广西玉林市博白县中学2022-2023学年高三数学（理）高考模拟测试试题（Word版附答案）

2023年高三“逐梦高考”理科数学模拟测试二一､单选题1.在复平面内,复数对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【详解】试题分析：，对应的点为，在第一象限考点：复数运算2.设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A.–4B.–2C.2D.4【答案】B【解析】【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.【详解】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：.由于，故：，解得：.故选：B.【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形．【详解】由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的右侧，由以上各视图的描述可知去掉的长方体在原长方体的右上方，其俯视图符合C选项．故选C．点评：本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．考点：三视图．4.运行如图程序框图，则输出m的值是A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】根据程序框图进行模拟运算即可．【详解】a=16，a≤0否，a=4，a≤0否，a=2，a≤0否，a=1，a≤0否，a=0，a≤0是，输出m=4， 故选D．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义．5.已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（）A.B.0C.2D.4【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用奇函数、函数零点的定义，列式求解作答.【详解】因为是函数的一个零点，则，于是，即，而函数是奇函数，则有，所以.故选：D6.甲、乙两人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率分别为0.8和0.4,则其中恰有1人击中目标的概率是(　　)A.0.32B.0.56C.0.44D.0.68【答案】B【解析】【分析】利用独立事件和互斥事件的概率公式即可得到结果.【详解】恰好有1人击中，表示甲击中乙没有击中或甲没有击中乙击中，这两个互斥事件，根据相互独立事件和互斥事件的概率公式可得.故选：B.7.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】易得，再利用对数函数的单调性即可比较. 【详解】，，，，故，.故选：C.8.已知圆：，直线：，则当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由直线过定点，结合圆的对称性以及勾股定理得出的取值.【详解】直线：恒过点，由于直线被圆所截的弦长的最小值为，即当直线与直线垂直时（为原点），弦长取得最小值，于是，解得.故选：C9.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．棱台上底面积，下底面积，∴． 故选：C．10.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算列式，再借助方程思想求解作答.【详解】依题意，，于，所以.故选：A11.已知是边长为2的等边三角形，，当三棱锥体积取最大时，其外接球的体积为（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出三棱锥体积取最大时的几何体特征，再确定球心位置，求出球半径作答.【详解】取中点，连接，如图，在中，由余弦定理得，即，当且仅当时取等号，又，则，当且仅当时，最大，面积最大，令直线与平面所成角为，则点到平面的距离，当且仅当时取等号，因此三棱锥体积，即当最大，三棱锥体积最大，因此当三棱锥体积最大时，且平面，而平面，即有，正中，，，则平面，令正的外接圆圆心为，等腰的外接圆圆心为，则分别在上，令外接球球心为， 于是平面，平面，有，即四边形是矩形，而，，在中，，因此球的半径，所以三棱锥外接球的体积，故选：C12.定义平面凸四边形为平面上每个内角度数都小于的四边形.已知在平面凸四边形中，，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出，再确定的范围，利用正弦定理结合正弦函数的性质求解作答.【详解】在中，由余弦定理得：，显然，即，，在中，，，因为为平面凸四边形，则有，因此，而， 由正弦定理得：，当时，，当时，，因此，，即，所以的取值范围是.故选：A【点睛】思路点睛：求三角形中线段长的最值问题，主要方法有两种，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.