浙江省杭州第二中学2023届高三数学下学期5月月考试题（Word版附解析）

杭州二中2022学年第二学期高三年级5月月考数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.对于，，，则，，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据二项分布的概率公式可得，再根据指数函数与二次不等式的求法，结合交集与补集的计算求解即可.【详解】由题意，，解得，，故，即，则，满足，即，，解得或，故，故，.故选：B2.若复数z满足，则的最小值为（）A.B.C.D.1【答案】C【解析】【分析】首先设复数，(不同时为0)，根据条件化简求得的关系式，再根据复数模的几何 意义求最值.【详解】设，(不同时为0)，，由题意可知，得或，当时，的轨迹是轴（除原点外），此时的几何意义表示复数表示的点和的距离，此时，当时，复数的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，如图，根据复数模的几何意义可知，的几何意义是圆上的点到的距离，如图可知，的最小值是点与的距离.故选：C3.已知单位向量和向量、满足，，则的最大值为（）A.B.C.2D.【答案】B【解析】【分析】设，再分别设，，根据题意可得轨迹方程，再根据数量积公式数形结合分析即可.【详解】设，，由可得，化简可得，即.设，则由可得，故的 轨迹为以为焦点，的椭圆，其方程为.设夹角为，则，由圆与椭圆的性质可得，，，，故当同向，均往负半轴时，取得最大值.故选：B4.（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先构造二项式，再根据两边求导，再变形后求导，赋值后即可求解.【详解】，两边求导得，，两边乘以后得，，两边求导得，，取得.故选：A5.已知，x，，则的最小值为（）A.－2B.C.－1D.【答案】A 【解析】【分析】将目标式化为，应用基本不等式及已知可得，注意等号成立条件，进而求目标式最小值.【详解】由，且，，所以，仅当，时等号成立，所以，故当时目标式取最小值为.故选：A6.，，，，则四者的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】观察可得判断，，，在处的函数值大小，再分别构造函数分析即可.【详解】构造函数，，，.考查，，令可得，易得当时，单调递增，故，即，.故，即.考查，，则，故，为增函数，，即.故当时，有，，，，即，.构造函数，， 令，，当时，，单调递增，又，所以，又，所以，在成立，所以，即.再考查.令，则，故在定义域上单调递减，，故，令，，则，对求导有，故为增函数，故，故为增函数，，则，故当时，.又，故当时，故.故，，则，即综上有.故选：D7.数列满足，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】由题意化简可得，根据，利用累加法可得；根据，利用累加法计算化简可得，进而得出，令计算即可.【详解】显然，对任意，．，化简可得，所以，则，累加可得，所以．又，所以，则，注意到，所以，则，所以．综上．当时，，，即.故选：C.8.对正实数a有在定义域内恒成立，则a的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】利用导数研究单调性，得极小值，将问题转化为在上恒成立，再应用导数研究左侧的最小值，即可求解.【详解】由题设且，令，则，所以在上递增，显然趋向0时趋向，，故使，即，则，所以，在上，递减；在上，递增；故，要上恒成立，则，即恒成立，令且，则，故时，时，所以上递减，上递增，则，且当时，,综上，，可得.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列选项不正确的是（）A.零向量垂直且平行于任意向量B.－1是奇数C.对于拟合函数，预测值为1.5，观测值为1，残差为0.5D.直线、圆、点均属圆锥曲线【答案】CD【解析】【分析】由零向量性质、奇数定义判断A、B；由残差定义判断C；由圆锥曲线定义判断D. 