山东省青岛地区2022-2023学年高一数学下学期期中考试试卷（Word版附答案）

2022—2023学年度第二学期期中学业水平检测高一数学试题2023.04本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，请将答题卡上交。一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数，则的虚部是A．B．C．D．2．已知向量，，若与垂直，则实数的值为A．B．C．D．3．如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．三棱台4．在中，内角的对边分别为，，，，则A．B．C．D．或5．已知，，复数，，在复平面内对应的点为，若三点共线，则的最小值为A．B．C．D．6．在矩形中，，分别为，的中点，若，则A．B．C．D． 7．在中，为角的平分线，若，，则等于A．B．C．D．8．在中，内角的对边分别为，，则的取值范围为A．B．C．D．二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．若复数满足，则A．B．是纯虚数C．D．若是关于的实系数方程的一个复数根，则10．下列说法正确的是A．向量，能作为平面内所有向量的一组基底B．已知中，点为边的中点，则必有C．若，则是的垂心D．若是的重心，则点满足条件11．在中，内角的对边分别为，则下列说法正确的是A．若，则为等腰三角形B．若，则为等腰或直角三角形C．若为锐角三角形，则D．若，，，则有两解12．已知函数在上单调，且的图象关于点对称，则A．的周期为B．若，则C．将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为奇函数 D．函数在上有个零点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图所示，等腰直角三角形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的周长为．14．已知向量满足，，，则向量的夹角为．15．．16．某公园有一个人工湖，若要测量如图所示的人工湖的口径两点间的距离，现在人工湖岸边取两点，测得，，，，则．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知都是锐角，，．（1）求和的值；（2）求的值．18．（12分）已知半圆圆心为，直径，为半圆弧上靠近点的三等分点，若为半径上的动点，以点为坐标原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示．（1）求在上投影向量的坐标； （2）若，当取得最小值时，求点的坐标及的最小值．19．（12分）在复平面内，是原点，向量对应的复数．（1）若点位于第四象限，求的取值范围；（2）若点关于实轴的对称点为点，求向量对应的复数；（3）若，且，求的取值范围．20．（12分）在“①；②；③”这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．问题：在中，内角的对边分别为，且_______．（1）求角；（2）若的内切圆半径，，求的外接圆半径．21．（12分）已知向量，，记函数．（1）将化为形式，并求最小正周期；（2）求函数在区间上的值域；（3）将函数的图象向右平移个单位后，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍得到函数的图象，若在区间上至少有个最大值，求的取值范围．22．（12分）对于函数，若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“函数”；对于函数，若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“严格函数”． （1）求证：，是“函数”；（2）若函数，是“函数”，求的取值范围；（3）对于定义域为的函数对任意的正实数，均是“严格函数”，若，求实数的最小值． 2022—2023学年度第二学期期中学业水平检测高一数学答案一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．1-8：ADBCBDCD二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．9．ACD；10．BC；11．CD；12．BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．；14．；15．；16．.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）解：（1）由题意知，2分因为是锐角，，所以3分所以，所以5分所以6分（2）因为都是锐角，所以因为，所以.8分故10分18.（12分）解：（1）由题意得，，，则，即2分设，所以所以在上的投影向量为，所以在上的投影向量的坐标为4分（2）设，由（1）知，， 故，7分所以10分又因为，所以当时，有最小值为11分此时点的坐标为12分19．（12分）解：（1）由题意得，，因为点位于第四象限，所以所以.3分（2）由题意得，，所以向量，所以向量对应的复数为6分（3）因为，所以，所以，10分因为，所以12分20．（12分）解：（1）选择①：由已知得，，所以，在中，，所以6分选择②：由，得，则由余弦定理得：，由正弦定理得：，则，因为，则，所以．又因为，所以6分选择③：由已知及正弦定理得，所以，所以， 因为，所以6分（2）由余弦定理得，①由面积相等得．即，整理得，②联立①②，解得10分所以，所以12分21．（12分）解：（1）由题意得，，所以最小正周期为4分（2）当时，，，所以7分（3）将函数的图象向右平移个单位，可得的图象；再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到的图象．如果在区间上至少有个最大值，则在区间上至少有个最大值，在上至少有个最大值，故区间上至少有个周期长度，在上至少有个周期长度10分即，所以，即，所以，故实数的范围为12分 22.（12分）解：（1）证明：取非零常数，对任意的，则，所以，是“函数”3分（2）因为函数是“函数”，，所以，即，整理得，因为，所以，即，故7分（3）因为，对任意的正实数，都有，所以在上为减函数8分所以，即9分设，则，11分所以实数的最小值为12分