四川省乐山市沫若中学2021-2022学年高二数学（文）下学期第二次月考试题（Word版附解析）

2021级高二下5月月考数学试卷（文）一、单选题（每题5分，总计60分）1.复数(为虚数单位)在复平面内表示的点的坐标为A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】分析：求出复数的代数形式，再写出在复平面内表示的点的坐标．详解：复数，所以复数在复平面内表示的点的坐标为，选A.点睛：本题主要考查了复数的四则运算，以及复数在复平面内所表示的点的坐标，属于容易题．2.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由全称命题否定：任意改存在并否定结论，即可得答案.【详解】由全称命题的否定为特称命题，所以，原命题的否定为.故选：C3.函数的单调递增区间是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用导数研究函数的单调区间即可.【详解】由，故时，时，所以时递减，时递增， 综上，的递增区间为.故选：C4.德国数学家莱布尼兹于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国.我国数学家、天文学家明安图为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年（1736年）开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算开创先河，如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于的级数展开式计算的近似值（其中P表示的近似值）”.若输入，输出的结果P可以表示为A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据已知程序框图依次代入计算,即可得出输出结果.【详解】第1次循环:;第2次循环:； 第3次循环:;…第8次循环:,此时满足判定条件,输出结果.故选:C【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出,其中解答中认真审题,逐次计算,得到程序框图的计算功能是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题5.我国古代典籍《周易》用“卦”推测自然和社会的变化，如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦、分别象征着天、地、雷、风、水、火、山、泽八种自然现象.每一卦由三个爻组成，其中“▃”表示一个阳爻，“▃▃”表示一个阴爻）.若从含有两个或两个以上阴爻的卦中任取两卦，这两卦中恰好含有两个阳爻的概率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先写出所有情况为6种，再得到其中满足题意的情况，最后即可得到概率.【详解】含有两个或两个以上阴爻的卦有坎、艮、震、坤卦，若任取两卦则有种，其中恰好含有两个阳爻的有坎卦与艮卦；坎卦与震卦；艮卦与震卦共3种，故概率为，故选：B.6.已知：，那么命题的一个必要非充分条件是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先解不等式求出，然后结合选项根据必要不充分条件的概念即可判断.【详解】因为，所以，然后结合选项根据必要不充分条件的概念可判断，故选：B.7.已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试成绩统计的折线图如下，下列说法正确的是（）A.若甲、乙两组数据的方差分别为，，则B.甲成绩比乙成绩更稳定C.甲成绩的极差大于乙成绩的极差D.若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则【答案】B【解析】【分析】根据题中折线图的数据信息以及变化趋势，结合平均数、方差和极差的定义逐项分析判断【详解】对A、B：由折线图的变化趋势可知：甲的成绩较为集中，乙成绩波动很大，故甲成绩比乙成绩更稳定，故，故A错误，B正确；对C：极差为样本的最大值与最小值之差，甲的极差大约为30，乙的极差远大于30，故甲的极差小于乙的极差，C错误；对D：由图可知：甲的成绩除第二次略低于乙的成绩，其余均高于乙的成绩，故，D错误；故选：B.8.若f′(x0)＝，则等于（）A.－1B.－2C.1D.2 【答案】D【解析】【分析】利用导数的定义求解,【详解】解：因为f′(x0)＝，所以，故选：D9.函数在区间的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根据函数解析式判断函数的奇偶性，发现是奇函数，排除C、D；观察A、B两项，发现图像在处的增减趋势不同，所以对函数进行求导，再把特殊值代入导函数中判断即可.【详解】因为，所以是奇函数，排除C、D两项；当时，，则，所以， 所以在处的切线斜率为负数，故排除A项；故选：B.10.已知是区间内任取的一个数，那么函数在上是增函数的概率是（　　）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先得到恒成立，则解出的范围，再根据其在内取数，利用几何概型公式得到答案.