安徽省安庆市第二中学2023届高三数学下学期模拟考试试卷（Word版附解析）

安庆二中2023高三年数学模拟考试试卷本试卷共4页，22题.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出集合、，利用交集的定义可得结果.【详解】因为，，因此，.故选：B.2.已知，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法化简可得结果. 【详解】，故选：A.3.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】前者推后者可以用指数函数的单调性，后者推不出前者举反例【详解】若，则为增函数所以，即即当时，所以故选：A4.若是奇函数，则（）A.B.CD.【答案】C【解析】【分析】由为奇函数可得，代入相应解析式解方程即可.【详解】易知定义域为，由为奇函数可得，即，解得.故选：C. 5.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间之间的关系为．如果前2小时消除了20%的污染物，则污染物减少50%大约需要的时间为（参考数据：，，）（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意知，污染物的初始含量为，由前2小时消除了20%的污染物建立关系式求解参数，将参数代入解析式中计算污染物减少50%大约需要的时间即可.【详解】前2小时消除了20%的污染物，则故，污染物减少50%，则可得故故选：B【点睛】本题考查指数型函数模型的实际运用.先由具体数据把参数求出来，再利用换底公式计算污染物减少50%大约需要的时间，熟悉对数的运算法则是得分的关键.6.从物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移与时间（单位：）的关系符合函数.从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了张照片.已知连拍的间隔为，将照片按拍照的时间先后顺序编号，发现仅有第张、第张、第张照片与第张照片是完全一样的，请写出小球正好处于平衡位置的所有照片的编号为（）A.、B.、C.、、D.、、【答案】D 【解析】【分析】分析可知弹簧振子运动时的最小正周期为，求出的值，然后结合已知条件求出的值，令可求得的表达式，结合可求得结果.【详解】因为仅有第张、第张、第张照片与第张照片是完全一样的，则弹簧振子运动时的最小正周期为，则，所以，，由题意可得，所以，，即，所以，，则，则，令可得，所以，，令，则，由可得，因为，则，当时，，对应第张照片，当时，，对应第张照片，当时，，对应第张照片.故选：D7.定义新运算“”如下：，已知函数 ，则满足的实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据新定义，得到的表达式，判断函数在定义域的单调性，可得结果.【详解】当时，；当时，；所以，易知，在单调递增，在单调递增，且当时，，当时，，则在上单调递增，所以得，解得.故选：C【点睛】本题考查对新定义的理解，以及分段函数的单调性，重点在于写出函数以及判断单调性，难点在于满足的不等式，属中档题.8.设O为坐标原点，抛物线与双曲线有共同的焦点F，过F与x轴垂直的直线交于A，B两点，与在第一象限内的交点为M，若 ，，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的运算建立方程，转化为离心率e的方程求解.【详解】因为抛物线的焦点，由题可知，，即抛物线方程为，令代入抛物线方程，可得，代入双曲线方程，可得，可设，，，由有两边平方相减可得，，由有：，又即，由有：由，解得.故A，B，D错误.故选：C.二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.若，则（）A.B.C.D. 【答案】ABD【解析】【分析】A.利用不等式的基本性质判断；B.利用重要不等式判断；C.利用基本不等式的条件判断；D.利用作差法判断.【详解】A.因为，所以，所以，则，故正确；B.，而，取不到等号，故正确；C.因为，所以，故错误；D.因为，所以，所以，故正确；故选：ABD10.等差数列的前项和为，已知，，则（）A.B.的前项和中最小C.的最小值为-49D.的最大值为0【答案】BC【解析】【分析】由已知条件先计算出和，然后计算的值对A进行判断；求出的表达式，计算出最小值即可对B进行判断；求出的表达式，运用导数求出最小值判断C选项；求出的表达式对D进行判断.【详解】设数列的公差为d，则解得，，A错误；，当n=5时取得最小值，故B正确； ，设函数，则，当时，，当时，，所以，，且，，所以最小值为-49，C正确；，没有最大值，D错误．故选：BC11.连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能．记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则（）A.事件B与事件C互斥B.C事件A与事件B独立D.