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四川省 2022-2023学年高二文科数学下学期5月月考试题(Word版附解析)
四川省 2022-2023学年高二文科数学下学期5月月考试题(Word版附解析)
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广安友谊中学2023年春季高2021级5月月考文科数学试题一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解出集合,将集合进行运算即可得出结论.【详解】,,而,则,故A错误,B正确;,故C错误;,故D错误;故选:B.2.若复数满足,则的虚部为()A.B.2C.1D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算求得,即得答案.【详解】复数满足,故,故的虚部为2,故选:B3.函数()A.有极大值1,无极小值B.无极大值,也无极小值C.有极小值0,极大值1D.有极小值1,无极大值【答案】D【解析】 【分析】直接求导得,利用导数与极值的关系即可得到答案.【详解】,,当时,,此时函数单调递减,当时,,此时函数单调递增,所以当时,函数有极小值,无极大值,故选:D.4.若实数满足约束条件则的最小值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】作出可行域,结合图形即可得出结果.【详解】如图所示作出可行域,当过直线和的交点即时,此时.故选:C5.已知命题:,,则“”是“是真命题”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由,求出的范围,然后可得“是真命题”对应的 的范围,然后可判断出答案.【详解】由,可得,,所以“是真命题”对应的的范围是,所以“”是“是真命题”的充分不必要条件,故选:A6.已知,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据角的变换及诱导公式将转化,再利用二倍角的余弦公式即可求得答案.【详解】因为,故,故选:A7.在中,角,,的对边分别是,,,,,,则A.2B.C.D.【答案】B【解析】【详解】由正弦定理可得,由于所以由余弦定理可得所以. 故选B.8.已知抛物线上一点到其焦点的距离为5,双曲线的左顶点为,若双曲线一条渐近线与直线平行,则实数等于()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由得抛物线方程,在抛物线上求得坐标,再根据双曲线一条渐近线与直线平行可得答案.【详解】由已知得,所以,所以,又在上,所以,,所以,又双曲线的左顶点,一条渐近线为,又,所以,解得.故选:A.9.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题,叫做“物不知数”,原文如下:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?现有这样一个相关的问题:被3除余2的正整数按照从小到大的顺序排成一列,构成数列,记数列的前项和为,则的最小值为()A.20B.25C.D.40【答案】B【解析】【分析】先由根据题意得到等差数列的首项与公差,计算出,再应用基本不等式求得的最小值.【详解】被除余的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为,公差为的等差数列 ,则∴当且仅当,即时,等号成立,故选:B.10.过直线:上的点作圆:的切线,则切线段长的最小值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据几何关系表示出切线段长度,根据几何关系即可求出其最小值.【详解】设直线上任意一点为P,过P作圆的切线,切点为M,圆C圆心C为,半径,则,要使最小,则最小,易知最小值为圆心C到直线l距离.即,∴.故选:B.11.如图,已知正方体的棱长为2,,,分别为,,的中点,以下说法错误的是() A.三棱锥的体积为1B.平面C.异面直线与所成的角的余弦值为D.过点,,作正方体的截面,所得截面的面积是【答案】C【解析】【分析】对于A,根据三棱锥体积公式计算,结合正方体的性质,可得答案;对于B,根据线面垂直,证得线线垂直,利用线面垂直判定定理,可得答案;对于C,根据异面直线夹角的定义,利用几何法,结合余弦定理,可得答案;对于D,利用平行进行平面延拓,根据正六边形的面积公式,可得答案.详解】对于A,取中点,连接,,,,如下图:分别为的中点,平面,设正方形的面积,,,故A正确;对于B,连接、、,如下图: 分别为的中点,且为正方形的对角线,,在正方体中,平面,且平面,,,平面,平面,平面,,同理可得,分别是的中点,,,即,,,平面,平面,故B正确;对于C,连接,,,,,如下图:分别为的中点,,,则,故为异面直线与所成的角或其补角,,,,, 异面直线与所成的角的余弦值为,故C错误;对于D,取的中点,的中点,的中点,连接,,,,,如下图:易知,,,且正六边形为过点作正方体的截面,则其面积为,故D正确.故选:C.12.已知函数满足:①定义域为;②;③有且仅有两个不同的零点,,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意可转化为有且仅有两个不同的零点,,对求导,结合的单调性可知,由此可知另一根为,由的范围可求出的范围,即可求出的取值范围.【详解】函数有且仅有两个不同的零点,,因为,令,即有且仅有两个不同的零点,,得或,若,令,可得或;令,可得, 所以在上单调递增,在上单调递减,同理若,在上单调递增,在上单调递减,因为,,要使有且仅有两个不同的零点,,则,而,则,因为,则,则,则有一根是确定的为,又因为,所以的另一根为,所以,因为,,.故选:B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知平面向量,若,则__________.【答案】【解析】【分析】求出,由垂直关系列出方程,求出答案.【详解】,因为,所以,解得.故答案为:14.某研究所收集、整理数据后得到如下列表:x23456y3791011由两组数据可以得到线性回归方程为,则______.【答案】0.4 【解析】【分析】求出样本中心点,代入回归方程即可求解【详解】根据题意可得,,,又,所以故答案为:15.如图,用一边长为正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将体积为的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为______.