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安徽省芜湖市2022-2023学年高三数学下学期5月质量统测试题(Word版附解析)
安徽省芜湖市2022-2023学年高三数学下学期5月质量统测试题(Word版附解析)
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2023届芜湖市高中毕业班教学质量统测数学试题卷本试卷共4页,22小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、学校、考场/座位号、班级、准考证号填写在答题卷上,将条形码粘贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试题卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区城内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卷的整洁,考试结束后,将试题卷和答题卷一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.设全集,若集合,,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意,将集合化简,然后结合集合的运算即可得到结果.【详解】因为,即,且,则,所以.故选:C2.若,则()A.1B.2C.D.【答案】C【解析】 【分析】首先化简得到,再求即可.【详解】因为,所以所以.故选:C3.已知向量,,则在上的投影向量为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据投影向量求法直接求解即可.【详解】在上的投影向量为:.故选:B.4.皖江明珠,创新之城——芜湖,正加快建设省域副中心城市.为了烘托“七一”节日氛围,需要准备10000盆绿植作装饰.已知栽种绿植的花盆可近似看成圆台,上底面圆直径约为,下底面圆直径约为,母线长约.假定每一个花盆装满营养土,请问需要营养土()立方米?(参考数据:,,)A.863.50B.8.64C.1584.39D.15.84【答案】D【解析】【分析】首先求出圆台的高,再求出一个圆台的体积,从而得解.【详解】因为上底面圆直径约为,下底面圆直径约为,母线长约,所以上底面圆半径,下底面圆半径,所以高,所以上底面圆的面积,下底面圆的面积,所以一个圆台的体积, 所以需要营养土.故选:D5.记的内角的对边分别为,,,若,则为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】由已知条件和正弦定理得,再由角范围得满足的关系.【详解】由,得,由正弦定理得,所以,因为,所以或,所以或.即是等腰或直角三角形.故选:D.6.已知(),(),(),则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】构造函数,根据函数单调性求自变量大小关系.【详解】,.单调递增,单调递减.因为(),所以,因为(),所以因为(),所以, 单调递增,,,单调递减.故选:B.7.函数在区间的图像大致为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根据函数解析式判断函数的奇偶性,发现是奇函数,排除C、D;观察A、B两项,发现图像在处的增减趋势不同,所以对函数进行求导,再把特殊值代入导函数中判断即可.【详解】因为,所以是奇函数,排除C、D两项;当时,,则,所以,所以在处的切线斜率为负数,故排除A项;故选:B. 8.如图,底面同心的圆锥高为,,在半径为3的底面圆上,,在半径为4的底面圆上,且,,当四边形面积最大时,点到平面的距离为()A.B.C.2D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件,确定四边形的形状,再求出四边形面积最大时,圆心O到边的距离,然后在几何体中作出点到平面的垂线段,借助直角三角形计算作答.【详解】如图,直线交大圆于点,连接,由,知四边形为等腰梯形,取的中点,连接,则,由,知四边形是矩形,因此四边形为矩形,过O作于Q,连接,从而四边形的面积,当且仅当,即时取等号,此时,如图,在几何体中,连接,因为平面,平面,则,又, 平面,于是平面,而平面,则有平面平面,显然平面平面,在平面内过O作于R,从而平面,即长即为点到平面的距离,在中,,,,所以点到平面的距离是.