浙江省温州市乐清市知临中学2023届高三数学下学期5月模拟试题（Word版附解析）

2023年5月高三第一次仿真考数学模拟试题本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题部分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可.【详解】由，可得，则是的必要不充分条件.故选：B2.已知全集，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用集合的交并补运算求集合，再判断是否为集合中元素，即可得答案.【详解】由题设，故，，，，所以.故选：A3.在函数，，，中，既是奇函数又是周期函数的有（）个 A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】设，，首先判断出的奇偶性与周期性，再分别判断的奇偶性与周期性即可．【详解】设，，因为，所以是上的奇函数，显然不是周期函数；对于，，因为，所以为奇函数，又因为，所以是周期函数；对于，，因为，所以为偶函数，又因为，所以是周期函数；对于，， 因为，所以在定义域内为奇函数，又因为，所以是周期函数；综上所述，，既是奇函数又是周期函数，故选：C．4.为了解“双减”政策实施后学生每天的体育活动时间，研究人员随机调查了该地区1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成6组：第一组[30,40，第二组[40,50，第三组[50,60，第四组[60,70，第五组[70,80，第六组[80,90]，经整理得到如图的频率分布直方图，则可以估计该地区学生每天体育活动时间的第70百分位数位于的区间为（）A.[50,60B.[60,70C.[70,80D.[80,90]【答案】B【解析】【分析】由频率和为1求参数a，再根据百分位数的定义确定第70百分位数所在区间.【详解】由，则，又，所以第70百分位数位于的区间为[60,70.故选：B5.已知等比数列的前n项和为，公比为q，且，则（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】由条件结合等比数列通项公式列方程求即可.【详解】因为，所以，所以，所以，解得，A错误，C错误，D正确，所以，B错误；故选：D.6.已知三棱锥的体积为，外接球面积为9π，且，，．则直线AB，AP所成角的最小正弦值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】直线AB，AP所成角的最小正弦值即AP与平面所成角的最小正弦值，由外接球面积公式可求出外接球的半径，再由三棱锥的体积公式可求出三棱锥的高，当时，最小，求解即可.【详解】直线AB，AP所成角的最小正弦值即AP与平面所成角的最小正弦值，由，，，由余弦定理可得：，故，则，又因为外接球面积为9π，设外接球的半径为，所以，解得：，设是球心，是的外心，是在平面的投影， ，解得：，则，，由，由，当时，最小，此时，则.故选：A.7.设过原点且倾斜角为的直线与双曲线C：的左，右支分别交于A、B两点，F是C的焦点，若三角形的面积大于，则C的离心率的取值范围是（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先得出直线的方程，与双曲线方程联立得出点和的坐标，并得出不等式关系，再表示出，根据大于列出不等式，求解即可．【详解】不妨设是双曲线的左焦点，由题可知，直线的方程为， 由，得，且，所以，，因为，且大于，所以，所以，解得，又因为，解得，所以，故选：D．8.设，，已知函数，有且只有一个零点，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】设函数的零点为，可得，由此可得点在直线上，由此可得，再利用导数求其最小值.【详解】函数的零点为，则，且，即，所以点在直线上，又表示点到原点的距离的平方，故，所以，设，则，故，设，则，因为，所以，所以函数上单调递减，所以当时，，故当时，，函数在上单调递增，所以. 所以当，时，取最小值，最小值为.所以当时，的最小值为.故选：B.【点睛】知识点点睛：本题考查函数零点的定义，直线方程的定义，点到直线的距离，两点之间的距离，利用导数求函数的最值，考查数学运算，数形结合等数学思想.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多现符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，9.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数的最小正周期是B.函数的最大值为1，最小值为C.函数的图像在区间上单调递减D.函数的图像关于对称【答案】AD【解析】【分析】首先根据降幂公式化简，根据周期函数的定义即可判断A；设，求出的值域，即可判断B；由得出，根据复合函数的单调性，即可判断C；根据对称轴的定义，即可判断D．【详解】，对于A：设的周期为，则,所以，其中，解得，所以最小值为，故A正确；对于B：设，则， 所以函数的最大值为1，最小值为，故B错误；对于C：由B得当时，，且在上单调递减，因为在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，故C错误；对于D：由，，所以，所以关于直线对称，故D正确，故选：AD．10.若周长为15三角形δ的三边长均为整数，则（）A.