湖北省部分名校2022-2023学年高三数学下学期二模试题（Word版附答案）

2023年高考模拟考试（二）数学本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设、、、…、是均含有2个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（）A．5B．6C．7D．82．设，则的值为（）A．2B．0C．D．13．从正方体的8个顶点和中心中任选4个，则这4个点恰好构成三棱锥的概率为（）A．B．C．D．4．过点可作三条直线与曲线相切，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．5．鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构．图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图．它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为2．若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为（）图1图2A．B．C．D．6．已知定义在上的函数是奇函数，且满足，，数列满足且 ，则（）A．B．C．2D．37．已知抛物线和圆，直线与，依次相交于，，，四点（其中），则的值为（）A．1B．2C．D．8．设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知函数，则（）A．是偶函数B．的最小值为C．在上有4个零点D．在区间单调递增10．如图，在中，，，，若为外接圆的圆心，且，，则（）A．B．C．外接圆的面积为D．11．下图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，是唐代金银细作的典范．该杯主体部分可近似看作双曲线的右支与直线，，围成的曲边四边形绕 轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，与坐标轴交于，，则（）A．双曲线的方程为B．双曲线与双曲线共渐近线C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线有两个交点D．存在无数个点，使它与，两点的连线的斜率之积为312．已知数列满足，，前项和为，则（参考数据：，）（）A．B．C．D．是单调递增数列，是单调递减数列三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直角三角形中，直角边，点是边上一定点，，点是斜边上一动点，，则面积的最大值为________；线段长度的最小值为________．14．如图，在平面直角坐标系中，已知曲线、、依次为、、的图像，其中为常数，0，点是曲线上位于第一象限的点，过分别作轴、轴的平行线交曲线分别于点、，过点作轴的平行线交曲线于点，若四边形为矩形，则的值为________． 15．已知函数，对任意，都有（为常数），且当时，，则________．16．已知不等式在上恒成立，则实数的最小值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）设的内角、、的对边分别为、、，已知．（1）判断的形状，并说明理由；（2）求的最小值．18．（12分）在三棱柱中，，侧面底面，是棱的中点．（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值．19．（12分）已知数列的前项和为，且满足；数列的前项和为，且满足，，．（1）求数列、的通项公式；（2）是否存在正整数，使得恰为数列中的一项？若存在，求所有满足要求的；若不存在，说明理由．20．（12分）新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查．在某地抽取人，每人一份血样，共份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案： 方案甲：逐份检验，需要检验次；方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有份，分别从份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这个人全部为阴性，因而这个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这个人的血样再逐份检验，因此这个人的总检验次数就为．假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为．（1）若，，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率；（2）记为用方案乙对个人的血样总共需要检验的次数．①当，时，求；②从统计学的角度分析，在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？（参考数据：，，）21．（12分）已知椭圆，过点，过其右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数（其中，）．（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围；（3）求证：对于任意大于1的正整数，都有．2023年高考模拟考试（二）数学试题参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1．A2．C3．D4．D5．D6．B7．A8．C 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．ABC10．ABD11．ABD12．ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．14．15．216．四、解答题：本题共6小题，共70分。17．解：（1）解：为钝角三角形，证明如下：由，则有，所以，因为，所以，则为锐角．所以，所以或，则或，由题意知，所以，所以，所以，故为钝角三角形．（2）解：由（1）知，，由正弦定理，有 当且仅当时等号成立，由为锐角，则，所以当时取最小值．18．解：（1）解：取，的中点，，连接与交于点，连接，，．则为的中点，因为三棱柱，所以，且，所以四边形是平行四边形．又是棱的中点，所以．因为侧面底面，且，所以平面所以平面又平面，所以平面平面（2）解：连接，因为，所以是等边三角形，故底面．设，可得，分别以，，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，设平面的一个法向量为则，所以，取，， 所以又平面的一个法向量为故因为二面角为钝角，所以其余弦值为．19．解：（1）解：因为，所以当时，，两式相减得，即，又，则，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，故．由得，，，…，，以上个式子相乘得，即①，当时，②，两式相减得，即，所以数列的奇数项、偶数项分别成等差数列，，，因此数列的通项公式为．（2）解：当时，无意义，设，显然．则，即．显然，所以，所以存在，使得，，下面证明存在，否则，即，此式右边为3的倍数，而不可能是3的倍数，故该式不成立． 综上，满足要求的为，．20．解：（1）解：对5个人的血样进行检验，且每个人的血样是相互独立的，设事件为“5个人的血样中恰有2个人的检验结果为阳性”，则（2）解：①当，时，5个人的血样分别取样再混合检验，结果为阴性的概率为，总共需要检验的次数为1次；结果为阳性的概率为，总共需要检验的次数为6次；所以的分布列为：16所以．②当采用混合检验的方案时，根据题意，要使混合检验的总次数减少，则必须满足，即，化简得，所以当满足，用混合检验的方案能减少检验次数．21．解：（1）解：由题知，椭圆过点和，所以，解得所以椭圆的方程为（2）解：假设在轴上存在定点，使得恒成立，设，，由，得，∴， ∵，∴，∴∴点在以为直径的圆上，即，∴∴恒成立∴，解得∴∴存在定点，使得恒成立．22．（1）解：∵，∴，∴，∵，∴在点处的切线方程为（2）解：∵，∴，∵在上为增函数，∴对任意恒成立．∴对任意恒成立， 即对任意恒成立．∵时，，∴，即所求正实数的取值范围是（3）解：当时，，当时，，故在上是增函数．当时，令，则当时，，所以，所以，，，…，所以，即所以，即对于任意大于1则正数，都有