故选:A【点睛】方法点睛:求点到平面的距离可以利用几何法,作出点到平面的垂线段求解;也可以用向量法,求出平面的法向量,再求出这一点与平面内任意一点确定的向量在法向量的投影即可.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有错选的得0分.9.一个不透明的袋子里,装有大小相同的个红球和个蓝球,每次从中不放回地取出一球,则下列说法正确的是()A.取出个球,取到红球的概率为B.取出个球,在第一次取到蓝球的条件下,第二次取到红球的概率为C.取出个球,第二次取到红球的概率为D.取出个球,取到红球个数的均值为【答案】ABD【解析】 【分析】根据古典概型概率公式可求得A正确;根据条件概率公式可求得B正确;将第二次取到红球分为两种情况,将概率加和可求得C错误;记取到的红球数为,计算可得每个取值对应的概率,根据均值求法可求得D正确.【详解】对于A,取出个球,取到红球的概率,A正确;对于B,记第一次取到蓝球为事件,第二次取到红球为事件,则,,,B正确;对于C,若第一次取到红球,第二次也取到红球,则概率为;若第一次取到蓝球,第二次取到红球,则概率为;第二次取到红球的概率,C错误;对于D,记取到的红球数为,则所有可能的取值为,,,,;取到红球个数的均值为,D正确.故选:ABD.10.已知,下列说法正确的有()A.B.C.D.【答案】AD【解析】 【分析】令可求得A正确;根据二项式定理可得展开式通项,分别代入和,加和即可得到,知B错误;分别令和,加和后,结合可知C错误;对等式左右求导,代入可得D正确.【详解】对于A,令,则,A正确;对于B,展开式通项为:,展开式通项为:,展开式通项为:,令,则,又,,,或,,B错误;对于C,令,则;令,则;两式作和得:,,又,,C错误;对于D,,,,令,则,D正确.故选:AD.11.牛顿在《流数法》一书中,给出了高次代数方程根的一种解法.具体步骤如下:设是函数的一个零点,任意选取作为的初始近似值,过点作曲线的切线,设与轴交点的横坐标为,并称为的1次近似值;过点作曲线的切线,设与 轴交点的横坐标为,称为的2次近似值.一般地,过点()作曲线的切线,记与轴交点的横坐标为,并称为的次近似值.对于方程,记方程的根为,取初始近似值为,下列说法正确的是()A.B.切线:C.D.【答案】ABD【解析】【分析】由函数零点的存在性定理和,得到,可判定A正确;求得,设切点,求得切线方程,令,求得,可判定D正确;当时,求得,得出切线方程,可判定B正确;计算求得的值,可得判定C错误.【详解】由,可得,即,根据函数零点的存在性定理,可得,所以A正确;又由,设切点,则切线的斜率为,所以切线方程为,令,可得,所以D正确;当时,可得,则,所以的方程为,即,所以B正确;由,可得,,此时,所以C错误;故选:ABD12. 双曲线的光学性质:从双曲线一个焦点出发的光线,经双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知为坐标原点,,分别是双曲线的左、右焦点,过的直线交双曲线的右支于,两点,且在第一象限,,的内心分别为,,其内切圆半径分别为,,的内心为.双曲线在处的切线方程为,则下列说法正确的有()A.点、均在直线上B.直线的方程为C.D.【答案】ABD【解析】【分析】由切线长定理和双曲线定义即可判断选项A;利用点到直线的距离公式可分别求出点,到直线的距离,再用两点间距离公式求出,从而可判断选项B;根据的关系可判断选项C;借助B的结果求出点的横坐标,进而可得选项D.【详解】由双曲线得,设的内切圆与分别切于点,则,所以,又,所以,即圆与轴的切点是双曲线的右顶点,即在直线上,同理可得圆与轴的切点也是双曲线的右顶点,即也在直线上,故选项A正确;因为点在双曲线上,所以,点到直线的距离,点到直线的距离 所以,又,所以,即,又因为为的平分线,所以直线的方程为,故选项B正确;设圆与切于点,连接,设,因为,所以,所以,即,所以,又,所以,即,所以,故选项C错误;由B知的方程为,①设,同理得的方程为,②由①②得,③因为,所以设的方程为, 因为在上,所以,代入③得,所以在直线上,所以到的距离为,又到的距离为,所以,故选项D正确;故选:ABD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知,则______.【答案】##【解析】【分析】利用二倍角正弦公式和正余弦齐次式的求法直接求解即可.【详解】.故答案为:.14.