记C的对立事件为，则【答案】BCD【解析】【分析】对A，根据事件B包含事件C判断即可；对B，根据概率的性质，用1减去全为正面和全为反面的情况概率即可；对C，根据相互独立事件的公式判断即可；对D，先求得，再利用条件概率公式求解即可【详解】选项A：显然B发生的情况中包含C，故可同时发生，错误；选项B：，正确； 选项C：，故A与B独立，正确；选项D：，，正确；故选：BCD．12.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biēnào）.如图，三棱锥为一个鳖臑，其中平面，，，，为垂足，则（）A.平面B.为三棱锥的外接球的直径C.三棱锥的外接球体积为D.三棱锥的外接球体积与三棱锥的外接球体积相等【答案】BC【解析】【分析】利用线面垂直的判定可判断A选项的正误；利用直角三角形的性质可判断B选项的正误；确定球心的位置，求出三棱锥的外接球的半径，利用球体的体积公式可判断C选项的正误；求出三棱锥的外接球半径，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，如下图，过点向引垂线，垂足为， 平面，平面，则，，，则平面，又、平面，所以，，，，，则平面，这与平面矛盾，A错；对于B选项，平面，平面，则，在三棱锥中，，则的中点到、、、的距离相等，所以为三棱锥的外接球的直径，故B正确；对于C选项，分别取、的中点、，连接，因为、分别为、的中点，则，平面，则平面，平面，平面，则，故的外心为线段的中点，因为平面，则平面平面，故三棱锥的外接球球心在直线上，即该球球心在平面内，所以的外接圆直径为三棱锥的外接球直径，，， ，,在中，，，在中，由余弦定理得，，故，则，所以三棱锥的外接球体积为，故C正确；因为，故为三棱锥的外接球的直径，且，而三棱锥的外接球直径为，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若单位向量，满足，则与的夹角为__________．【答案】【解析】【分析】先将两向量垂直转化为数量积为0，再利用向量夹角公式求解.【详解】已知，由，得，即，所以，又，所以与的夹角．故答案为：.【点睛】向量是解决垂直与平行问题的常用工具，几何中常用到以下结论转化向量的垂直与平行问题：；.14.已知直线(斜率大于)的倾斜角的正弦值为，在轴上的截距为，直线与抛物线交于两点.若，则___________. 【答案】4【解析】【分析】先求出直线的斜率，联立直线与抛物线C的方程，借助弦长公式即可得解.【详解】依题意，直线的倾斜角为45º，斜率k=1，直线的方程为：y=x+2，由得，设，则，从而有，即，而p>0，解得p=4.故答案为：4【点睛】结论点睛：直线l：y=kx+b上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离；直线l：x=my+t上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离.15.已知函数，且函数在区间上单调递减，则的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】由结合的取值范围可求得的值，由可求得的取值范围，根据已知条件可得出关于的不等式组，解出的范围即可得解.【详解】因为，又，所以，所以，，当且时，，因为在区间上单调递减，则，即，即， 因为，则，则且，故，从而，因此，的最大值为.故答案为：.16.已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为______．【答案】【解析】【分析】整体代换求解直线的解析式，利用导数的几何意义求解函数的图象上到直线距离最短的点，即为点，即可求解两点间的最短距离.【详解】解：令，则，，．因为与关于直线对称，所以函数与函数关于直线对称，所以P，Q两点之间距离的最小值等于P到直线距离最小值的2倍，函数在点处的切线斜率为，令得，，，所以点P到直线距离的最小值为，所以这两点之间距离的最小值为．故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知数列的前n项和是，且，数列的通项为.（1）求通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用的关系求的通项公式；（2）由（1）得，应用错位相减法可直接求解.【小问1详解】当时，；当时，，显然满足上式，∴；【小问2详解】由（1）知：，所以①，②，①-②得：，∴.18.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. （1）若，求的值；（2）若，设D为CA延长线上一点，且，求线段AD的长.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理统一转化为边的关系化简即可；（2）根据正弦定理求出，再由可得，由求解.【小问1详解】由正弦定理∴，代⼊，整理得∴；【小问2详解】△ABC中，由正弦定理得∴∴或（舍）∴∵∴由得 ∴∴.19.如图，在直四棱柱中，各棱长都为3，，F为棱上一点，且．（1）求证：平面平面；（2）求直线BD与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】(1)延长线段，CB交于点E，连接AE，证明平面即可；(2)以E为坐标原点，直线EC，EA分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】如图，延长线段，CB交于点E，连接AE，则AE为平面与底面ABCD的交线． 