二､填空题13.在的展开式中，常数项为__________．【答案】【解析】【分析】利用二项式定理求出通项公式并整理化简，然后令的指数为零，求解并计算得到答案.【详解】的展开式的通项令，解得，故常数项为．故答案为：.14.若，则______．【答案】【解析】【分析】利用降幂公式，将所求式子化简，再结合已知条件，即可求出答案. 【详解】解：由降幂公式得：，又∵∴.故答案为：【点睛】本题考查了降幂公式和诱导公式，属于基础题.15.写出一个值域为，在区间上单调递增的函数______．【答案】【解析】【分析】综合考虑值域与单调性即可写出满足题意的函数解析式.详解】，理由如下：为上的减函数，且，为上的增函数，且，，故答案为：．16.如图，一个光学装置由有公共焦点的椭圆C与双曲线构成，一光线从左焦点发出，依次经过与C的反射，又回到点.，历时m秒；若将装置中的去掉，则该光线从点发出，经过C两次反射后又回到点历时n秒，若的离心率为C的离心率的4倍，则_____________. 【答案】##0.375【解析】【分析】由离心率比求得长半轴与实半轴的比，根据椭圆与双曲线的定义求两种装置中光线路程之比即得．【详解】设椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，焦距，由，依次经过与C的反射，又回到点F1，则有，，两式相减得，将装置中的去掉，则有，所以故答案为：．三､解答题17.从①前项和，②，③且，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答．在数列中，，_______，其中．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若成等比数列，其中，且，求的最小值．【答案】选择①：（Ⅰ）；（Ⅱ）5． 选择②：（Ⅰ）；（Ⅱ）6．选择③：（Ⅰ）；（Ⅱ）5．【解析】【分析】（Ⅰ）选择①，由求得的值，再由可求得数列的通项公式；选择②，可知数列是以为公差的等差数列，进而可求得数列的通项公式；选择③，可知数列是等差数列，求出公差的值，进而可求得数列的通项公式；（Ⅱ）由可得出关于的表达式，进而可求得的最小值．【详解】选择①：（Ⅰ）当时，由，得.当时，由题意，得，所以．经检验，符合上式，所以；（Ⅱ）由、、成等比数列，得，即．化简，得，因为、是大于的正整数，且，所以当时，有最小值．选择②：（Ⅰ）因为，所以．所以数列是公差的等差数列.所以；（Ⅱ）由、、成等比数列，得，即．化简，得，因为、是大于的正整数，且，所以当时，取到最小值；选择③：（Ⅰ）由，得，所以数列是等差数列，设等差数列的公差为，又因为，，所以.所以；（Ⅱ）因为、、成等比数列，所以，即． 化简，得，因为、是大于的正整数，且，所以当时，有最小值．【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了等差数列基本量的计算，考查计算能力，属于中等题.18.如图所示，在四棱锥中，，，，.（1）证明：；（2）求直线BC与平面PCD所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）通过构造线面垂直的方法来证得.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线BC与平面PCD所成角的正弦值进而求得其余弦值.【小问1详解】连接BD，设BD的中点为O，连接OA，OP.因为，所以，因为，所以，又平面，所以平面OAP，因为平面OAP，所以.【小问2详解】因为，所以，又，所以，所以，又平面， 所以平面ABCD.，，所以.如图，以O为原点，OB，OP所在直线分别为x轴、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，，平面PCD的法向量分别为，所以，即，取，则，设与平面PCD所成的角为，则则直线BC与平面PCD的夹角余弦值为.19.某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近个月广告投入量（单位：万元）和收益（单位：万元）的数据如下表：月份广告投入量收益他们分别用两种模型①，②分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如下图所示的残差图及一些统计量的值． （1）根据残差图，比较模型①②的拟合效果，应该选择哪个模型？请说明理由．（2）残差绝对值大于的数据认为是异常数据，需要剔除．（i）剔除异常数据后求出（1）中所选模型的回归方程；（ii）若广告投入量，求该模型收益的预报值是多少？附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．【答案】（1）应该选择模型①，理由见解析；（2）（i）；（ii）万元．【解析】【分析】（1）根据残差图中残差点的分布可选择合适的模型；（2）（i）计算出剔除异常数据后的、、、的值，代入最小二乘法公式后求出、的值，即可得出回归直线方程；（ii）将代入回归直线方程后，可计算得出结果.