【详解】，在上是增函数恒成立解得或又是区间内任取的一个数由几何概型概率公式得函数在上是增函数的概率故选：C．11.已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将问题转化为有两个不同的实数根，构造函数利用导数求解单调性即可求解最值. 【详解】存在两个零点，则有两个不同的实数根，当时，只有一个零点，不符合题意，故，即有两个不同的实数根，记，当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，故当时，取极大值也是最大值，又当时，，如图为的图象要使有两个不同的实数根，则，所以，故选：C12.已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不等式成立的x的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设，求导得，进而可得时，单调递增，由于为偶函数，推出为奇函数，进而可得在上单调递增，由于，则，由于，则，推出，即可得出答案．【详解】设，，由题意得时，，单调递增， 因为为偶函数，所以，所以，所以为奇函数，所以在上单调递增，因为，所以，因为，所以，所以，所以，故选：C．二、填空题（每题5分，总计20分）13.已知，则_____．【答案】【解析】【分析】先求出，令后可得的值．【详解】，令，则，故．填．【点睛】本题考查函数导数的运算，属于容易题，求导时注意为常数．14.为庆祝中国共产党第二十次代表大会胜利闭幕，某高中学校在学生中开展了“学精神，悟思想，谈收获”二十大精神宣讲主题活动．为了解该校学生参加主题学习活动的具体情况，校团委利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了260人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了85人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生______人．【答案】【解析】【分析】根据题意求得每个学生抽到的概率，结合分层抽样列出方程，即可求解.【详解】利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了260人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了85人，可得高三年级共有90人， 又由高三年级共有720名学生，则每个学生被抽到的概率为，设该校共有名学生，可得，解得（人），即该校共有名学生.故答案为：.15.已知，对，且，恒有，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据对条件做出的解释构造函数，利用函数的单调性求解.【详解】对，且，恒有，即，所以函数是增函数，设，则在上单调递增，故恒成立，即，设，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；故，即；故答案为：.16.如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠C为直角，BC=2，EF∥BC，沿EF把面AEF折起，使面AEF⊥面EFBC，当四棱锥A-CBFE的体积最大时，EF的长为__． 【答案】##【解析】【分析】由题意推出AE⊥平面BCEF，设EF=x，则AE＝x，EC＝2-x，表示出四棱锥A﹣CBFE的体积，利用导数求其最值，即可得答案.【详解】由题意可知AEC是等腰直角三角形，EF∥BC，沿EF把面AEF折起，使面AEF⊥面EFBC，,平面AEF平面EFBC=EF，平面AEF,故AE⊥平面BCEF，设EF=x，则AE＝x，EC＝2-x，四棱锥A﹣CBFE的体积：V，（），，由，解得x，当x∈(0，)时，，当x∈(，2)时，,∴当时，四棱锥A﹣CBFE的体积最大，即EF的长为．故答案为：．三、解答题（17题10分，其余各题12分，总计70分）17.已知函数在处取得极大值.（1）求的值；（2）当时，求的最大值.【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）求导得，根据函数极值与导数的关系得到关于方程组，解出并检验即可；（2）直接求导，列出函数与导函数变化的表格，通过表格即可求出最大值. 【小问1详解】，且函数在处有极值1，，解得.又当时，当或时，，当时，，故在处取得极大值，满足题意.综上，.【小问2详解】当，时，．则．当变化时，与的变化情况如下表：1单调递减极小值单调递增5所以时，的最大值为.18.近几年，在缺“芯”困局之下，国产替代的呼声愈发高涨，在国家的政策扶持下，国产芯片厂商呈爆发式增长．为估计某地芯片企业的营业收入，随机选取了10家芯片企业，统计了每家企业的研发投入（单位：亿）和营业收入（单位：亿），得到如下数据：样本号i12345678910研发投入224681014161820营业收入1416303850607090102130 并计算得，，，，．