δ的任一边长不超过7B.不同的δ的个数不超过8C.δ的面积不小于4D.δ的面积可能超过12【答案】AB【解析】【分析】令三角形边长分别为且，根据三角形性质列举出符合要求的，并求出对应面积，即可得答案.【详解】令三角形边长分别为且，则，由于，故，若，即，则，不满足三角形性质；所以，，且满足，可能有、、、、、、，当为，对应面积为；当，则，即为锐角，故， 所以面积为；当为，则上的高，所以面积为；当为，则上的高，所以面积为；当为，则，即为钝角，故，所以面积为；当为，则，即为钝角，故，所以面积为；当为，则上的高，所以面积为；综上，A、B对，C、D错.故选：AB11.已知椭圆为，设一个点始终在此椭圆内运动，这个点从一个焦点出发沿直线，经椭圆壁反弹后沿直线经过另一个焦点，再经椭圆壁反弹后沿直线回到这个焦点，称这个过程为一次“活动”，记此点进行n次“活动”的总路程为，，则不可能的是（）A.B.C.D.【答案】ACD 【解析】【分析】根据椭圆方程及一次“活动”的定义知，进而判断各项正误即可.【详解】由题意知：一次“活动”的路程为，故n次“活动”的总路程为，所以，，，，故A、C、D不可能，B对.故选：ACD12.已知，函数，则（）A.当时，B.当时，C.当时，D.当时，【答案】AD【解析】【分析】根据选项的结论，需判断在单调递减，故对求导并根据选项判断在的符号即可.【详解】由题知，令，则，所以即在上单调递增.，.对于选项A，当时，，所以，故在恒成立，所以在单调递减，从而，选项A正确；对于选项B，当时，，所以，所以在不单调，选项B错误；对于选项C，当时，，所以， 而，，所以正负无法确定，所以在的单调性不确定，选项C错误；对于选项D，当时，，所以，故在恒成立，所以在单调递减，从而，选项D正确；故选：AD.非选择题部分（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.复数的虚部为___________（其中i是虚数单位）．【答案】##【解析】【分析】利用复数除法化简，即可确定虚部.【详解】，故虚部为.故答案为：14.在的展开式中，x的系数为___________．【答案】【解析】【分析】分别列出的展开式的通项，由此确定结论.【详解】二项式的展开式的通项为，二项式的展开式的通项为，，所以，令，可得，故或，所以的展开式中，含x的项为， 所以在的展开式中，x的系数为.故答案为：.15.点P圆上，点在直线上，O坐标原点，且，则点的横坐标的取值范围为___________．【答案】【解析】【分析】设点的坐标为，点的坐标为，由条件可得点在以为直径的圆上，由条件列不等式可求点Q的横坐标的取值范围.【详解】因为点在直线上，故设点的坐标为，设点的坐标为，则，因为，所以，所以，即点在圆上，又点在圆上，所以两圆有交点，又圆的圆心坐标为，半径为，所以，所以，所以，所以，所以，所以或， 所以点的横坐标的取值范围为.故答案为：.16.设是平面内两条互相垂直的直线，线段AB，CD的长度分别为2，10，点A，C在a上，点B，D在b上，若M是AB的中点，则的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】设直线与直线的交点为，线段的中点为，由条件确定点的轨迹，结合数量积的运算求的取值范围.【详解】设直线与直线的交点为，因为M是AB的中点，，所以，故点在以为圆心，半径为的圆上，设线段的中点为，，所以，故点在以为圆心，半径为的圆上，因为，，所以，又，所以，所以的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.若分别从下表的第一、二、三列中各取一个数，依次作为等比数列{}的，， ；分别从下表的第一、二、三行中各取一个数，依次作为等差数列的，，．第一列第二列第三列第一行147第二行369第三行258（1）请写出数列{}，{}的一个通项公式；（2）若数列{}单调递增，设，数列{}的前n项和为．求证：．【答案】（1），（或、、）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据表格数据，结合等差、等比数列定义分别写出一个通项公式即可；（2）应用错位相减法、等比数列前n项和公式求，即可证结论.【小问1详解】由题意，取，可得公比，则，取，可得公差，则；取，可得公差，则；取，可得公差，则；取，可得公差，则.【小问2详解】由{}单调递增，若时，，则，所以， 两式相减，则，所以，而，故；若时，，则，所以，两式相减，则，所以，而，故.综上，.18.已知在平面四边形ABCD中，，，，．（1）求∠BAD的大小；（2）设点E，F分别在线段DC，CB上，线段EF的中点为M，且．求当最小时△AEF的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若与交于，易知，令，，则，利用余弦定理列方程组求的余弦值，即可得大小；（2）由（1）求得，，以为原点，为轴正方向，令，应用向量的坐标表示及数量关系求坐标，进而确定最小时的位置，进而求△AEF的面积．【小问1详解】 若与交于，由，即且，所以，又，设，所以，，若，则，由，则，所以，故，又，故.【小问2详解】由（1）知：，即，故，以为原点，为轴正方向，则，所以，，令，则，令，则，即，所以，即，同理，所以，故在上，显然要使最小，点在轴上，此时，，所以，， 则.19.某一个人在家里积极锻练，等步长沿直线前后连续移步，从点A出发，每次等可能地向前或向后移动一步．