安徽省江淮十校2022-2023学年高三数学下学期5月联考试题（Word版附解析）

江淮十校2023届高三联考数学试题2023．5注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知集合，集合，则集合的元素个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】求出函数与的交点坐标，即可判断.【详解】由，消去得，即，解得或（舍去），所以或，即方程组的解为或，即函数与有两个交点，又集合，集合， 所以即集合的元素个数为个.故选：B2.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由方向向量的坐标得出直线的斜率，再求倾斜角即可.【详解】由题意可得：直线的斜率，即直线的倾斜角为.故选：A3.已知，为实数，则使得“”成立的一个充分不必要条件为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据“充分必要条件”的定义逐项分析.【详解】对于A，如果，例如，则，不能推出，如果，则必定有，既不是充分条件也不是必要条件，错误；对于B，如果，根据对数函数的单调性可知，但不能推出，例如，不是充分条件，如果，则，是必要条件，即是的必要不充分条件，错误；对于C，如果，因为是单调递增的函数，所以，不能推出，例如， 如果，则必有，是必要不充分条件，错误；对于D，如果，则必有，是充分条件，如果，例如，则不能推出，所以是充分不必有条件，正确.故选：D.4.“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（）天后“进步”的是“退步”的一万倍.（）A.20B.21C.22D.23【答案】D【解析】分析】根据题意可列出方程，求解即可，【详解】设经过天“进步“的值是“退步”的值的10000倍,则，即，,故选：D．5.哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段和两个圆弧、围成，其中一个圆弧的圆心为，另一个圆弧的圆心为，圆与线段及两个圆弧均相切，若，则（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】构造直角三角形，勾股定理求圆O的半径，得到，余弦定理求，利用向量数量积公式求.【详解】若，则圆弧、的半径为2，设圆O的半径为，则，过O作，则，，中，，即，解得，则有，中，由余弦定理得，．故选：A.6.将函数的图像向左平移个单位后的函数图像关于轴对称，则实数的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由平移变换写出的表达式，再由对称性求得，从而可得最小值．【详解】，将函数图像向左平行移动个单位后的函数记为，则，而函数的图像关于轴对称有，，，()，，实数的最小值为．故选：C．7.若的展开式中，所有项的系数和与二项式系数和相等，且第6项的二项式系数最大，则有序实数对共有（）组不同的解A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】根据二项式系数的性质求解.【详解】根据二项式系数性质知：由第6项的二项式系数最大知的可能取值为9，10，11，又由题得：令x=1，有，当，11时，；当时，或，故有序实数对共有4组不同的解，分别为.故选：D.8.已知为坐标原点，椭圆：，平行四边形的三个顶点A，，在椭圆上，若直线和的斜率乘积为，四边形的面积为，则椭圆的方程为（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】利用三角换元设，，代入椭圆方程可得，再根据三角形面积的向量公式及斜率之积计算即可.【详解】先证三角形面积公式的向量形式：在中，，则，而设，，由题意可知;，所以，将坐标代入椭圆方程有，则所以四边形的面积为，即，又根据和的斜率乘积为知，所以，解之得：，．故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．9.下列命题正确的有（）A.空间中两两相交的三条直线一定共面B.已知不重合的两个平面，，则存在直线，，使得，为异面直线 C.过平面外一定点，有且只有一个平面与平行D.已知空间中有两个角，，若直线直线，直线直线，则或【答案】BC【解析】【分析】利用平面性质判断选项A；利用两平面位置关系和异面直线定义判断选项B；利用线面垂直的性质判断选项C；举反例否定选项D.【详解】选项A：空间中两两相交的三条直线可以共面也可以不共面.判断错误；选项B：已知不重合的两个平面，，则，或，相交，两种情况均存在直线，，使得，为异面直线.判断正确；选项C：过平面外一定点，有且只有一条直线m与平面垂直，过点有且只有一个平面与直线m垂直，则.则过平面外一定点，有且只有一个平面与平行.判断正确；选项D：在如图正方体中，直线直线，直线直线，由，可得，且判断错误.故选：BC10.学校北园食堂老麻抄手窗口又推出了酸辣粉、米粉等新品．