第9章分式9.3第1课时分式方程及其解法课件

9.3分式方程第9章分式第1课时分式方程及其解法 问题引入一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等.设江水的流速为x千米/时，根据题意可列方程这个方程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次方程有什么区别？. 定义：像这样，分母中含未知数的方程叫做分式方程.知识要点分式方程的概念 判一判下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？整式方程分式方程方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π是常数，不是未知数). （2）怎样去分母？（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去？（4）这样做的依据是什么？解分式方程最关键的问题是什么？（1）如何把它转化为整式方程呢？如何去分母你能试着解这个分式方程吗？分式方程的解法 方程的最简公分母是：(30+x)(30-x)解：方程两边同时乘以(30+x)(30-x)，得检验：将x=6代入原分式方程中，左边==右边，因此x=6是原分式方程的解.90(30-x)=60(30+x)，解得x=6.x=6是原分式方程的解吗？ 解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同时乘以最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.归纳 下面我们再解一个分式方程：解：方程两边同时乘以最简公分母(x+5)(x-5)，得x+5=10，解得x=5.x=5是原分式方程的解吗？ 检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程的解，实际上，这个分式方程无解. 想一想：上面两个分式方程中，为什么去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 真相揭秘：分式两边同时乘以不为0的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同.我们再来观察去分母的过程：90(30-x)=60(30+x)两边同乘以(30+x)(30-x)当x=6时，(30+x)(30-x)≠0 真相揭秘：分式两边同时乘以等于0的式子，所得整式方程的解使分母为0，这个整式方程的解就不是原分式方程的解.x+5=10两边同乘以(x+5)(x-5)当x=5时，(x+5)(x-5)=0 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验．怎样检验？分式方程解的检验——必不可少的步骤检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；2.解这个整式方程；3.把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去；4.写出原方程的根.简记为：“一化二解三检验”知识要点“去分母法”解分式方程的步骤 例1解方程：解：方程两边同乘以最简公分母x(x-2)，得解这个一元一次方程，得x=-3.检验：把x=-3代入x(x-2)，得x(x-2)≠0.因此x=-3是原方程的解.典例精析 解：两边都乘以最简公分母(x+2)(x-2)，得x+2=4.解得x=2.检验：把x=2代入(x+2)(x-2)，得(x+2)(x-2)=0.因此x=2不是原分式方程的解，原方程无解.提醒：解分式方程时，通常要在方程两边同乘以最简公分母，验根时，只要把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零，使它不为零的根才是原方程的根，使它为零的根即为增根，应舍去. 用框图的方式总结为：分式方程整式方程去分母解整式方程x=a检验x=a是分式方程的解x=a不是分式方程的解当x=a时最简公分母是否为零？否是 例2关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是_______________．解析：去分母得2x＋a＝x-1，解得x＝-a-1.因为关于x的方程的解是正数，所以x＞0且x≠1.所以-a-1＞0且-a-1≠1，解得a＜-1且a≠-2.a＜-1且a≠-2 例3若关于x的分式方程无解，求m的值．解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：整式方程无解与分式方程有增根．方法总结：先求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据其解的相关条件，列出关于未知字母的不等式求解，特别注意要使分母不为0. 解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x＝-10.①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；②方程有增根，则x＝2或x＝－2，当x＝2时，代入(m－1)x＝－10，得(m－1)×2＝－10，m＝－4；当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10，得(m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6.所以m的值是1，－4或6. 分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数；分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数（增根），而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．方法总结 D2.要把方程化为整式方程，方程两边可以同时乘以（）A.3y-6B.3yC.3(3y-6)D.3y(y-2)1.下列关于x的方程中，是分式方程的是()A.B.C.D.D 3.解分式方程时，去分母后得到的整式方程是()A.2(x-8)+5x=16(x-7)B.2(x-8)+5x=8C.2(x-8)-5x=16(x-7)D.2(x-8)-5x=8A4.若关于x的分式方程无解，则m的值为()A．－1，5B．1C．－1.5或2D．－0.5或－1.5D 5.解方程：解：方程两边同乘以x(x-3)，得2x=3x-9.解得x=9.检验：当x=9时，x(x-3)≠0.所以，原分式方程的解为x=9. 6.解方程：解：方程两边同乘以(x-1)(x+2)，得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.解得x=1.检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0，因此x=1不是原分式方程的解.所以，原分式方程无解. 7.解方程：解：方程两边同乘以，得解得检验：把代入最简公分母，得所以原方程的解为 8.若关于x的方程有增根，求m的值.解：方程两边同乘以x-2，得2-x+m=2x-4.所以m=3x-6.因为该分式方程有增根，所以x-2=0，即x=2.所以m=0. 分式方程误区(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘；步骤(去分母法)一化(分式方程转化为整式方程)；二解(整式方程)；三检验(把解代入到最简公分母，看是否为零)(2)去分母后，分子是多项式时，没有添括号(因分数线有括号的作用)；(3)忘记检验.定义分母中含未知数的方程叫做分式方程