第3章因式分解3.3第1课时利用平方差公式进行因式分解课件

3.3公式法第3章因式分解第1课时利用平方差公式进行因式分解 如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么等式？a米b米b米a米(a-b)情境引入a2-b2=(a+b)(a-b) 用平方差公式进行因式分解想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它因式分解吗？是a，b两数的平方差的形式))((baba-+=22ba-))((22bababa-+=-整式乘法因式分解两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.平方差公式： √√××辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来因式分解？为什么？√√★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成：()2-()2的形式.（1）x2+y2（2）x2-y2（3）-x2-y2-(x2+y2)y2-x2（4）-x2+y2（5）x2-25y2(x+5y)(x-5y)（6）m2-1(m+1)(m-1)(x+y)(x+y) 例1因式分解：aabb(+)(-)a2-b2=解：(1)原式=2x32x2x33(2)原式ab典例精析3 方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 因式分解：(1)(a＋b)2－4a2；(2)9(m＋n)2－(m－n)2.针对训练＝(2m＋4n)(4m＋2n)解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)＝(b－a)(3a＋b).(2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)＝4(m＋2n)(2m＋n)．若用平方差公式分解后的结果中还有公因式，一定要继续提公因式分解 当场编题，考考你！))((22bababa-+=-20232－20222=(2mn)2-(3xy)2=(x+z)2-(y+p)2= 例2把x3y2-x5因式分解.解：x3y2-x5=x3(y2-x2)=x3(y+x)(y-x).分析：x3y2和x5有公因式x3，应先提出公因式，再用公式进行因式分解.问题：能直接用公式法分解吗？又如：把-4ax2+16ay2因式分解.解：-4ax2+16ay2=-4a(x2-4y2)=-4a(x+2y)(x-2y). 例3因式分解：解：(1)原式＝(x2)2-(y2)2＝(x2+y2)(x2-y2)因式分解后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解.＝(x2+y2)(x+y)(x-y).(2)原式＝ab(a2-1)因式分解时，有公因式的一般先提公因式，然后再用公式法.最后进行检查＝ab(a+1)(a-1). 方法总结：因式分解前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意因式分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止. 因式分解：(1)5m2a4－5m2b4；(2)a2－4b2－a－2b.针对训练＝(a＋2b)(a－2b－1).＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b).解：(1)原式＝5m2(a4－b4)＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)(2)原式＝(a2－4b2)－(a＋2b)＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b) 例4已知x2-y2＝-2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．∴x-y＝-2②.解：∵x2-y2＝(x＋y)(x-y)＝-2，x＋y＝1①，联立①②组成二元一次方程组，解得 方法总结：在与x2-y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立组成方程组求值. 例5计算下列各题：(1)1012-992；(2)53.52×4-46.52×4.解：(1)原式＝(101＋99)(101-99)＝400.(2)原式＝4×(53.52-46.52)＝4×(53.5＋46.5)(53.5-46.5)＝4×100×7＝2800.方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化. 例6求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n•2=8n.∵n为整数，∴8n一定能被8整除，方法总结：证明整除问题的基本思路，就是将代数式化为整式的乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除． 1.下列多项式中能用平方差公式因式分解的是（　　）A．a2＋(-b)2B．5m2-20mnC．-x2-y2D．-x2＋9D2.因式分解(2x+3)2-x2的结果是（　　）A．3(x2+4x+3)B．3(x2+2x+3)C．(3x+3)(x+3)D．3(x+1)(x+3)D3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（　　）A．-21B．21C．-10D．10A 4.把下列各式因式分解：(1)16a2-9b2=__________________；(2)(a+b)2-(a-b)2=_______；(3)9xy3-36x3y=____________________；(4)-a4+16=______________________.(4a+3b)(4a-3b)4ab9xy(y+2x)(y-2x)(4+a2)(2+a)(2-a)5.若(2x)n-81可分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是______.4 6.已知4m+n=40，2m-3n=5，求(m+2n)2-(3m-n)2的值．原式=-40×5=-200.解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)=(4m+n)(3n-2m)=-(4m+n)(2m-3n).当4m+n=40，2m-3n=5时， 7.如图，在边长为6.8cm的正方形钢板上，挖去4个边长为1.6cm的小正方形，求剩余部分的面积．解：根据题意，得6.82-4×1.62＝6.82-(2×1.6)2＝6.82-3.22＝(6.8+3.2)(6.8-3.2)＝10×3.6＝36(cm2).答：剩余部分的面积为36cm2. 8.(1)992-1能被100整除吗？解：(1)因为992-1=(99+1)(99-1)=100×98，所以(2n+1)2-25能被4整除.(2)n为整数，(2n+1)2-25能否被4整除？所以992-1能被100整除.(2)原式=(2n+1+5)(2n+1-5)=(2n+6)(2n-4)=2(n+3)×2(n-2)=4(n+3)(n-2). 平方差公式分解因式公式a2-b2=(a+b)(a-b)步骤一提：公因式；二套：公式；三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解