第8章整式乘法与因式分解8.4.2公式法课件

第8章整式乘法与因式分解8.4因式分解2.公式法 如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么等式？a米b米b米a米(a-b)米情境引入a2-b2=(a+b)(a-b) 想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？是a，b两数的平方差的形式))((baba-+=22ba-))((22bababa-+=-整式乘法因式分解两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.平方差公式：用平方差公式进行因式分解 √√××辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？√√★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成:()2-()2的形式.（1）x2+y2（2）x2-y2（3）-x2-y2-(x2+y2)y2-x2（4）-x2+y2（5）x2-25y2(x+5y)(x-5y)（6）m2-1(m+1)(m-1)(x+y)(x+y) 例1分解因式：aabb(+)(-)a2-b2=解：(1)原式=2x32x2x33(2)原式ab典例精析3 方法总结：公式中的a，b无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 分解因式：(1)(a＋b)2－4a2；(2)9(m＋n)2－(m－n)2.针对训练＝(2m＋4n)(4m＋2n)解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)＝(b－a)(3a＋b).(2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)＝4(m＋2n)(2m＋n)．若用平方差公式分解后的结果中还有公因式，一定要继续用提公因式法分解 当场编题，考考你！))((22bababa-+=-20232－20222=(2mn)2-(3xy)2=(x+z)2-(y+p)2= 例2已知x2-y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值.所以x-y＝-2②.解：因为x2-y2＝(x＋y)(x-y)＝-2，x＋y＝1①，联立①②组成二元一次方程组，解得 方法总结：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值. 例3计算下列各题：(1)1012-992；(2)53.52×4-46.52×4.解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400.(2)原式＝4(53.52－46.52)＝4(53.5＋46.5)(53.5－46.5)＝4×100×7＝2800.方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化. 例4求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除.证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n•2=8n.因为n为整数，所以8n一定能被8整除.方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除. 你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？拼出的图形为：aabbabababa²b²ab用完全平方公式分解因式 这个大正方形的面积可以怎么求？a2+2ab+b2(a+b)2=ababa²ababb²(a+b)2a2+2ab+b2=将上面的等式逆过来看，能得到： a2+2ab+b2a2-2ab+b2我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.观察这两个式子：（1）每个多项式有几项？（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？三项这两项都是数或式的平方和是第一项和第三项底数的积的±2倍 完全平方式的特点：1.必须是三项式(或可以看成三项的)；2.有两个数或式的平方和；3.中间有两底数之积的±2倍.完全平方式： 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方的形式，便实现了因式分解.2ab+b2±=(a±b)²a2首2+尾2±2×首×尾(首±尾)2两个数的平方和加上(或减去)这两个数积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 3.a²+4ab+4b²=()²+2·()·()+()²=()².2.m²-6m+9=()²-2·()·()+()²=()²；1.x²+4x+4=()²+2·()·()+()²=()²；x2x+2aa2ba+2b2b对照a²±2ab+b²=(a±b)²，填空：mm-33x2m3 下列各式是不是完全平方式？（1）a2-4a+4；（2）1+4a²；（3）4b2+4b-1；（4）a2+ab+b2；（5）x2+x+0.25.是（2）因为它只有两项.不是（3）4b²与-1的符号不统一.不是分析：不是是（4）中间项缺2倍. 例5若x2-6x+N是一个完全平方式，则N=()A.36B.9C.-36D.-9B解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3)，故可知N=(-3)2=9.变式训练如果x2-mx+16是一个完全平方式，那么常数m的值为_____.解析：∵16=(±4)2，∴-m=2×(±4)，即m=±8.±8典例精析 方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解. 例6分解因式：（1）16x2+24x+9；（2）-x2+4xy-4y2.分析：(1)中，16x2=(4x)2，9=3²，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+2×4x·3+32.2abb2a2(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为-(x2-4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式. 解：(1)16x2+24x+9=(4x+3)2.=(4x)2+2·4x·3+32(2)-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2. 例7利用完全平方公式简便计算：(1)1002-2×100×99+99²；(2)342+34×32+162.解：(1)原式=(100-99)²(2)原式=(34+16)2本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算，=1.=2500. 例8已知x2-4x+y2-10y+29＝0，求x2y2+2xy+1的值.＝112＝121.解：因为x2-4x+y2-10y+29＝0，所以(x-2)2+(y-5)2＝0.因为(x-2)2≥0，(y-5)2≥0，所以x-2＝0，y-5＝0.所以x＝2，y＝5.所以x2y2+2xy+1＝(xy+1)2几个非负式的和为0，则这几个非负式都为0 方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负式的和的形式，然后利用非负式的性质解决问题． 1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（　　）A．a2＋(-b)2B．5m2-20mnC．-x2-y2D．-x2＋9D2.分解因式(2x+3)2-x2的结果是（　　）A．3(x2+4x+3)B．3(x2+2x+3)C．(3x+3)(x+3)D．3(x+1)(x+3)D3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（　　）A．-21B．21C．-10D．10A 4.把下列各式分解因式：(1)16a2-9b2=__________________；(2)(a+b)2-(a-b)2=________；(3)9xy3-36x3y=____________________；(4)-a4+16=_______________________.(4a+3b)(4a-3b)4ab9xy(y+2x)(y-2x)(4+a2)(2+a)(2-a)5.若(2x)n-81可分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是______.4 6.把下列多项式因式分解：（1）x2-12x+36；（2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1；（3）y2+2y+1-x2.(2)原式=[2(2a+b)]²-2×2(2a+b)·1+1²=(4a+2b-1)2.解：(1)原式=x2-2·x·6+62=(x-6)2.(3)原式=(y+1)²-x²=(y+1+x)(y+1-x). 7.已知4m+n=40，2m-3n=5，求(m+2n)2-(3m-n)2的值．原式=-40×5=-200.解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)=(4m+n)(3n-2m)=-(4m+n)(2m-3n).当4m+n=40，2m-3n=5时， (2)原式8.计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92；解：(1)原式＝(38.9－48.9)2＝100. 公式法因式分解公式平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)步骤一提：公因式；二套：公式；三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.完全平方公式：a2±2ab＋b2=(a±b)2