小明同学决定每隔9天去老麻抄手窗口消费一次，连续去了5次，他发现这5次的日期中没有星期天，则小明同学在这5次中第一次去北园食堂可能是（）A.星期一B.星期三C.星期五D.星期六 【答案】BD【解析】【分析】依题意每隔天去一次，即每次都是在上一次的星期数往后数三天，一一列举即可判断.【详解】若第一次是星期一，则第二次是星期四，第三次是星期日，不符合题意，故A错误；若第一次是星期三，则第二次是星期六，第三次是星期二，第四次是星期五，第五次是星期一，符合题意，故B正确；若第一次是星期五，则第二次是星期一，第三次是星期四，第四次是星期日，不符合题意，故C错误；若第一次是星期六，则第二次是星期二，第三次是星期五，第四次是星期一，第五次是星期四，符合题意，故D正确；故选：BD11.某项科学素养测试规则为：系统随机抽取5道测试题目，规定：要求答题者达到等级评定要求或答完5道题方能结束测试．若答题者连续做对4道，则系统立即结束测试，并评定能力等级为；若连续做错3道题目，则系统自动终止测试，评定能力等级为；其它情形评定能力等级为．已知小华同学做对每道题的概率均为，且他每道题是否答对相互独立，则以下说法正确的是（）A.小华能力等级评定为的概率为B.小华能力等级评定为的概率为C.小华只做了4道题目的概率为D.小华做完5道题目的概率为【答案】ABC【解析】【分析】利用独立事件的概率和对立事件的概率可求四个选项，根据结果判断正误.【详解】小华能力等级评定为，则需要连续做对4道题，所以，A正确；小华能力等级评定为，则他连续做错3道题目，有四种情况，所以．由题意小华能力等级评定为的概率为，B正确；小华只做了4道题目有两种情况，一是4道题全对，二是第1题对了，后续3道题目全错，其概率为 ，C正确；小华做完3道题目结束测试的概率为，小华做完5道题目的概率为，D不正确．故选：ABC.12.已知函数，则下列说法正确的有（）A.，函数是奇函数B.，使得过原点至少可以作的一条切线C.，方程一定有实根D.，使得方程有实根【答案】AD【解析】【分析】选项A，由奇函数的定义判断；选项B，通过联立方程组判断切线是否存在；选项C，由正弦函数的有界性判断方程的解；选项D，特殊值法判断存在性.【详解】函数，定义域，且，函数是奇函数，A选项正确；设直线，联立方程：，得，，直线不可能是的一条切线，B选项错误；若，，则，得，即，由的有界性，显然不一定有解，C选项错误；当，，显然存在，，使方程有解，D选项正确.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知复数满足（是虚数单位），则的最大值为__________【答案】## 【解析】【分析】根据复数的几何意义有，复数对应的点到点的距离为1，即点的轨迹为以为圆心，半径的圆，从而即可求解.【详解】解：因为复数满足，所以根据复数的几何意义有，复数对应的点到点的距离为1，即点的轨迹为以为圆心，半径的圆，所以的最大值为，故答案为：.14.是公差不为零的等差数列，前项和为，若，，，成等比数列，则________．【答案】1012【解析】【分析】利用等差中项及等比中项，结合等差数列的通项公式及前项和公式即可求解.【详解】设等差数列的首项为，公差为，则因为，所以，即，解得.因为，，成等比数列，所以，即，解得或（舍），所以，解得，所以，所以.故答案为：.15.函数的值域为____． 【答案】【解析】【分析】利用换元法和二次函数性质即可求得的值域.【详解】令，则，则的值域转化为，的值域，，则，则的值域为，则函数的值域为.故答案为：16.若函数与函数的图像恰有三个不同交点，且交点的横坐标构成等差数列，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】依题意，函数有三个不同的零点，则有两个不同的实数根，三个不同的零点构成等差数列，则三次函数的对称中心在轴上，根据不等式求实数的取值范围.【详解】函数与函数的图像三个不同交点，等价于函数有三个不同的零点，即的图像与轴有三个交点，由，故必有方程有两个不同的实数根，则，，三次函数的图像是中心对称图形，由的图像与轴三个不同交点的横坐标构成等差数列，则的图像的对称中心一定在轴上， ，令，令得，则函数图像的对称中心横坐标为，当时符合题意，，化简整理即有，故，且所以实数的取值范围是．故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在中，内角A、、所对的边分别为、、，已知．（1）求角A的大小；（2）点为边上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理及三角恒等变换化简即可；（2）利用正弦定理将线段比值转化为关于C的三角函数值计算范围即可.【小问1详解】由，结合正弦定理可得：因为，所以即，所以，而，所以； 【小问2详解】由知:，所以，即在中，有，，由正弦定理可得：所以由可得，所以.18.移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．