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四川省成都市玉林中学2022-2023学年高三数学(理)下学期高考模拟试题(Word版附解析)
四川省成都市玉林中学2022-2023学年高三数学(理)下学期高考模拟试题(Word版附解析)
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成都市玉林中学高2020级高考模拟考试理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.使成立的一个充分不必要条件是()A.1<x<3B.0<x<2C.x<2D.0<x≤22.某工厂有甲、乙两条生产线生产同一型号的机械零件,产品的尺寸分别记为X,Y,已知X,Y均服从正态分布,,其正态分布密度曲线如图所示,则下列结论中正确的是()A.甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性B.甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性C.甲生产线的产品尺寸均值大于乙生产线的产品尺寸均值D.甲生产线的产品尺寸均值小于乙生产线的产品尺寸均值3.设是纯虚数,若是实数,则的虚部为()A.B.C.1D.34.羽毛球运动是我校春季特色体育运动会的传统项目,深受全校师生喜爱.标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上,测得每根羽毛在球托之外的长为7,球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面,测得顶端所围成圆的直径是6,底部所围成圆的直径是2,据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为()A.B.C.D.5.如图,的值为() A.B.C.D.6.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方:将1,2,…,9填入3×3的方格内,使三行、三列、对角线的三个数之和都等于15,如图所示.一般地,将连续的正整数1,2,3,…,n2填入n×n个方格中,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方形叫做n阶幻方.记n阶幻方中数的和即方格内的所有数的和为Sn,如图三阶幻方中数的和S3=45,那么S9等于()A.3321B.361C.99D.337.若(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a2+a4的值为()A.9B.8C.7D.68.德国数学家米勒曾提出最大视角问题,这一问题一般的描述是:已知点,是的边上的两个定点,是边上的一个动点,当在何处时,最大?问题的答案是:当且仅当的外接圆与边相切于点时最大,人们称这一命题为米勒定理.已知点,的坐标分别是,,是轴正半轴上的一动点.若的最大值为,则实数的值为()A.2B.3C.或D.2或49.已知函数,,则图象为如图的函数可能是()A.B.C.D. 10.已知函数在上单调递增,则f(x)在(0,2π)上的零点可能有()A.2个B.3个C.4个D.5个11.将《三国演义》、《西游记》、《水浒传》、《红楼梦》4本名著全部随机分给甲、乙、丙三名同学,每名同学至少分得1本,A表示事件:“《三国演义》分给同学甲”;B表示事件:“《西游记》分给同学甲”;C表示事件:“《西游记》分给同学乙”,则下列结论正确的是()A.P(A)P(B)=P(AB)B.P(A)P(C)=P(AC)C.P(B|A)=D.P(C|A)=12.对于非空实数集,记.设非空实数集合,若时,则.现给出以下命题:①对于任意给定符合题设条件的集合M、P,必有;②对于任意给定符合题设条件的集合M、P,必有;③对于任意给定符合题设条件的集合M、P,必有;④对于任意给定符合题设条件的集合M、P,必存在常数,使得对任意的,恒有,其中正确的命题是()A.①③B.①④C.②③D.②④二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知S是△ABC所在平面外一点,D是SC的中点,若,则x+y+z=________.14.写出一个同时满足下列条件①②的等比数列的通项公式__________.①;②15.经过椭圆中心的直线与椭圆相交于M,N两点(点M在第一象限),过点M作x轴的垂线,垂足为点E,设直线NE与椭圆的另一个交点为P,则∠NMP的大小为________.16.已知长方体ABCD-A1B1C1D1的高为,两个底面均为边长为1的正方形,过BD1作平面α分别交棱AA1,CC1于E,F,则四边形BFD1E面积的最小值为________.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC1=3,点D,E分别在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=2,M为棱A1B1的中点. (1)求证:C1M⊥B1D;(2)求二面角B-B1E-D的正弦值.18.如图是某企业2016年至2022年的污水净化量(单位:吨)的折线图.注:年份代码1~7分别对应年份2016~2022.(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y和t的关系,请建立y关于t的回归方程,并预测2025年该企业的污水净化量;(2)请用相关指数说明回归方程预报的效果.参考数据:参考公式:线性回归方程相关指数:19.(本题满分12分)在△ABC中,D为边BC上一点,,,.(1)求;(2)若,求△ABC内切圆的半径.20.(本题满分12分)已知双曲线E:与直线l:相交于A、B两点,M为线段AB的中点.(1)当k变化时,求点M的轨迹方程;(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点,问:是否存在实数k,使得A、B是线段CD的两个三等分点?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由. 21.(本题满分12分)已知函数(1)若求在区间上的值域;(2)若有唯一极值点,求实数的取值范围.22.(本题满分10分)在直角坐标系中,已知曲线(为参数),曲线,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)曲线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程;(2)已知是曲线上的两个动点(异于原点),且,若曲线与直线有且仅有一个公共点,求的值.