第8章整式乘法与因式分解8.4.1提公因式法课件

第8章整式乘法与因式分解8.4因式分解1.提公因式法 问题引入如图，一块草坪被分成三部分，你能用不同的方式表示草坪的总面积吗？abcm方法一：m(a+b+c)方法二：ma+mb+mcm(a+b+c)=ma+mb+mc整式乘法? 1.运用整式乘法法则或公式填空：(1)m(a+b+c)=；(2)(x+1)(x-1)=；(3)(a+b)2=.ma+mb+mcx2-1a2+2ab+b2合作探究2.根据等式的性质填空：(1)ma+mb+mc=()()；(2)x2-1=()()；(3)a2+2ab+b2=()2.ma+b+cx+1x-1a+b都是多项式化为几个整式的积的形式比一比，这些式子有什么共同点？因式分解 定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.概念学习 x2-1(x+1)(x-1)因式分解整式乘法x2-1=(x+1)(x-1)等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？是相反的变形，即 典例精析例1下列从左到右的变形中是因式分解的有()①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y).A．1个B．2个C．3个D．4个B方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个整式的积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式． x2+x=x2(1+)在下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的有；不是因式分解的，请说明为什么.①②③④⑤⑥③⑥辨一辨：am+bm+c=m(a+b)+c24x2y=3x·8xyx2－1=(x+1)(x－1)(2x+1)2=4x2+4x+12x+4y+6z=2(x+2y+3z)最后不是纯积的运算因式分解的对象是多项式是整式乘法每个因式必须是整式 合作探究pa+pb+pc多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.相同因式p问题1观察下列多项式，它们有什么共同特点？x2＋x相同因式x用提公因式法分解因式 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.(a+b+c)pa+pb+pcp= 试找出找3x2–6xy的公因式.系数：最大公约数3字母：相同的字母x所以公因式是3x.指数：相同字母的最低次数1问题2如何确定一个多项式的公因式？ 正确找出多项式的公因式的步骤：3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数(当各项系数都为整数时)；2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； 找一找：下列各多项式的公因式是什么？3aa23mn-2xy(1)3x+6y(2)ab-2ac(3)a2-a3(4)9m2n-6mn(5)-6x2y-8xy2 典例精析(1)8a3b2+12ab3c；例2把下列各式分解因式：分析：提公因式法的步骤(分两步)：第一步：找出公因式；第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.(2)2a(b+c)-3(b+c).公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法. 解：（1）8a3b2+12ab3c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc).如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公式？另一个因式将是2a2b+3b2c，它还有公因式是b.（2）2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3).如何检查因式分解是否正确？做整式乘法逆向运算去检验 因式分解：(1)3a3c2＋12ab3c；(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；(3)(a＋b)(a－b)－a－b.针对训练(3)原式＝(a＋b)(a－b－1).解：(1)原式＝3ac(a2c＋4b3).(2)原式＝(2a－3)(b＋c). 因式分解：12x2y+18xy2.解：原式=3xy(4x+6y).错误公因式没有提尽，还可以提出公因式2注意：公因式要提尽.正确解：原式=6xy(2x+3y).小明的解法有误吗？ 当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.错误注意：某项提出莫漏1.解：原式=x(3x-6y).因式分解：3x2-6xy+x.正确解：原式=3x·x-6y·x+1·x=x(3x-6y+1)小亮的解法有误吗？ 提出负号时括号里的项没变号错误因式分解：-x2+xy-xz.解：原式=-x(x+y-z).注意：首项有负常提负.正确解：原式=-(x2-xy+xz)=-x(x-y+z).小华的解法有误吗？ 例3计算：(1)39×37－13×91；(2)29×20.23＋72×20.23＋13×20.23－20.23×14.(2)原式＝20.23×(29＋72＋13－14)＝2023.＝13×20＝260.解：(1)原式＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便． 例4已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值.∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.解：∵a＋b＝7，ab＝4，方法总结：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体代入即可. 1.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是（　　）A．5mnB．5m2n2C．5m2nD．5mn22.把多项式(x+2)(x-2)+(x-2)提取公因式(x-2)后，余下的部分是（　　）A．x+1B．2xC．x+2D．x+33.下列多项式的分解因式，正确的是（　　）A．12xyz-9x2y2=3xyz（4-3xyz）B．3a2y-3ay+6y=3y（a2-a+2）C．-x2+xy-xz=-x（x2+y-z）D．a2b+5ab-b=b（a2+5a）BCD 4.把下列各式分解因式：(1)8m2n+2mn=_____________；(2)12xyz-9x2y2=_____________；(3)p(a2+b2)-q(a2+b2)=______________；(4)-x3y3-x2y2-xy=_______________；2mn(4m+1)3xy(4z-3xy)(a2+b2)(p-q)-xy(x2y2+xy+1)(5)(x-y)2+y(y-x)=______________.(y-x)(2y-x)5.若9a2(x-y)2-3a(y-x)3＝M·(3a+x-y)，则M等于__________.3a(x-y)2 6.简便计算：(1)1.992+1.99×0.01；(2)20222+2022-20232；(3)(-2)101+(-2)100.(2)原式=2022×(2022+1)-20232=2022×2023-20232=2023×(2022-2023)=-2023.解：(1)原式=1.99(1.99+0.01)=3.98.(3)原式=(-2)100×(-2+1)=2100×(-1)=-2100. 解：(1)2x2y+xy2=xy(2x+y)=3×4=12.(2)原式=(2x+1)[(2x+1)-(2x-1)]=(2x+1)(2x+1-2x+1)=2(2x+1).7.(1)已知2x+y=4，xy=3，求代数式2x2y+xy2的值；(2)化简求值：(2x+1)2-(2x+1)(2x-1)，其中x=.将x=代入上式，得原式=4. 因式分解定义把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形提公因式法确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数分两步：第一步找公因式；第二步提公因式注意：①分解因式是一种恒等变形；②公因式：要提尽；③不要漏项；④提负号，要注意变号 点击视频开始播放←