由已知可得，，所以．易知底面ABCD是菱形．因为，所以，在中，由余弦定理，可得，所以，即．因为是直四棱柱，故平面ABCD，又平面ABCD，所以．因为，所以平面，又平面，所以平面平面．【小问2详解】如图，以E为坐标原点，直线EC，EA分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，．设平面的法向量为， 则，取，则．设直线BD与平面所成的角为，则，即直线BD与平面所成角的正弦值为．20.对飞机进行射击，按照受损伤影响的不同，飞机的机身可分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个部分.要击落飞机，必须在Ⅰ部分命中一次，或在Ⅱ部分命中两次，或在Ⅲ部分命中三次.设炮弹击落飞机时，命中Ⅰ部分的概率是，命中Ⅱ部分的概率是，命中Ⅲ部分的概率是，射击进行到击落飞机为止.假设每次射击均击中飞机，且每次射击相互独立.（1）求恰好在第二次射击后击落飞机的概率；（2）求击落飞机的命中次数的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】(1)把恰好在第二次射击后击落飞机的事件拆成两个互斥事件的和，再利用独立事件概率公式计算作答.(2)求出的可能值，并求出每个取值的概率，列出分布列并求出期望作答.【小问1详解】设恰好第二次射击后击落飞机为事件是第一次未击中Ⅰ部分，在第二次击中Ⅰ部分的事件与两次都击中Ⅱ部分的事件的和，它们互斥，所以.【小问2详解】依题意，的可能取值为1，2，3，4，的事件是射击一次击中Ⅰ部分的事件，，由(1)知，，的事件是前两次射击击中Ⅱ部分、Ⅲ部分各一次，第三次射击击中Ⅰ部分或Ⅱ部分的事件，与前两次射击击中Ⅲ部分， 第三次射击击中Ⅰ部分或Ⅲ部分的事件的和，它们互斥，，的事件是前三次射击击中Ⅱ部分一次，Ⅲ部分两次，第四次射击的事件，，所以的分布列为：1234的数学期望.【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.21.已知函数．（1）当时，求函数的极小值；（2）若上，使得成立，求的取值范围．【答案】(1)2；(2).【解析】【详解】试题分析：（1）将参数值代入表达式，再进行求导，根据导函数的正负得到原函数的单调性，进而得到极值；（2）,有解，即h(x)的最小值小于0即可，对函数求导，研究函数的单调性，得到最小值即可.解析：（1）当时，令0，得且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 所以在时取得极小值为.（2）由已知：，使得，即：设，则只需要函数在上的最小值小于零．又，令，得（舍去）或．①当，即时，在上单调递减，故在上的最小值为，由，可得．因为，所以．②当，即时，在上单调递增，故在上的最小值为，由，可得（满足）．③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，故在上的最小值为．因为，所以，所以，即，不满足题意，舍去．综上可得或，所以实数的取值范围为．点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立； （3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）22.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆E截抛物线的准线得到的弦长为3．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设两条不同的直线m与直线l交于E的右焦点F，且互相垂直，直线l交椭圆E于点A，B，直线m交椭圆E于点C，D，探究：A、B、C、D四个点是否可以在同一个圆上？若可以，请求出所有这样的直线m与直线l；否则请说明理由．【答案】（1）（2）可以在同一个圆上，和【解析】【分析】（1）由抛物线焦点坐标得，抛物线准线方程代入椭圆方程求得弦长，从而可求得，得椭圆方程；（2）由题意可知当斜率均存在且不为0时，可设直线l为，直线m为，其中，，，，，直线方程代入椭圆方程，应用韦达定理得，若A、B、C、D四个点可以在同一个圆上，则，用直线上的弦长公式表示后，代入（同理得的相减表达式），从而求得值，得直线方程．【小问1详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，设，由已知得，，，，所以，即，，解得，，则椭圆E的标准方程为． 【小问2详解】因为两条不同的直线m与l直线均过椭圆的右焦点，且互相垂直，由题意可知当斜率均存在且不为0时，可设直线l为，直线m为，其中，，，，，将直线l的方程代入椭圆方程得，，所以，，若A、B、C、D四个点可以在同一个圆上，则，所以，所以，所以，，同理，所以，则，所以，此时存在这样的直线m与直线l，其方程为和．当直线l的斜率为0或斜率不存在时，A，B，C，D显然不在同一个圆上．综上，存在这样的直线m与直线l，其方程为和．