（1）求该地芯片企业研发投入与营业收入的样本相关系数r，并判断这两个变量的相关性强弱（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，r精确到0.01）；（2）现统计了该地所有芯片企业的研发投入，并得到所有芯片企业的研发投入总和为268亿，已知芯片企业的研发投入与营业收入近似成正比．利用以上数据给出该地芯片企业的总营业收入的估计值．附：相关系数，．【答案】（1），两个变量线性相关程度较高（2）该地芯片企业的总营业收入的估计值为亿元．【解析】【分析】（1）由条件数据求，利用关系，，求值，代入公式求相关系数即可；（2）设该地芯片企业的总营业收入的估计值为m，由条件，列关系式求即可.【小问1详解】因为，，所以，，又，，，所以，，， 所以，故两个变量线性相关程度较高．【小问2详解】设该地芯片企业的总营业收入的估计值为m，则，解得，所以该地芯片企业的总营业收入的估计值为亿元．19.某学校有学生人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这名学生打分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为.（1）求频率分布直方图中的值，并估计该校学生满意度打分不低于分的人数；（2）若采用分层抽样的方法，从打分在的受访学生中随机抽取人了解情况，再从中选取人进行跟踪分析，求这人至少有一人评分在的概率.【答案】（1），680人（2）【解析】【分析】（1）由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，即可求出，再估计出满意度打分不低于分的人数；（2）首先求出打分在和内人数，再用列举法列出所有可能结果，最后根据古典概型的概率公式计算可得.【小问1详解】 由频率分布直方图可知，，解得.该校学生满意度打分不低于分的人数为.【小问2详解】由频率分布直方图可知，打分在和内的频率分别为和，抽取的人采用分层抽样的方法，在内的人数为人，在内的人数为人.设内的人打分分别为，，内的人打分分别为，，，则从的受访学生中随机抽取人，人打分的基本事件有：，，共种.其中两人都在内的可能结果为，则这人至少有一人打分在的概率.20.如图，在直三棱柱中，，D为的中点，为上一点，且．（1）证明：∥平面；（2）若，，求点到平面距离．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）如图，连接交于点，连接，证明，原题即得证；（2）由题知点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，过作，垂足为 ，连接，过作，垂足为，先证明平面，即线段为点到平面的距离，再求出即得解.小问1详解】如图，连接交于点，连接，因为四边形为矩形，且为的中点，所以，又因为，所以，所以，因为平面，平面，所以平面．【小问2详解】由题知点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，过作，垂足为，连接，过作，垂足为，因为平面，平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面，因为平面，所以.又平面，，所以平面，即线段为点到平面的距离．因为，，，所以，由几何关系可知，所以，，由几何关系可知，所以，故点到的距离为． 21.设函数．（1）若，求的单调区间；（2）若对任意，都有，求实数的取值范围．【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为（2）【解析】【分析】（1）求导后，根据正负可得的单调区间；（2）采用分离变量法可得，令，利用导数可求得，由此可得的范围.【小问1详解】当时，，，则当时，；当时，；的单调递减区间为，单调递增区间为.【小问2详解】由得：，当时，，， 令，则；令，则，，在上单调递减，，，即实数的取值范围为.22.已知函数.（1）讨论的单调性.（2）若存在两个零点，且曲线在和处的切线交于点.①求实数的取值范围；②证明：.【答案】（1）答案见解析（2）①；②证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数分成，两种情况讨论函数的单调性；（2）①利用导数得出函数的单调性，结合函数图像得出实数的取值范围；②由曲线在和处的切线方程联立，得出，又存在两个零点，代入得出，要证，只需证，即证，只要证即可.【小问1详解】 .当时，在上单调递减；当时，令，得.当时，，当时，，.所以在上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】①由（1）知，当时，在上单调递减，不可能有两个零点，当时，在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，又，；，；所以的取值范围是.②曲线在和处的切线分别是，联立两条切线方程得，所以.因为所以.要证，只需证，即证，只要证.令，. 则，所以在上单调递减，所以，所以，所以.【点睛】已知函数零点个数求参数范围问题方法点睛：可以通过构造函数，分情况讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，根据零点个数，考虑图像的交点情况，得出参数的取值范围.