（1）若此人共移动4步，求此人回到点A的概率；（2）若此人共移动7步到达点M，记A，M两点的距离的步数为随机变量，求的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析；.【解析】【分析】（1）求出每次向前移动一步的概率，再由独立重复试验概率公式求解；（2）确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望.【小问1详解】设事件向前移动一步为事件，因为每次等可能地向前或向后移动一步，故，事件共移动4步，回到点A的等价于4步中两步向前，两步向后，所以事件共移动4步，回到点的概率，【小问2详解】由条件可得随机变量的可能取值为，，，，，所以的分布列为 1357所以随机变量的期望.20.如图，在四棱锥中，平面，菱形的边长2，，．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）若点F，E分别在线段PB，PC上，且平面，求线段DE的长度．【答案】（1）直线与平面所成角的正弦值为；（2）线段DE的长度为.【解析】【分析】（1）过点作，垂足为，证明平面，由此确定直线PB与平面所成角，再求其正弦值；（2）建立空间直角坐标系，设，由条件列方程求的坐标，由此求求线段DE的长.【小问1详解】过点作，垂足为，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，平面，所以，所以直线与平面所成角为， 由已知四边形为菱形，，,所以为边长为的等边三角形，故，因为平面，平面，所以，又，所以，在中，，，,所以，所以直线与平面所成角的正弦值为；【小问2详解】连接，点为线段的中点，由已知为等边三角形，所以，又，所以，又平面，以点为坐标原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，故，设，则，因为平面，平面，所以，故，所以，所以，所以， 所以，所以线段DE的长度为.21.已知椭圆C：离心率为，一个焦点位于抛物线的准线上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，点，直线分别交轴于点，且.①问直线l是否经过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由；②求点P到直线l的距离的最大值．【答案】（1）（2）①直线l经过定点，定点坐标为②【解析】【分析】（1）求抛物线的准线方程，由条件列的方程，解方程求由此可得椭圆方程；（2）①当直线的斜率不存在，设其方程为，设点的坐标为，由此求点的坐标，结合条件求，当直线的斜率存在时，设其方程为，利用设而不求法结合条件关系求的关系，由此证明直线l过定点，②方法一：由①可得当与定点的连线垂直于直线时，点到直线的距离最大，求点到定点的距离可得结论. 方法二：当直线的斜率存在时，求点P到直线l的距离，利用导数求其最大值，再求斜率不存在时点P到直线l的距离，由此确定结论.【小问1详解】设椭圆的半焦距为，则，因为抛物线的准线方程为，又椭圆的一个焦点位于抛物线的准线上，所以，因为椭圆的离心率，所以，又，，所以，所以椭圆的标准方程为；【小问2详解】若直线的斜率不存在，设其方程为，由已知，设点的坐标为，则点的坐标为，，所以直线的方程为，直线的方程为，所以点的坐标为，点的坐标为，所以，又，所以，解得，当直线的斜率存在时，设其方程为，联立，消得，， 方程的判别式，设，则，则直线的方程为，直线的方程为，所以点的坐标为，点的坐标为，所以，，又，所以，所以，化简可得，所以或，当时，直线的方程为所以直线过点，与已知矛盾，当，直线的方程为，所以直线过定点又点在直线上，所以直线l经过定点，定点坐标为， ②方法一：因为直线过定点，所以当点与点的连线与直线垂直时，点到直线的距离最大，最大距离为.方法二：当直线的斜率存在时，点到直线的距离，又因为，，所以，所以，设，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，由时，，所以，当时，，所以当时，取最大值，最大值为， 所以当时，取最大值，最大值为，当直线的斜率不存在时，点P到直线l的距离为，所以点P到直线l的距离得最大值为.【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22.已知函数．（1）若函数有两个极值点，求整数a的值；（2）若存在实数a，b，使得对任意实数x，函数的切线的斜率不小于b，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）对函数求导有，令，将问题化为与有两个交点，利用导数研究最值及区间值域，进而求参数a范围，即可得答案.（2）令，问题化为使在上恒成立，构造，求得处的切线方程，再构造，利用导数证在上恒成立，最后只需对任意恒成立，即可求目标式的最值.【小问1详解】由题设，令，所以，又有两个极值点，所以有两个不同零点，即在上有两个根，所以与有两个交点，而，令，易知在上递减，，， 所以使，即，故上，即，上，即，故在上递增，上递减，趋向于时趋向，趋向于时趋向，，，所以，则，且，，综上，，即，，又为整数，所以，经检验满足题设.【小问2详解】由题设，使恒成立，令，即使在上恒成立，所以在上恒成立，令，在上递增，且，所以，，故在处的切线为，令，则在上递增，而，故上，递减，上，递增，所以，即在上恒成立，综上，对任意恒成立，只需，即，仅当时等号成立，故的最大值.【点睛】关键点点睛：第二问，首先将问题转化为使在 上恒成立，再构造函数并应用切线放缩找到恒大于的切线方程，最后结合恒成立求参数最值.