【详解】A：由零向量性质：方向任意，故其与任意向量都垂直且平行，对；B：由不能被2整除，故－1是奇数，对；C：残差是观测值与估计值的差，故残差为，错；D：直线、点不是圆锥曲线，错.故选：CD10.下列选项不正确的是（）A.平面内三点可以确定一条圆锥曲线B.圆是特殊的椭圆C.互斥事件相互独立D.掷两次骰子，事件A：第一次向上面为偶数，事件B：二次向上面数字和为7，则A、B相互独立【答案】ABC【解析】【分析】对A，举反例判断即可；对B，根据椭圆的定义判断即可；对CD，根据独立事件的定义判断即可；【详解】对A，若三点共线则确定不了圆锥曲线，故A错误；对B，根据椭圆的定义可得，与两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆，圆不满足，故B错误；对C，设两互斥事件分别为，则，故不恒成立，故互斥事件不相互独立，故C错误；对D，，，又，故，故A、B相互独立，故D正确；故选：ABC11.在平行六面体中，，，，以下选项正确的是（）A.平行六面体的体积为B.C.面D.二面角的余弦值为【答案】AD【解析】【分析】对A，连接，交于 ，进而根据勾股定理余弦定理结合几何性质可得各线段长，再根据线面垂直的判定可得平面，进而根据柱体体积公式求解即可；对B，以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，再根据线线角的向量做法求解即可；对C，根据空间向量数量积判断即可；对D，作于，可得二面角即，再根据余弦定理求解即可.【详解】对A，连接，交于，则为，中点，又由，可得为正三角形，故.又，，故，故，故，又，故，.故，则，又，，平面，故平面.故平行六面体的体积为，故A正确；对B，以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，则，故，，故，故，故B错误； 对C，，因为，，又面，故面不成立，故C错误；对D，由，故.作于，由全等性质可得，又，平面，则平面，则二面角的平面角为.又，，故，即二面角的余弦值为.故D正确；故选：AD.12.已知曲线：，：，，，与的两条公切线、交于点P，O为坐标原点，下列选项正确的是（）A.时，与相切，与相切 B.当时，与、的交点个数之和至多为2C.D.当与一条公切线相切时，切点Q满足【答案】AB【解析】【详解】此题解析征解三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.多项式中，项的系数为______（用数字作答）．【答案】【解析】【分析】根据组合数的方法求解即可.【详解】依题意，中，含项的为.故答案为：14.有三个男生的平均身高为170cm，方差为30；有七个女生的平均身高为160cm，方差为40，则这10人身高的方差为______．【答案】58【解析】【分析】根据男女生权重计算出10人的平均身高，该根据男女生权重和方差公式计算出新的方差.【详解】由题意知，男生的平均身高、权重和方差分别为，，；女生的平均身高、权重和方差分别为，，；则，.故答案为：58. 15.已知，关于的方程有且仅有一个解，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由已知得出，设，则，再根据解的个数解的个数（且），分析讨论解的个数，即可得解．【详解】因为，，所以，且，则，即，设，则，即有且仅有一个解，因为解的个数解的个数（且），所以下面讨论解的个数；由，得其中，（1）当时，得，令，，则，即，因，所以为增函数，所以，令，，则，令得， 当，，即单调递减，当，，即单调递增，所以，（ⅰ）当，即时，方程无解，即函数与的图像没有交点；（ⅱ）当，即时，方程有一解，即函数与的图像有一个交点；（ⅲ）当，即时，当时，，当时，，所以方程有两解，即函数与的图像有两个交点；（2）当时，由①②消去，得③，由于，且，故，即，对③式两边取自然对数，得，即，两边取自然对数，得，令，，则，由得， 令，，则，由得，当时，；当时，；所以当时，；（ⅰ）当，即时，恒成立，所以，因为，，所以，即当且仅当，且时等号成立；所以在上为减函数，又因为当时，；时，，所以方程恰有一解，此时函数与的图像有一个交点；（ⅱ）当时，即时，因为当时；时，所以存在，，使得，所以，当变化时，的变化情况如下表： 负正负减增减由上表可知，在内是减函数，在内是增函数，在内是减函数，下面证明，；，令，则当时，，所以在内是增函数，所以，即；，，令，，易证为减函数，所以当，，即；因为，所以，又因为当时，，当时，， 所以在区间，，各有一个解，此时函数与的图像有三个交点；综上所述，函数与（且）图像的交点情况如下：当时，没有交点；当时，有1个交点；当时，有2个交点；当时，有1个交点；当时，有3个交点；所以或，即或，故答案为：．