【答案】##【解析】【分析】先求得球的半径,画出组合体截面的图像,通过构造直角三角形来求得蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离.【详解】根据球的体积公式,有.题目所给图中,虚线的小正方形的边长为,其一半为,四个等腰直角三角形斜边上的高为.画出截面图形如下图所示,其中,故.所以鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面距离为.故答案为:16.设函数. ①的最小正周期为;②的最大值为;③在区间上单调递减;④,都有成立;⑤的一个对称中心为.其中真命题有__(请填写真命题的编号).【答案】③④【解析】【分析】利用验证法可判断①;利用导数可判断函数单调性,进而判断②③⑤;构造函数,结合导数分析单调性,进而判断④.【详解】,,的最小正周期不是,即①错;,当,即,时,单调递增;当,即,时,单调递减;在区间上单调递减,故③对,,故②错;由单调性知,不可能是函数的对称中心,故⑤错;令,则,故在上为增函数,故,即,故④对;故答案为:③④.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.已知等比数列的各项均为正数,且,.(1)求的通项公式;(2)数列满足,求的前项和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据条件建立关于的方程组,然后解出即可得答案;(2)利用分组求和法求出答案即可.【小问1详解】∵,∴,,解得,∴;【小问2详解】由题可知,∴,∴,18.经调查某市三个地区存在严重的环境污染,严重影响本地区人员的生活.相关部门立即要求务必加强环境治理,通过三个地区所有人员的努力,在一年后,环境污染问题得到了明显改善.为了解市民对城市环保的满意程度,开展了一次问卷调查,并对三个地区进行分层抽样,共抽取40名市民进行询问打分,将最终得分按分段,并得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值,以及此次问卷调查分数的中位数;(2)若分数在区间的市民视为对环保不满意的市民,从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一步调查,求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率.【答案】(1),中位数为(分)(2)【解析】【分析】(1)根据小矩形的面积之和为即可求出,再根据频率分布直方图求出中位数即可;(2)分别求出和的市民人数,再根据古典概型即可得解.【小问1详解】由题意可得,解得,由,可得此次问卷调查分数的中位数在上,设为,则,解得,所以此次问卷调查分数的中位数为(分);【小问2详解】的市民有人,记为a,b,的市民有人,记为1,2,3,4,则从中抽取两人的基本事件有:共15种,其中两人来自不同的组的基本事件有8种,则所求概率为.19.如图,在四棱锥中,平面平面,已知底面为梯形,,,. (1)证明:.(2)若平面,,求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)余弦定理求得,进而易知,利用面面垂直的性质得平面,最后由线面垂直的性质证结论;(2)利用等体积法求点到平面的距离.【小问1详解】因为,,由余弦定理得,所以,则,因为平面平面,且相交于,面,所以平面,平面,所以.【小问2详解】因为平面,所以,由平面,则,故,在△中,,,设点到平面的距离为,所以,解得,即点到平面的距离为. 20.若椭圆上有一动点,到椭圆的两焦点,的距离之和等于,椭圆的离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)若过点的直线与椭圆交于不同两点、,,(为坐标原点),求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据椭圆的定义求解;(2)先求出直线l的斜率范围,再根据向量的加法规则和点P在椭圆上求出t关于k的表达式,运用函数关系求解.【小问1详解】由题意可知:,解得,∴椭圆方程;【小问2详解】由题意知直线的斜率存在.设,,,,由,得,则,,由韦达定理可得:,,∵,∴,∴. ∴,∴,∴,∴,又∵,∴,∴,,∵点在椭圆上,∴,∴,∵,∴,∴或,∴实数取值范围为;综上,椭圆方程为:,实数取值范围为.【点睛】本题的思路容易找到,但计算量较大,再计算过程中需要多次验算,不要算错.21.已知函数在处的切线方程为.(1)求实数a,b的值;(2)当时,恒成立,求正整数m的最大值.【答案】(1),(2)3【解析】【分析】(1)求出导数,根据题意列出方程组求解即可得解;(2)分离参数转化为的最小值,利用导数判断单调性及极值确定最小值为,根据单调性求出的范围即可得解.【小问1详解】定义域为,. 由题意知,解得,.【小问2详解】由题意有恒成立,即恒成立设,,.当时,,令,其中,则所以函数在上单调递增因为,,所以存在唯一,使得,即,可得.当时,,此时函数单调递减,当时,,此时函数单调递增.,,由对勾函数性质知函数在递减,,.当时,不等式对任意恒成立,正整数m的最大值是3.【点睛】关键点点睛:第一个关键点首先要分离参数,将问题转化为恒成立,第二个关键在于求取函数最小值,需结合零点存在性定理得出隐零点 ,分析的范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)22.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;(2)设曲线与曲线交于P、Q两点,求的值.【答案】(1)曲线的极坐标方程为;即曲线的直角坐标方程为(2)2【解析】【分析】(1)通过消参求得曲线的普通方程,再将普通方程转化为极坐标方程,将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程;(2)利用极径的几何意义求解.【小问1详解】∵,则,∵,曲线的极坐标方程为;由,得,即曲线的直角坐标方程为.【小问2详解】 由得,①由得,②可得,即设P,Q两点所对应的极径分别为,则,∴.[选修4-5:不等式选讲](10分)23.已知函数(1)求不等式的解集;(2)若的最大值为,且正数,满足,求的最小值.【答案】(1)(2)3【解析】【分析】(1)分类讨论去掉绝对值号求解;(2)根据绝对值不等式求出的最大值,利用均值不等式求解即可.【小问1详解】当时,不等式转化为,恒成立.当时,不等式转化为,解得.当时,不等式转化为,无解.综上所述,不等式的解集为.【小问2详解】由,得.,当且仅当时,等号成立,故的最小值为3.
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