在某次高三体检中,12位同学的身高(单位:)分别为,则这组数据的上四分位数为______.【答案】173.5##【解析】【分析】将12位同学的身高从小到大排列,根据上四分位数的概念,即可求得答案.【详解】由题意可得,将12位同学的身高从小到大排列为:,故这组数据的上四分位数为第9和第10个数据的平均数,即,故答案为:173.5 15.已知椭圆的中心为,上存在两点,,满足是以半焦距为边长的正三角形,则的离心率为______.【答案】或【解析】【分析】分类讨论,分平行于x轴,平行于y轴两种情况,根据是以半焦距为边长的正三角形,得A的坐标,(不妨设点A在第一象限),代入椭圆方程并借助,得到关于的齐次方程,由可转化为关于e的方程,解方程即可得答案.【详解】不妨设椭圆方程为,因为是以半焦距为边长的正三角形,根据椭圆的对称性,可知平行于x轴或平行于y轴;当平行于x轴时,关于y轴对称,不妨设点A在第一象限,所以,,所以,所以,即,所以,即,解得或(因为,故舍去),所以;当平行于y轴时,关于x轴对称,所以,, 不妨设点A在第一象限,所以,所以,即,即,所以,而,解得或(舍去),故,所以椭圆的离心率为或,故答案为:或16.拓扑学中,所谓“树”是指这样一种图形:在平面中,任意两点都可以连线,从而可以形成连通.若两点之间的连通没有回路,且任意两点之间没有不同的通路,则称两点具有唯一的连通.如图:两个点、三个点唯一的连通均有一种,四个点唯一的连通有2种,五个点唯一的连通有3种,平面里六个点唯一的连通有______种.【答案】6【解析】【分析】由类比的方法可直接得出答案.【详解】由前四种情况类比可得,当平面里有六个点的时候,如图,有以下四种方法: 又从所给例子可以推断,第一个点,不能连多个点,但允许第二个点(从下往上)连多个点,而且高度要保持一致,所以当平面有六个点时,还有以下两种方法:故答案为:6.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图,四棱锥,其中为正方形,底面,,,分别为,的中点,,在棱,上,且满足,.(1)求证:直线与直线相交;(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)利用中位线定理与平行线分线段成比例证得四边形为梯形,从而得证;(2)根据题意建立空间直角坐标系,分别求得平面与平面的法向量,再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解. 小问1详解】∵,分别为,的中点,∴且,∵,,∴,∴且,∵且,∴且,∴四边形为梯形,∴直线与直线相交.小问2详解】∵平面且为正方形,∴以为原点,,,所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系.则,,,∴,,设平面的法向量为,则,令,得易得平面的一个法向量为,设平面与平面夹角为,则,所以平面与平面夹角的余弦值为.18.已知函数,且.(1)求的最大值;(2)从①②中任选一个作答.若选择多个分别作答.按第一个解答计分.①为函数图象与轴的交点,点,为函数图象的最高点或者最低点,求面积的最小值. ②为坐标原点,复数,在复平面内对应的点分别为,,求面积的取值范围.【答案】(1)(2)①;②.【解析】【分析】(1)由已知可得,当时函数取到最值,列方程解出,代入,进而可得的最大值;(2)若选①:分,对应的同为最大值或最小值和,对应的一个为最大值,另一个为最小值两种情况讨论,分别利用三角形的面积公式求解,可得面积的最小值;若选②:由复数的几何意义,得出,,再由三角形的面积公式结合正弦函数的性质求解.【小问1详解】,即当时函数取到最值,又,其中,,代入得,即,解得,,,当,即时,取到最大值;【小问2详解】由(1)可得:,选①:可得,当,对应的同为最大值或最小值时,得; 当,对应的一个为最大值,另一个为最小值时,得;综上:面积的最小值为选②:由复数的几何意义知:,,,当,即时,有最大值;当,即时,有最小值;19.在一个抽奖游戏中,主持人从编号为的三个外观相同的空箱子中随机选择一个,放入一个金蛋,再将三个箱子关闭.主持人知道金蛋在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在三个箱子中选择一个,若金蛋在此箱子里,抽奖人得到元奖金;若金蛋不在此箱子里,抽奖人得到元参与奖.无论抽奖人是否抽中金蛋,主持人都重新随机放置金蛋,关闭三个箱子,等待下一个抽奖人。