下图是2018-2022年移动物联网连接数与年份代码的散点图，其中年份2018-2022对应的分别为1~5． （1）根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到），并推断它们的相关程度；（2）求关于的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．附：样本相关系数，，，【答案】（1）0.98，两个变量具有很强的线性相关性（2），2024年移动物联网连接数亿户．【解析】【分析】（1）由散点图可判断是否线性相关，再根据已知数据计算相关系数即可；（2）由数据计算回归方程，并由方程计算预测即可.【小问1详解】由图可知，两个变量线性相关．由已知条件可得：，，所以，，，所以相关系数，因此，两个变量具有很强的线性相关性．【小问2详解】 结合（1）可知，，所以回归方程是：，当时，有，即预测2024年移动物联网连接数为亿户．19.已知平行六面体中，底面和侧面都是边长为2的菱形，平面平面，．（1）求证：四边形是正方形；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【小问1详解】连接，作于．因为是菱形，所以，又因为，，面， 所以面，而面，所以，又平面平面，平面平面，所以面，又因为面ABCD，所以.、相交，且、面，所以面，面，所以，而为菱形，所以四边形是正方形．【小问2详解】在时，易知为的中点，如图以H为中心，建立空间直角坐标系则，，，，，，，设平面的一个法向量，则，即，令，则，故设平面的一个法向量，则，即令，则，解得，则又因为为锐二面角，所以的余弦值为． 20.设数列的前项和为，且，．（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；（2）设，证明：．【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据，作差得到，即可得到，从而得证，即可求出的通项公式；（2）由（1）可得，方法一：令，则，即可得证；方法二：利用放缩法得到，再累乘即可得证.【小问1详解】因为，当时，解得，当时，相减得，所以，所以是以首项为6，公比为3的等比数列，即，所以.【小问2详解】由（1）可得，即证： 方法一：令．则，因为，所以，所以单调递增，即，即．方法二：放缩法：，所以，，，，相乘得即21.已知点，动点在直线：上，过点且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．（1）求曲线的标准方程；（2）过的直线与曲线交于A，两点，直线，与圆的另一个交点分别为，，求与面积之比的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用抛物线定义即可求得曲线的标准方程；（2）先求得的表达式，再利用均值定理即可求得其最大值. 【小问1详解】过点且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，则，则点到直线和定点距离相等，则的轨迹为以为焦点以直线为准线的抛物线，则曲线的方程为：【小问2详解】设A，，，坐标分别为，，，，因为令直线：，，：，，由得：，由得：所以令：，与联立得：，所以，，，则所以，代入得：又因为，所以，当且仅当，时取等号所以与面积之比的最大值为 22.对于定义在上的函数，若存在，使得，则称为的一个不动点．设函数，已知为函数的不动点．（1）求实数的取值范围；（2）若，且对任意满足条件的成立，求整数的最大值．（参考数据：，，，，）【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）根据给定的不动点定义，构造函数，利用导数结合零点存在性定理探讨函数在上的零点作答.（2）由（1）可得，结合给定条件确定出k值2，再利用导数讲明不等式作答.【小问1详解】依题意，方程在内有根，且，令，，求导得，当时，在，上都递增，而，因此函数在、无零点，当时，令，，，则函数在，上都递增，当时，当时，，函数在上递增，无零点，当时，，则存在，使得，即， 当时，递减，在时，递增，，而，有，，因此存在，使得，即函数在上有零点，则，当时，当时，，函数在上递减，，无零点，当时，，则存在，使得，即，当时，递减，时，递增，，，令，求导得，令，则，即函数在上单调递增，，函数在上单调递增，因此存在，使得，即函数在上有零点，则，所以实数的取值范围是.【小问2详解】依题意，，于是，即因为，取，有，因此取2，下证：对任意成立，令，，当时，递增，当时，递减，，即对恒成立，当时，，令，，函数在上递增，，即，从而成立， 当时，只需证：成立，令，，只需证，，令，，显然在上递增，，，即存在，使，且当时，递减，当时，递增，，整理得，因为函数在递减，所以，所以在恒成立，即在递增，显然，所以成立【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用函数零点的意义等价转化，构造函数并用导数探讨函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.