【点睛】关键点睛：本题关键在于：①将解的个数转化为解的个数（且）；②分类讨论解的个数与之间的关系．16.已知椭圆：，其左、右焦点分别为、，直线过交于A、B两点，且有；双曲线：，与共焦点，其右支交于C、D，且，当最小时，m的值为______．【答案】【解析】【分析】直线与x轴不重合，设联立椭圆并应用韦达定理及求得，注意验证直线与x轴重合的情况，再由双曲线方程，结合椭圆、双曲线定义求m、n，进而确定 最小时对应m值.【详解】由题设且，令且，若直线与x轴不重合，设，联立椭圆得，所以，则，，又，而一定在x轴两侧，不妨设在x轴上方，在x轴下方，故，所以，则，所以，而直线与x轴重合时，也满足，综上，椭圆，由题意，，则，所以，由为双曲线，则，故，所以最小时，有.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在中，．（1）求A；（2）若线段AC上有一点D，设，则在 上恰有两条对称轴（），求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合余弦定理可得，再根据基本不等式与三角恒等变换可得即可；（2）由（1）可得，从而，再根据周期与的大小关系列不等式可得或，再分别讨论求解即可.【小问1详解】由正弦定理，，故，故，即，当且仅当，，即时取等号.又，故【小问2详解】由（1），即，.由题意，又在上恰有两条对称轴（），故的周期满足，即，故，又，故或.当时，，可看作往左平移个单位，因为，故不满足题意；当时，，可看作往左平移个单位，满足题意.故18.数列满足，，，，．（1）求的通项； （2）若，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据递推公式找出数列规律，得到是等比数列，由此求出其通项公式，继而得到的通项；（2）将代入不等式中，可知不等式左边为正数，右边符号不确定，因此分类讨论n为偶数和奇数时的取值范围，取交集即可.【小问1详解】因为，，所以，又，其中，，由此可得，所以，，所以是以为首项，为公比的等比数列.所以，解得，其中，，检验：根据通项公式计算可得，，所以【小问2详解】由（1）可知， 当为奇数时，，当时，取最小值，即，解得或；当为偶数时，，当时，取最小值，即，解得或；综上：或，故的取值范围为.19.四面体中，，，，，E为AC中点．（1）证明：；（2）若二面角的余弦值为，求a的值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）过作面于，再过作，连接，求证是的角平分线，即在面上的投影为的角平分线，若为在面上的投影且在上，连接，由已知和线面垂直的性质有、，最后应用线面垂直的判定及性质证结论；（2）若为的交点，到面的距离为，利用等体积法求得，再由及余弦定理求△中上的高 ，根据二面角的定义和已知余弦值求参数a.【小问1详解】过作面于，再过作，连接，如下图示：由题设知：，又面，则，由面，即，而，，面，所以面，又面，故，同理可证：，综上，△和△为等腰直角三角形，即△△，故，所以△△，故，则△△，故，所以是的角平分线，即在面上的投影为的角平分线，如下图，若为在面上的投影且在上，则平分（即），连接，由面，则，在△中，，则，即，又E为AC中点，故，故，所以，易知：， 因为，面，故面，因为面，所以.【小问2详解】若为的交点，由题意，即△为正三角形，所以为中点，易知△△，即，且，令到面的距离为，而，，由，则，故；结合（1）知：，故，所以，即，故，，，则，综上，，由，且，所以，故，所以△中上的高，因为二面角的余弦值为，则正弦值为，即，所以，即，由得：.20.2022 年，我国部分地区零星出现新冠疫情，为了有效快速做好爆发地区的全员核酸检测，我国专家突破难关，使得多合一混采检测情况下依然有效，即：多人的咽拭子合入一个样管进行检测．