(1)求前位抽奖人抽中金蛋人数的分布列和方差;(2)为了增加节目效果,改变游戏规则.当抽奖人选定编号后,主持人在剩下的两个箱子中打开一个空箱子.与此同时,主持人也给抽奖人一个改变选择的机会.如果抽奖人改变选择后,抽到金蛋,奖金翻倍;否则,取消参与奖.若仅从最终所获得的奖金考虑,抽奖人该如何抉择呢?【答案】(1)分布列见解析;(2)抽奖人应改变选择【解析】【分析】(1)利用二项分布概率公式可求得每个取值对应的概率,由此可得分布列;根据二项分布方差公式可求得方差;(2)分别计算改变选择和不改变选择所获得奖金数的数学期望,根据数学期望值的大小关系可得到结论.【小问1详解】由题意知:抽中金蛋人数服从于二项分布,即,即所有可能的取值为, ;;;;的分布列为:中奖人数的方差.【小问2详解】若改变选择,记获得奖金数为,则可能的取值为,则,,改变选择时,获得奖金数的数学期望;若不改变选择,记获得奖金数为,则可能的取值为,则,,不改变选择时,获得奖金数的数学期望;,抽奖人应改变选择.20.已知等差数列,等比数列,且,.(1)求数列,的通项公式;(2)将数列和中的项合并,按从小到大的顺序重新排列构成新数列,求的前100项和.【答案】(1),(2)8903【解析】【分析】设等差数列的公差为,等比数列的公比为,依题意可得 ,即可得到,,即可求出、,从而求出;(2)依题意可得的前100项中,有数列的前93项,数列的前7项,再根据等差、等比数列求和公式计算可得.【小问1详解】设等差数列的公差为,等比数列的公比为,∴,∴,∴,,∴,,又,∴.【小问2详解】因为,,,所以的前100项中,有数列的前93项,数列的前7项,记,,的前项和分别,,.∴21.已知函数().(1)若的零点有且只有一个,求的值;(2)若存在最大值,求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)求出函数的导函数,令得到,令,利用导数说明函数的单调性,求出函数的极大值,即可得解;(2)由(1)知,当时,,显然不符合题意,当时,有两个零点,易知,即可得到单调性,依题意可得有最大值 ,即可求出的取值范围,再结合的单调性,计算可得.【小问1详解】因为,所以,令,即,得,令,由,则时,,时,,所以在区间单调递增,在区间单调递减,所以在处取得极大值即最大值,又时,;时,,,所以当时,有且只有一个零点.【小问2详解】因为,由(1)知,当时,,所以在区间单调递减,无最大值;当时,有两个零点,易知,当或时,,故单调递减,当时,,故单调递增,又时,,时,,所以有最大值,消去得, 结合以及在区间单调递减,且,所以.【点睛】方法点睛:导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.22.已知动圆过定点,且与直线相切.(1)求动圆圆心轨迹的方程;(2)设过点的直线交轨迹于,两点,已知点,直线,分别交轨迹于另一个点,.若直线和的斜率分别为,.(ⅰ)证明:;(ⅱ)设直线,的交点为,求线段长度的最小值.【答案】(1)(2)(ⅰ)证明见解析;(ⅱ)3;【解析】【分析】(1)根据给定条件,可得动圆圆心到定点的距离与到定直线的距离相等,利用抛物线的定义求解方程作答.(2)(ⅰ)设直线的方程,与曲线的方程联立,设出,用分别表示点的纵坐标,再计算,作答.(ⅱ)由(ⅰ)求出直线的方程,直线的方程,并联立求出交点的轨迹即可求解作答.【小问1详解】依题意,动圆圆心到定点的距离与到定直线的距离相等,因此动圆圆心的轨迹是以点为焦点,直线为准线的抛物线,所以动圆圆心轨迹的方程为.【小问2详解】(ⅰ)设,,,, 因为过点,显然直线不垂直于坐标轴,设直线的方程为,,由消去x并整理,得,于是,直线上任意点,有,而,于是,又,因此直线的方程为,由消去x并整理,得,则,同理得,又,同理,所以.(ⅱ)由(ⅰ)知,当不垂直于x轴时,直线的斜率,同理直线的斜率,直线的方程为,即,直线的方程为,即,由消去得,因此直线和的交点在定直线上, 当时,由对称性不妨令,直线的方程为,由得点,同理点,因此直线的方程为,直线的方程为,由解得:,点在直线上,从而直线,的交点的轨迹为直线,点到直线的距离3,即为长度的最小值,所以线段长度的最小值为3.【点睛】结论点睛:点是抛物线上的两点,则直线斜率;点是抛物线上的两点,则直线斜率.
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高考 - 模拟考试
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