线性回归方程；（2）已知该企业的年利润与的关系为.根据（1）的结果，年广告费约为何值时（小数点后保留一位），年利润的预报值最大？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.参考数据：.【答案】（1）（2）万元时，年利润的预报值最大【解析】【分析】（1）由已知数据分别求出变量的平均数，代入回归直线的斜率和截距公式，可求出线性回归方程；（2）利用换元法结合二次函数的性质，得出年利润的预报值最大时的年广告费．【小问1详解】由表格数据，得，由公式得，，故关于的线性回归方程为.【小问2详解】由（1）得， 设，所以，所以，故当时，取最大值，所以万元时，年利润的预报值最大.18.如图，四边形为菱形，，平面，，．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据根据线面垂直的判定定理先证明平面，再利用面面垂直的判定即可证明平面平面；（2）先根据题意建立合适的空间直角坐标系，再求出平面和平面的法向量，再根据二面角的空间向量求法即可得到答案．【小问1详解】因为四边形为菱形，所以，因为平面，平面，所以，又，且，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．【小问2详解】 如图，设交于点，以为轴，为轴，过点且平行于的方向为轴建立空间直角坐标系，设，则，，因为，，所以是正三角形，则，则，，，，则，，，设平面的法向量为，则，得，取，得，，即，设平面的法向量为，则，得，取，得，，即，所以，又二面角为钝角，故二面角的余弦值为．19.在中，角所对的边分别为，且，边上有一动点.（1）当为边中点时，若，求的长度；（2）当为的平分线时，若，求的最大值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由正弦定理的边化角公式得出，再由向量的运算得出的长度；（2）由余弦定理结合基本不等式得出，再由得出，最后由对勾函数的单调性得出的最大值.【小问1详解】解：因为，所以，即.由正弦定理，得.因为，所以.因为，所以.又因为，所以，所以.因为为边中点，所以，则.又，所以，即，即，所以【小问2详解】在中，由余弦定理，得.又，所以，所以，当且仅当时取等号， 所以，所以.因为平分，所以，所以，所以.令，则.因为在上单调递增，所以当即时，取得最大值为，所以的最大值为.20.已知点，动点满足直线与的斜率之积为.记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程，并说明是什么曲线；（2）设为曲线上的两动点，直线的斜率为，直线的斜率为，且.①求证：直线恒过一定点；②设的面积为，求的最大值.【答案】（1），曲线为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左､右顶点. （2）①证明见解析；②最大值为.【解析】【分析】（1）根据题目所给条件列出方程化简即可得解；（2）①设直线的方程为，根据结合根与系数的关系化简，可得即可得证；②根据三角形面积公式得出面积表达式，利用配方法求最大值即可.【小问1详解】由题意，得，化简得，所以曲线为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左､右顶点.【小问2详解】如图，①证明：设.因为若直线的斜率为0，则点关于轴对称，必有，不合题意，所以直线的斜率必不为0.设直线的方程为.由得，所以，且因为点是曲线上一点，所以由题意可知， 所以，即因为所以，此时，故直线恒过轴上一定点.②由①可得，，所以当且仅当即时等号成立，所以的最大值为.21.已知函数.（1）若，求实数的值；（2）已知且，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）由题意分析得到是函数的极小值点，则解得再代入验证符合题意；（2）由（1）可得，.令得到.令，利用导数证明出，得到，累加即可证明.【小问1详解】由，得.令，则.注意到，所以是函数的极小值点，则，所以，得.当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，满足条件，故.【小问2详解】由（1）可得，.令，则，所以，即.令，则，且不恒为零，所以函数在上单调递增，故，则，所以，令分别取，累加得：.即证. 【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围；（4）利用导数证明不等式.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），直线l的方程为.（1）当时，求曲线的直角坐标方程；（2）当时，已知点，直线l与曲线交于A，B两点，线段AB的中点为M，求的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用完全平方公式与三角函数的基本关系式消去参数即可得解；（2）先利用三角函数的基本关系式与倍角公式求得曲线的直角坐标方程，再结合题意求得直线l的参数方程，联立两方程得到关于参数的一元二次方程，再利用参数的几何意义即可得解.【小问1详解】当时，曲线的参数方程为（t为参数），因为，且，所以曲线的直角坐标方程为.【小问2详解】当时，曲线的参数方程为（t为参数），因为，， 所以曲线的直角坐标方程为，由题意易知在直线，且直线的斜率为，倾斜角为，故设直线l的参数方程为（为参数），将直线l的参数方程代入，得，易得，设点A，B，M对应的参数分别为，，，则由韦达定理得，又线段AB的中点为M，所以，所以.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）设函数的最小值为m，正数a，b，c满足，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分，，三种情况去绝对值解不等式组即可求解；（2）先求出函数的最小值，再用柯西不等式证明.【小问1详解】解：当时，，所以，解得；当时，，所以的解集为； 当时，，所以，解得.综上，的解集为.【小问2详解】证明：由（1）可知，当时，，所以.由柯西不等式可得，，所以，当且仅当，，时等号成立，原命题得证.