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第4章一次函数4.1.1变量与函数教案
第4章一次函数4.1.1变量与函数教案
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第4章一次函数4.1 函数和它的表示法4.1.1 变量与函数第4页共4页1.了解常量、变量的概念;(重点)2.了解函数的概念;(重点)3.确定简单问题的函数关系.(难点)一、情境导入如图,水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆,它的面积随着半径的变化而变化,随着半径的确定而确定.在上述例子中,每个变化过程中的两个变量:当其中一个变量变化时,另一个变量也随着发生变化;当一个变量确定时,另一个变量也随着确定.你能举出一些类似的实例吗?二、合作探究探究点一:常量与变量分析并指出下列关系中的变量与常量:(1)球的表面积Scm2与球的半径Rcm的关系式是S=4πR2;(2)以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球,小球的高度h米与小球运动的时间t秒之间的关系式是h=v0t-4.9t2;(3)一物体自高处自由落下,这个物体运动的距离hm与它下落的时间ts的关系式是h=gt2(其中g取9.8m/s2);(4)已知橙子每千克的售价是1.8元,则购买数量w千克与所付款x元之间的关系式是x=1.8w.解析:在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量,数值始终不变的量称为常量.解:(1)球的表面积Scm2与球的半径Rcm的关系式是S=4πR2,其中,常量是4π,变量是S,R;(2)以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球,小球的高度h米与小球运动的时间t秒之间的关系式是h=v0t-4.9t2,常量是v0,4.9,变量是h,t;(3)一物体自高处自由落下,这个物体运动的距离hm与它下落的时间ts的关系式是h=gt2(其中g取9.8m/s2),其中常量是g,变量是h,t;第4页共4页 (4)已知橙子每千克的售价是1.8元,则购买数量w千克与所付款x元之间的关系式是x=1.8w,常量是1.8,变量是x,w.方法总结:常量与变量必须存在于同一个变化过程中,判断一个量是常量还是变量,需要看两个方面:一是它是否在一个变化过程中;二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化.探究点二:函数的定义下列说法中正确的是( )A.变量x,y满足x+3y=1,则y是x的函数B.变量x,y满足y=,则y可以是x的函数C.变量x,y满足|y|=x,则y可以是x的函数D.变量x,y满足y2=x,则y可以是x的函数解析:A中x+3y=1,y可以看作x的函数,因为y=;B中y=,因为-x2-1<0,等式无意义,即对于变量x的任何一个取值,变量y都没有唯一确定的值,故y不是x的函数;C、D中的|y|=x和y2=x,对于变量x的任意一个正数值,变量y都有两个(不唯一)值与其对应,故y不是x的函数.故选A.方法总结:判断两个变量是否是函数关系,就看是否存在两个变量,并且在这两个变量中,确定好哪个是自变量,哪个是函数,然后再看看这两个变量是否是一一对应的关系.探究点三:确定自变量的取值范围【类型一】确定函数解析式中自变量的取值范围写出下列函数中自变量x的取值范围.(1)y=2x-3; (2)y=;(3)y=; (4)y=.解析:当表达式的分母不含有自变量时,自变量取全体实数;当表达式的分母中含有自变量时,自变量取值要使分母不为零;当函数的表达式是偶次根式时,自变量的取值范围必须使被开方数不小于零.解:(1)全体实数;(2)分母1-x≠0,即x≠1;(3)被开方数4-x≥0,即x≤4;(4)由题意得解得x≥1且x≠2.方法总结:本题考查了函数自变量的取值范围:有分母的要满足分母不能为0,有根号的要满足被开方数为非负数.【类型二】实际问题中自变量的取值范围水箱内原有水200升,7:30打开水龙头,以2升/分的速度放水,设经过t分钟后,水箱内存水y升.(1)求y关于t的函数关系式和自变量的取值范围;(2)7:55时,水箱内还有多少水?(3)几点几分水箱内的水恰好放完?解析:(1)根据水箱内还有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可,再根据剩余水量不小于0列不等式求出t的取值范围;(2)7:55时,t=55-30=25,将t=25代入(1)中的关系式即可;(3)令y=0,求出t的值即可.第4页共4页 解:(1)∵水箱内存有的水=原有水-放掉的水,∴y=200-2t.∵y≥0,∴200-2t≥0,解得t≤100,∴0≤t≤100,∴y关于t的函数关系式为y=200-2t(0≤t≤100);(2)∵7:55-7:30=25(分钟),∴当t=25时,y=200-2t=200-50=150(升),∴7:55时,水箱内还有水150升;(3)当y=0时,200-2t=0,解得t=100,而100分钟=1小时40分钟,7点30分+1小时40分钟=9点10分,故9点10分水箱内的水恰好放完.探究点四:简单问题的函数关系一个弹簧秤最大能称不超过10kg的物体,它的原长为10cm,挂上重物后弹簧的长度y(cm)随所挂重物的质量x(kg)的变化而变化,每挂1kg物体,弹簧伸长0.5cm;(1)求弹簧的长度y(cm)与所挂重物质量x(kg)之间的函数表达式;(2)当挂5kg重物时,求弹簧的长度.解析:根据弹簧的长度等于原长加上伸长的长度,列式即可;解:(1)y=10+x,其中x是自变量,y是自变量的函数;(2)将x=5代入y=10+x,得y=10+×5=12.5(cm).答:当挂5kg重物是,弹簧的长度为12.5厘米.方法总结:根据题意,找出等量关系,列出相应的函数表达式.求函数值时,将自变量代入函数表达式中,求出即可.探究点五:函数值根据如图所示程序计算函数值,若输入x的值为,则输出的函数值为( )A.B.C.D.解析:∵x=时,在2≤x≤4之间,∴将x=代入函数y=,得y=.故选B.方法总结:根据所给的自变量的值,结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围,确定其对应的函数关系式,再代入计算.三、板书设计1.常量和变量的概念2.函数的概念3.函数关系式4.自变量的取值范围5.函数值通过本课时的教学,学生对于常量、变量以及函数关系式掌握较好,第4页共4页 但是对于有些实际问题中自变量的取值范围还存在一些困难.在以后的教学中要通过实例让学生不断加以强化,达到整体进步.第4页共4页
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