第3章因式分解3.3第2课时利用完全平方公式进行因式分解课件

3.3公式法第3章因式分解第2课时利用完全平方公式进行因式分解 复习引入1.什么叫因式分解？把一个多项式转化为几个整式的积的形式.2.我们已经学过哪些因式分解的方法？①提公因式法②平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b) 用完全平方公式分解因式你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？拼出的图形为：aabbabababa²b²ab 这个大正方形的面积可以怎么求？a2+2ab+b2(a+b)2=ababa²ababb²(a+b)2a2+2ab+b2=将上面的等式逆过来看，能得到： a2+2ab+b2a2-2ab+b2我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.观察这两个式子：（1）每个多项式有几项？（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？三项这两项都是数或式的平方是第一项和第三项底数的积的±2倍 完全平方式的特点：1.必须是三项式（或可以看成三项的）；2.有两个数或式的平方和；3.有上述两底数之积的±2倍.完全平方式： 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方的形式，便实现了因式分解.2ab+b2±=(a±b)²a2首2+尾2±2×首×尾(首±尾)2两个数的平方和加上(或减去)这两个数积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 3.a²+4ab+4b²=()²+2·()·()+()²=()².2.m²-6m+9=()²-2·()·()+()²=()²；1.x²+4x+4=()²+2·()·()+()²=()²；x2x+2aa2ba+2b2b对照a²±2ab+b²=(a±b)²，填空：mm-33x2m3 下列各式是不是完全平方式？（1）a2-4a+4；（2）1+4a²；（3）4b2+4b-1；（4）a2+ab+b2；（5）x2+x+0.25.是（2）因为它只有两项.不是（3）4b²与-1的符号不统一.不是分析：不是是（4）中间项缺2倍. 例1若x2-6x+N是一个完全平方式，则N=()A.11B.9C.-11D.-9B解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3)，故可知N=(-3)2=9.变式训练如果x2-mx+16是一个完全平方式，那么常数m的值为_______.解析：∵16=(±4)2，∴-m=2×(±4)，即m=±8.±8典例精析 方法总结：本题要熟练掌握完全平方式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值．计算过程中，要注意积的2倍的符号正负皆可取，避免漏解． 例2因式分解：（1）16x2+24x+9；（2）-x2+4xy-4y2.分析：(1)中，16x2=(4x)2，9=3²，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+2×4x·3+32.2abb2a2(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为-(x2-4xy+4y2)，然后再利用公式因式分解. 解：(1)16x2+24x+9=(4x+3)2.=(4x)2+2·4x·3+(3)2(2)-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2. 例3把下列各式因式分解：(1)3ax2+6axy+3ay2；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.解：(1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2.分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步因式分解；(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m，则原式化为m2-12m+36.(2)原式=(a+b)2-2(a+b)·6+62=(a+b-6)2. 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差，完全平方式等）的多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法. 因式分解：(1)-3a2x2+24a2x-48a2；(2)(a2+4)2-16a2.针对训练＝(a2+4+4a)(a2+4-4a)解：(1)原式＝-3a2(x2-8x+16)＝-3a2(x-4)2.(2)原式＝(a2+4)2-(4a)2＝(a+2)2(a-2)2.有公因式要先提公因式要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解． 例4利用完全平方公式简便计算：(1)1002-2×100×99+99²；(2)342+34×32+162.解：(1)原式=(100-99)²(2)原式=(34+16)2本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算，=1.=2500. 例5已知x2-4x+y2-10y+29＝0，求x2y2+2xy+1的值.＝112＝121.解：因为x2-4x+y2-10y+29＝0，所以(x-2)2+(y-5)2＝0.因为(x-2)2≥0，(y-5)2≥0，所以x-2＝0，y-5＝0，所以x＝2，y＝5.所以x2y2+2xy+1＝(xy+1)2几个非负式的和为0，则这几个非负式都为0 方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负式的和的形式，然后利用非负式的性质解决问题． 1.下列四个多项式中，能因式分解的是()A．a2+1B．a2-6a+9C．x2+5yD．x2-5y2.把多项式4x2y-4xy2-x3因式分解的结果是()A．4xy(x-y)-x3B．-x(x-2y)2C．x(4xy-4y2-x2)D．-x(-4xy+4y2+x2)3.若m＝2n+1，则m2-4mn+4n2的值是_____．BB14.若关于x的多项式x2-8x+m2是完全平方式，则m的值为______．±4 5.把下列多项式因式分解：（1）x2-12x+36；（2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1；（3）y2+2y+1-x2.(2)原式=[2(2a+b)]²-2×2(2a+b)·1+1²=(4a+2b-1)2.解：(1)原式=x2-2·x·6+62=(x-6)2.(3)原式=(y+1)²-x²=(y+1+x)(y+1-x). (2)原式6.计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92；解：(1)原式＝(38.9－48.9)2＝100. 7.因式分解：(1)4x2+4x+1；(2)小聪和小明的解答过程如下：他们做对了吗？若不对，请你帮忙纠正过来.x2-2x+3.(2)原式＝(x2-6x+9)＝(x-3)2.解:(1)原式＝(2x)2+2×2x•1+1＝(2x+1)2.小聪:小明:×× 8.(1)已知a-b＝3，求a(a-2b)+b2的值；(2)已知ab＝2，a+b＝5，求a3b+2a2b2+ab3的值.原式＝2×52＝50.解：(1)原式＝a2-2ab+b2＝(a-b)2.当a-b＝3时，原式＝32＝9.(2)原式＝ab(a2+2ab+b2)＝ab(a+b)2.当ab＝2，a+b＝5时， 利用完全平方公式因式分解公式a2±2ab＋b2=(a±b)2特点（1）要求多项式有三项；（2）其中两项是某数或式的平方和，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.