安徽省安庆市2023届高三数学模拟考试（二模）（Word版附解析）

绝密★启封并使用完毕前2023年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题命题：安庆市高考命题研究课题组本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.若复数满足（i是虚数单位），的共轭复数是，则的模是（）A.B.4044C.2D.03.为了解学生每天的体育活动时间，某市教育部门对全市高中学生进行调查，随机抽取1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成6组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组.对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则可以估计该市高中学生每天体育活动时间的第25百分位数约为（）A.43.5分钟B.45.5分钟C.47.5分钟D.49.5分钟4.已知非零向量，的夹角为，，且，则夹角的最小值为（）A.B.C.D.5.已知第二象限角满足，则的值为（）A.B.C.D.6.已知等差数列满足，则不可能取的值是（）学科网（北京）股份有限公司 A.B.C.D.7.已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.8.一底面半径为1的圆柱，被一个与底面成45°角的平面所截（如图），为底面圆的中心，为截面的中心，为截面上距离底面最小的点，到圆柱底面的距离为1，为截面图形弧上的一点，且，则点到底面的距离是（）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.将函数图象上点的横坐标缩短为原来的倍，然后将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象。则下列说法中正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数的图象有一条对称轴为C.函数的单调递增区间为D.函数在区间上的值域为10.在三棱锥中，，，，分别是，，，的重心。则下列命题中正确的有（）A.平面B.C.四条直线，，，相交于一点D.11.学科网（北京）股份有限公司 牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛，其定义是：对于函数和数列，若，则称数列为牛顿数列.已知函数，数列为牛顿数列，且，，，则下列结论中正确的是（）A.B.C.是等比数列D.12.已知、为抛物线上两点，以，为切点的抛物线的两条切线交于点，设以，为切点的抛物线的切线斜率为，，过，的直线斜率为，则以下结论正确的有（）A.，，成等差数列；B.若点的横坐标为，则；C.若点在抛物线的准线上，则不是直角三角形；D.若点在直线上，则直线恒过定点；三、填空题（每小题5分，共20分）13.设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占45%、35%、20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为2%和3%.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为2.95%，则推测丙车间的次品率为______。14.在棱长为4的正方体中，点是棱上一点，且.过三点、、的平面截该正方体的内切球，所得截面圆面积的大小为______。15.已知双曲线，的两个焦点分别为，，过轴上方的焦点的直线与双曲线上支交于，两点，以为直径的圆经过点，若，，成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为______。16.已知函数，其中，若不等式对任意恒成立，则的最小值为______。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）已知公差不为0的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和。18.（本小题满分12分）学科网（北京）股份有限公司 在中，角，，所对的边分别为，，，.（Ⅰ）若角，求角的大小；（Ⅱ）若，，求.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，侧面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若是棱上的一点，且平面.求平面与平面所成二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）为了“锤炼党性修养，筑牢党性根基”，党员教师小A每天自觉登录“学习强国APP”，参加各种学习活动，同时热衷于参与四人赛。每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束。每天的四人赛共有30局，前2局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2、3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2、3、4名的得1分；后28局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分。经统计，小A每天在第1局四人赛中获得3分、2分、1分的概率分别为，，，在第2局四人赛中获得2分、1分的概率分别为，.（Ⅰ）设小A每天获得的得分为，求的分布列、数学期望和方差；（Ⅱ）若小A每天赛完30局，设小A在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为，每局是否赢得比赛相互独立，请问在每天的30局四人赛中，小A贏得多少局的比赛概率最大？21.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，、、分别为椭圆的三个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点.学科网（北京）股份有限公司 （Ⅰ）若点在直线上，求椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线与椭圆的另一个交点为，是线段的中点，椭圆的离心率为，试探究的值是否为定值（与，无关）.