【详解】（1）应该选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄，所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高；（2）（i）剔除异常数据，即月份的数据后， 得，．，．，．所以关于的回归方程为；（ii）把代入①中所求回归方程得，故预报值为万元．20.如图：小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A处，另一端固定在画板上点F处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上画出了圆锥曲线C的一部分图象.已知细绳长度为3，经测量，当笔尖运动到点P处，此时，.设直尺边沿所在直线为a，以过F垂直于直尺的直线为x轴，以过F垂直于a的垂线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.（1）求曲线C的方程；（2）斜率为k的直线过点，且与曲线C交于不同的两点M，N，已知k的取值范围为，探究：是否存在，使得，若存在，求出的范围，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，使得成立.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求得笔尖留下的轨迹，再结合抛物线的定义求出方程作答.（2）求出直线的方程，并与曲线C的方程联立，利用韦达定理及共线向量建立函数关系即可求解作答. 【小问1详解】依题意，笔尖到点的距离与它到直线的距离相等，因此笔尖留下的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，设其方程为，则，由，得，由得点的横坐标，而抛物线的准线方程为，则，解得，所以轨迹的方程为.【小问2详解】假设存在，使得，设，直线的方程为，由消去y得：，而，，，，由得，即，于是，令，，因此，又，即，解得或， 所以存在，使得成立.【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.21.已知函数．（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）当时，求函数零点的个数．【答案】（1）（2）有且仅有个零点【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出参数的取值范围；（2）首先可得与是的两个零点，再利用导数说明函数的单调性，结合零点存在性定理判断即可；【小问1详解】解：因为，所以，由函数在上单调递增，则在上恒成立．令，，当时，，所以恒成立．所以在上单调递增，所以，所以【小问2详解】解：由，则，．所以与是的两个零点．因为，由（1）知，函数在上单调递增，，无零点．当时，，，，无零点． 当时，，设，，在上递增，又，，存唯一零点，使得．当时，，在上递减；当时，，在上递增．又，，所以，函数在上有且仅有个零点．综上，当时，函数有且仅有个零点．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22.在平面直角坐标中，曲线C的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）写出曲线的普通方程；（2）若与有公共点，求的取值范围．【答案】（1）（且）（2）【解析】【分析】（1）由曲线C的参数方程消去参数，即可得出曲线的普通方程，再根据参数的范围确定和的取值范围；（2）首先由直线的极坐标方程得出直线的直角坐标方程；方法一：写出曲线的三角参数方程，与直线的直角坐标方程联立，通过求三角函数的值域即可得出的取值范围；方法二：由曲线的普通方程得出曲线为圆弧，画出简图，由直线与曲线有公共点求出直线极限位置时的值，即可得出的取值范围．【小问1详解】 因为曲线C的参数方程为（为参数），得代入得，，整理得：，又因为，所以，，故曲线C的普通方程为：（且）．【小问2详解】因为直线的极坐标方程为，所以直线的直角坐标方程为：，方法一：由曲线C的普通方程写出曲线C的三角参数方程（为参数），因为，所以可取，联立与的方程，即将，代入中，可得，即，要使与有公共点，则有解，因为，所以， 故的取值范围是．方法二：由曲线C的普通方程（且），可知曲线为圆弧，圆心为，半径，如图所示，若与有公共点，则直线的两个极限位置如图所示，当直线与曲线相切时，，即，解得或（不合题意舍去），当直线过点时，得，因为直线与曲线有公共点，即直线在两个极限位置之间，所以，故的取值范围是．23.已知函数．（1）当时，求的最小值；（2）若，时，对任意使得不等式恒成立，证明：．【答案】（1）2；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）分段求解的最小值和范围，即可求得结果；（2）转化为，结合二次函数在区间上的最值，利用不等式，即可证明. 【小问1详解】当时，，当，，；当，，；当，，；∴当时，的最小值为2．【小问2详解】，，当时，可化为，令，，，∴∴，当且仅当时取得等号；又当时，，故.