如果该样管中检测出的结果是阴性，就表示与该管相关的人检测结果都是阴性．否则，立即对该混管的多个受检者进行暂时单独隔离，并重新采集单管拭子进行复核，以确定其中的阳性者．采用多合一混采检测模式，是为了确保在发生新冠肺炎疫情时，能够短时间内完成大规模全员核酸检测工作，降低新冠前炎疫情在本地扩散风险．已知每人患病的概率为p，检测一组样本使用混管检测时，采用k人一管的检测方式并在完成检测后统计混阳管中每管阳性样本数．（1）若，，证明：若检测结果为阳性，则很可能恰有一人为阳性；（2）若，，以下为一次检测的阳性人数与管数的对应表，检测出阳性人数为x的管数为．人数x123456管数23147321（i）求其中每管阳性人数的期望；（ii）若有，求的最小值；（iii）对于正态分布函数，求的值．【答案】（1）证明见解析（2）（i）；（ii）76；（iii）【解析】【分析】（1）设混管中有阳性为A，恰有1人阳性为B，由条件概率公式得，结合二项式定理计算证明即可；（2）（i）由二项分布的期望公式求解；（ii）利用二次函数的性质求最小值；（iii）利用正态分布的性质求解.【小问1详解】设混管中有阳性为A，恰有1人阳性为B，则，，，， 若，则，从而，则，所以，若检测结果为阳性，很可能恰有一人为阳性．【小问2详解】（i）每管阳性人数，则；（ii），故当时，取最小值76；（iii）对于正态分布函数，则则．21.已知双曲线，其左、右焦点分别为、，上有一点P满足，．（1）求b；（2）过作直线l交于B、C，取BC中点D，连接OD交双曲线于E、H，当BD与EH的夹角为时，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）根据得，利用余弦定理得，即可求出；（2）设直线BC的方程为，与双曲线联立，设，结合韦达定理可得，，，进而得点坐标及，直线的方程与双曲线联立，设，可得，当BD与EH的夹角为时，由可得，及，从而，结合二次函数的性质求得，进而由求得答案.【小问1详解】由题意,，，，在中,由余弦定理得，，则，即，.【小问2详解】双曲线，， 设直线BC的方程为，由，得，即，由题意，，设，则，则，则，则，，直线的方程为，由，得，由题意，解得，设，则，当BD与EH的夹角为时，，则，得，可知，所以，，，，， 所以，即的取值范围是．22.已知，，．（1）若恒成立，证明：；（2）对于有，其根可设为，相同地，对于，其根可设为，令．（i）证明：在上单调递增；（ii）若，求n的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）（i）证明见解析；（ii）．【解析】【分析】（1）由题意可得恒成立，所以，利用导数求出函数的最小值的近似值，即可证出；（2）（i）利用单调性的定义即可证出；（ii）设，，原不等式可等价于，再求出函数的范围，即可解出．【小问1详解】［方法一］：由恒成立可得，恒成立，即.设，则，再设，，所以函数在上递增，而 ，（后面补证），，即存在唯一的零点使，即．故当时，，单调递减，当时，，单调递增，因此，由函数，，易知函数在上单调递减，所以．下面证明设，则，所以函数在上递减，故当时，，即．［方法二］：由方法一可知，，所以，故存在唯一的零点使．设，，所以，即，所以当时，，设，则 故，即，原不等式得证．【小问2详解】（i）设，记，，由可得，即，所以，，设，，所以函数在上递增，在上递减，而且当时，，其大致图象如下：当时，直线与曲线只有一个交点，即有唯一的实根，且根在内．因为，所以，即，而函数在上递增，故，即在上单调递增．（ii）设，由题可知，，即，由（i）可知，，且，设，所以，即，解得：，即，原不等式等价于，即，所以，， 设，，，所以，即，即，所以n的取值范围为．【点睛】本题解题关键是等价转化，第一问将恒成立问题转化为最值问题，通过放缩解出，第二问第一小问，因为无法求出的表达式，所以通过定义证明，第二小问，利用比值代换，将原不等式转化为恒成立，进而通过导数求最值得出．