若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数，，..（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程是，求和的值；（Ⅱ）若，且的导函数恰有两个零点，求的取值范围.2023年安庆二模数学试题参考答案题号123456789101112答案ABCCDAACABDABCACDAD1.A.解析：，，所以∩，故选A.2.B.解析：.模是故选B.3.C.解析：由频率之和为1得：，解得，由，，故第25百分位数位于内，则第25百分位数为.可以估计该市高中学生每天体育活动时间的第25百分位数约为47.5，故选C.4.C.解析：由有，，即，因此.由于，所以，学科网（北京）股份有限公司 于是夹角为的最小值为.故选C.5.D.解析:因为，且为第二象限角，所以，于是.故选D.6.A.解析：法1：设，，则，所以.故选A.法2：因为,所以.因此故选A.7.A.解析：方法1.由题意得，方程有三个不等的实数根.，分别作出函数和的图象，可得的取值范围是.故选A.方法2.取作图检验可得.8.C.解析：圆柱半径为1，截面与底边所成角为，作于，则，.截面椭圆是以为中心，为长轴端点的椭圆，其长轴长为，短轴长为2，作于，利用解析几何知识易得，，过作，则，由于均平行于底面，故点到底面的距离是.故选C.9.ABD.解析：因为与的图象振幅相等，所以，而，因此.所以函数.将函数的图象上的点的横坐标缩短为原来的倍，然后将所得图象向右平移个单位得到函数的图象，学科网（北京）股份有限公司 所以，由于，从而.于是，即，从而，.因此，，函数的最小正周期为.A正确.是函数的一条对称轴，故B正确；单调递增区间为，C不正确.函数在区间的值域为，D正确.故选ABD.10.ABC.解析：由于分别是的重心，所以分别延长,交于中点因为，，所以故.平面,平面,因此.A正确.因为是的重心，所以因此.B正确.显然线段的交点分为同理线段和线段的交点分为因此四条直线相交于一点.C正确.因为，所以因此.D错误.故选ABC.11.ACD.解析：由得，解得.就是.由得，.一方面，.另一方面，.因此，学科网（北京）股份有限公司 于是，即，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，故.故选ACD.12.AD.解析：设，，由，得，故，，所以切线的方程为，即，同理，切线的方程为，设点坐标为，所以，，从而为方程的两根，故，，，故，，成等差数列，A正确；若，则，B不正确；若点在抛物线的准线上，则，，故两切线垂直，则为直角三角形，C不正确；若点在直线上，则，直线的方程为，即，由于，故直线的方程为，即，从而过定点，故D正确.选AD.三、填空题（每小题5分，共20分）13.5%.解析：A表示“取到的是一件次品”，，，分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，显然是样本空间S的一个划分，且有，，.由于，，设，由全概率公式得而2.95%，故5%.14..解析：由条件知正方体的内切球半径大小为2，设球心到平面的距离为，则得到，解得.于是截面圆的半径大小为，故截面圆的面积大小为.15..解析：由双曲线的定义学科网（北京）股份有限公司 16..解析：因为所以不等式就是即两边是同构式.构造函数则就是因为所以在上单增.而，因此由得，故正实数的最小值为17.解析：（Ⅰ）由条件知，故.设数列的公差为，则.因成等比数列，所以，即，解得，……………………………3分所以.……………5分（Ⅱ）由（1）知，所以，故.……………………………………10分学科网（北京）股份有限公司 18.解析：（Ⅰ）由于，有，即，,，，所以.由于,且，故.…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知…………8分当为锐角时，……10分当为钝角时，……12分19.解析：（Ⅰ）如图①，在梯形中，作于点.因为//，°，，所以四边形是正方形，且，，所以，.在△中，，，，所以，所以.在四棱锥中，由，，得平面.…………5分（Ⅱ）解法一、如图②，连接交于点，连接.因为//平面，平面经过与平面相交于，所以//.…………6分因为//，所以△∽△，所以.由//，得.…………7分由，，可知.又由于（1）平面，故、、两两垂直，故可以点为原点，以、、所在的直线分别为x学科网（北京）股份有限公司 轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，如图③所示.…………8分则，，，由，可得，所以，.设平面的一个法向量为，则，取，，，则.又平面的一个法向量为，设平面与平面所成二面角大小为，则.故平面与平面所成二面角的余弦值为.…………12分解法二：由（1）平面，所以.因为，，所以△是直角三角形，，所以平面.又在平面内，所以.由，，平面，平面，平面平面，所以就是平面与平面所成二面角的一个平面角.…………7分如图④，连接交于点，连接，作垂足为点.因为//平面，平面经过与平面相交于，所以//.因为//，所以△∽△，故.由//，得.…………8分在△中，，，所以//，所以，学科网（北京）股份有限公司 ，所以，.在中，，.所以平面与平面所成二面角的余弦值为.…………12分20.解析：（Ⅰ）由条件知的可能值为5，4，3，2.…………………………1分其分布列为5432………………4分，.………6分（Ⅱ）设小A每天赢得的局数为，则~，于是.……………………………………8分根据条件得，解得，又因为，所以，因此在每天的30局四人赛中，小A赢得10局的比赛概率最大.……………………………………12学科网（北京）股份有限公司 分21.解析：（Ⅰ）由题意可知点，，的坐标分别为()，()，()，所以直线的方程为：，直线的方程为：.由和，消除得，，即为点的横坐标.………3分因为点在直线上，所以.整理得，所以离心率.…………5分（Ⅱ）当椭圆的离心率为时，，，所以椭圆的方程为，即，直线的方程为：.，消去，化简整理得，所以点的横坐标为，纵坐标为.因为点的坐标为()，所以中点的坐标为.………8分又由（1）知点的横坐标为，所以点的纵坐标为.所以，，故，为定值.…………12分学科网（北京）股份有限公司 22.解析：（Ⅰ）因为，所以…………2分因为曲线在点处的切线方程是所以即解得…………4分（Ⅱ）由得，.显然因此.…………5分令且，则解方程得，…………7分因此函数在和内单增，在和内单减，且极大值为，极小值为.…………9分由图象可知,当或时，直线与曲线分别有两个交点，即函数恰有两个零点.故的取值范围是……12分学科网（北京）股份有限公司