第8章整式乘法与因式分解8.3第2课时平方差公式课件

第8章整式乘法与因式分解8.3完全平方公式与平方差公式第2课时平方差公式 多项式与多项式是如何相乘的？(x＋3)(x＋5)=x2＋5x＋3x＋15=x2＋8x＋15.(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn复习巩固 从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为20米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何?”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把这事和邻居们－讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊．你觉得张老汉是否吃亏了？为什么？情境导入 ①(x+1)(x-1)；②(m+2)(m-2)；③(2m+1)(2m-1)；④(5y+z)(5y-z).算一算：看谁算得又快又准.合作探究平方差公式 ②(m+2)(m-2)=m2-4③(2m+1)(2m-1)=4m2-1④(5y+z)(5y-z)=25y2-z2①(x+1)(x-1)=x2-1想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么规律？=x2-12=m2-22=(2m)2-12=(5y)2-z2用自己的语言叙述你的发现.两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差. (a+b)(a−b)=a2−b2.两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.公式变形：(a–b)(a+b)=a2−b2，(b+a)(−b+a)=a2−b2.知识要点平方差公式： 平方差公式注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项式等．(a+b)(a-b)=a2-b2相同为a相反为b适当交换合理加括号 练一练：口答下列各题：(l)(－a+b)(a+b)=_________.(2)(a－b)(b+a)=_________.(3)(－a－b)(－a+b)=________.(4)(a－b)(－a－b)=_________.a2－b2a2－b2b2－a2b2－a2 填一填：aba2－b21x－3a12－x2(－3)2－a2a1a2－120.3x1(0.3x)2－12(a-b)(a+b)(1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a)(0.3x-1)(1+0.3x)(1+a)(-1+a) 典例精析例1利用平方差公式计算：(1)(5＋6x)(5－6x)；(2)(x－2y)(x＋2y)；(3)(－m＋n)(－m－n).解：(1)原式＝52－(6x)2＝25－36x2.(2)原式＝x2－(2y)2＝x2－4y2.(3)原式＝(－m)2－n2＝m2－n2.注意：1.先把要计算的式子与公式对照；2.哪个是a?哪个是b? (1)(－7m＋8n)(－8n－7m)；(2)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．解：(1)原式＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2.(2)原式＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.练一练利用平方差公式计算： 将长为(a+b)，宽为(a－b)的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成一个有空缺的正方形，你能表示剪拼前后的图形的面积关系吗？(a+b)(a−b)=a2−b2合作探究平方差公式的几何验证 aabba+ba-bbb几何验证平方差公式 aabba2-b2abbb(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)=a2-b2a-ba-b aaa2 baa2-b2ab baab12(a+b)(a-b)12(a+b)(a-b) baab(a+b)(a-b)=a2-b2 自主探究想一想：(1)计算下列各式，并观察他们的共同特点：6×8=4814×16=22469×71=48997×7=4915×15=22570×70=4900平方差公式的运用 (2)从以上的过程中，你发现了什么规律？请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？(a−1)(a+1)=a2−1 典例精析例2计算：(1)103×97；(2)118×122.解：103×97=(100＋3)(100－3)=1002－32=10000－9=9991.解：118×122=(120－2)(120＋2)=1202－22=14400－4=14396.注意：不能直接应用公式的，要适当变形才可以应用. 例3计算：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2；(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3).解：(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2=a4－a2b2+a2b2=a4.(2)原式=(2x)2－25－(4x2－6x)=4x2－25－4x2+6x=6x－25. 例4先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.方法总结：利用平方差公式先化简再求值，一般不要先直接代入数值计算． 例5王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．本课开头张老汉的故事你能解释原因了吗？ 1.下列式子可用平方差公式计算吗?为什么?如果能够，怎样计算?(1)(a+b)(ab)；(2)(a−b)(b−a)；(3)(a+2b)(2b+a)；(4)(a−b)(a+b)；(5)(2x+y)(y−2x).(不能)(不能)(不能)(能)(不能)−(a2−b2)=−a2+b2 2.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？(1)(x+2)(x－2)=x2－2；(2)(－3a－2)(3a－2)=9a2－4.不对改正：x2－4不对改正方法①：(－3a－2)(3a－2)=－[(3a+2)(3a－2)]=－(9a2－4)=－9a2+4.改正方法②：(－3a－2)(3a－2)=(－2－3a)(－2+3a)=(－2)2－(3a)2=4－9a2. 3.已知a=7202，b=721×719，则()A.a=bB.a＞bC.a＜bD.a≤b4.97×103=()×()=().5.(x+6)(x－6)－x(x－9)=0的解是______.100－3100+31002－32x=4B (1)(a+3b)(a-3b)；解：原式=(2a+3)(2a－3)=(2a)2－32=4a2－9.=a2－9b2.解：原式=a2－(3b)2(2)(3+2a)(－3+2a)；6.利用平方差公式计算： (3)(－2x2－y)(－2x2+y)；解：原式=(－2x2)2－y2=4x4－y2.(4)(－5+6x)(－6x－5).解：原式=(－5+6x)(－5－6x)=(－5)2－(6x)2=25－36x2. 解：(1)原式＝(50+1)(50－1)＝502－12＝2500－1=2499.(3)原式＝(9x2－16)－(6x2+5x－6)＝3x2－5x－10.(1)51×49；(3)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).(2)13.2×12.8；7.利用平方差公式计算：(2)原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22＝169－0.04＝168.96. 2.若A＝(2+1)(22+1)(24+1)，则A的值是_____.解析：A＝(2+1)(22+1)(24+1)＝(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)＝(22－1)(22+1)(24+1)＝(24－1)(24+1)＝28－1＝256－1＝255．255能力拓展：1.计算：(x－y)(x+y)(x2+y2).解：原式＝(x2－y2)(x2+y2)＝x4－y4. 平方差公式内容注意两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差1.字母表示：(a+b)(a－b)=a2－b22.紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用