成都市玉林中学高2020级高考模拟考试理科数学参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.答案B解析由得0<x≤2,依题意由选项组成的集合是(0,2]的真子集,故选B.2.答案A解析由图知甲、乙两条生产线的均值相等,甲的正态分布密度曲线较瘦高,所以甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性.3.【答案】D【详解】设,则,因为是实数,所以,即,所以,故的虚部为3.故选:D.4.【答案】C5.答案B6.答案A 解析由题意知,.7.答案B解析令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4=0,令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4=16,两式相加得a0+a2+a4=8.8.【答案】C【分析】根据米勒定理,当最大时,的外接圆与轴正半轴相切于点;再根据圆的性质得到为等边三角形,从而求出的值.【详解】根据米勒定理,当最大时,的外接圆与轴正半轴相切于点.设的外接圆的圆心为,则,圆的半径为.因为为,所以,即为等边三角形,所以,即或,解得或.故选:C.9.【解析】:由图可知,图象关于原点对称,则所求函数为奇函数,因为为偶函数,为奇函数,函数为非奇非偶函数,故选项错误;函数为非奇非偶函数,故选项错误;函数,则对恒成立,则函数在上单调递增,故选项错误.故选:.10.答案A解析由,得,取,可得. 若在上单调递增,则解得.若,则.设,则,因为,所以函数在上的零点最多有2个.11.答案D解析将《三国演义》、《西游记》、《水浒传》、《红楼梦》4本名著全部随机分给甲、乙、丙三名同学,共有(个)基本事件,事件包含的基本事件数为,则,同理,,事件包含的基本事件数为,则,事件包含的基本事件数为,则,因为,故错误;因为,故B错误;因为,故错误.因为,故D正确;12.答案B解析由已知,为不小于集合中最大值的所有数构成的集合.①因为,设集合M和P中最大值分别为m和p,则,故有; ②设,则,故;③设,则,故;④令,则对任意的,,故恒有.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.答案0解析依题意得,因此x+y+z.14.答案】【解析】可构造等比数列,,则公比为负数,,取15.【答案】.【详解】设,则,所以,,所以,所以.所以,所以,所以.16.答案解析法一根据题意作图,如图所示,过点F作FH⊥BD1交BD1于H,设FH=h.由题意得BD1=2.因为长方体对面平行, 所以截面BFD1E为平行四边形,则S四边形BFD1E=,当h取最小值时四边形BFD1E的面积最小.易知h的最小值为直线CC1与直线BD1间的距离.易知当F为CC1的中点时,h取得最小值,,(S四边形BFD1E)min=.故四边形BFD1E面积的最小值为.法二(射影面积法)设平面BFD1E与底面ABCD的交线为l.如图所示,过D1作D1H⊥l于H.连接DH,则∠D1HD为二面角D1-l-D的平面角,设为θ.根据射影面积公式S四边形BFD1E·cosθ=S四边形ABCD,得S四边形BFD1E=,则当cosθ最大时,S四边形BFD1E最小.当cosθ最大时,分析易知DH最长.又DH最长为DB=,所以cosθ最大值为,因为S四边形ABCD=1,所以四边形BFD1E面积的最小值为.点津突破1.破解本题的关键是探求点F到BD1的距离的最小值,即寻找点F在何处时FH与CC1,BD1同时垂直.2.如图所示,AD⊥平面α,∠AHD=θ是二面角A-BC-D的平面角,由cosθ=,可得△ABC的面积、△ABC在过其底边BC的平面α上的射影△DBC的面积及θ之间的关系:S△DBC=S△ABC·cosθ,本题用射影面积法找截面与底面所成二面角的最小角是关键. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(1)证明如图,依题意,以C为坐标原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,可得C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,3),A1(2,0,3),B1(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2),M(1,1,3).则,(2)解依题意,是平面的一个法向量,1).设为平面的法向量,则即不妨设,可得.,二面角的正弦值为.18.解(1)由折线图中的数据得所以所以y关于t的线性回归方程为将2025年对应的t=10代入得,所以预测2025年该企业污水净化量约为58.5吨. (2)因为所以“污水净化量的差异”有87.5%是由年份引起的,说明回归方程预报的效果是良好的.19.解:(1)设,∴,,在△ADC中,由正弦定理可得,在△ABD中,,又,所以,∴,∴,∴.(2)∵,∴,又易知为锐角,∴,∴,,∵,∴,∴△ABD中,,又,在△ABC中,由余弦定理可得,∴.设△ABD的内切圆半径为r,则,则20.解:(1)(法1)设,,. 联立直线l与双曲线E的方程,得,消去y,得.由且,得且.由韦达定理,得,.所以,.由消去k,得.由且,得或.所以,点M的轨迹方程为,其中或.(法2)设,,.(i)当时,易得.(ii)当时,,由,两式相减,整理得.而,,,所以,即.综上,点M的轨迹方程为(除去的一段).(2)(法1)双曲线E的渐近线方程为. 设,,联立得,同理可得,因为,所以,线段AB的中点M也是线段CD的中点.所以,A,B为线段CD的两个三等分点.即,.而,.所以,,解得,所以,存在实数,使得A、B是线段CD的两个三等分点.(法2)双曲线的渐近线方程为.设,,联立直线l与双曲线E的渐近线方程,得,消去y,得.由韦达定理,得线段CD的中点横坐标为.所以,线段AB的中点M也是线段CD的中点.所以,A,B为线段CD的两个三等分点.所以,,解得,所以,存在实数,使得A、B是线段CD的两个三等分点. 21.(1)当时,在上单调递增,上单调递减(2)有唯一极值点有唯一变号零点有唯一变号零点有唯一变号零点当时,显然成立;当且时,在上单调递增,在上单调递减,不可能仅有一个变号零点;当时,()仅在上有一个变号零点综上,22.【详解】(1)由曲线(为参数),消去参数,得,所以曲线的直角坐标方程为.又由,得,所以曲线的极坐标方程为.由曲线,得,即,所以曲线的普通方程为. (2)由题意,设,则,又曲线与直线有且仅有一个公共点,故为点到直线的距离,由曲线的极坐标方程,得,所以,,所以,即,所以;又,所以,即所求实数的值为.
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