湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2022-2023学年高三数学下学期5月联考试题（Word版附答案）

鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023年五月模拟考高三数学试卷考试时间：2023年5月10日下午15：00—17：00试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，集合，则（）A．B．C．D．2．已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（）A．9B．1C．D．3．已知向量，，且，则在方向上的投影向量为（）A．B．C．D．4．函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是偶函数，则（）A．B．C．D．5．用数学的眼光观察世界，神奇的彩虹角约为．如图，眼睛与彩虹之间可以抽象为一个圆锥，设AO是眼睛与彩虹中心的连线，AP是眼睛与彩虹最高点的连线，则称为彩虹角．若平面ABC为水平面，BC为彩虹面与水平面的交线，为BC的中点，米，米，则彩虹（）的长度约为（）（参考数据：，）A．米B．米C．米D．米6．6名同学相约在周末参加创建全国文明城市志愿活动，现有交通值守、文明劝导、文艺宣讲三种岗位需要志愿者，其中，交通值守、文明劝导岗位各需2人，文艺宣讲岗位需1人．已知这6名同学中有4名男生，2名女生，现要从这6名同学中选出5人上岗，剩下1人留守值班．若两名女生都已经到岗，则她们不在同一岗位的概率为（） A．B．C．D．7．设表示m，n中的较小数．若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8．现有一个底面边长为，侧棱长为的正三棱锥框架，其各顶点都在球的球面上．将一个圆气球放在此框架内，再向气球内充气，当圆气球恰好与此正三棱锥各棱都相切时停止充气，此时两球表面积之和为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．如图，在正方体中，E，F，G分别为AB，BC，的中点，点在线段上，则下列结论正确的是（）A．直线平面EFGB．直线CP和平面ABCD所成的角为定值C．异面直线CP和FG所成的角不为定值D．若直线平面EFG，则点为线段的中点10．已知，，，，则以下结论正确的是（）A．B．C．D．11．双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知，分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作直线交轴于点，交轴于点，则（） A．的渐近线方程为B．C．过点作，垂足为，则D．四边形面积的最小值为12．已知函数，记的最小值为，下列说法正确的是（）A．对任意的正整数n，的图象都关于直线对称B．C．D．设，为的前项和，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某工厂生产一批零件（单位：cm），其尺寸服从正态分布，且，，则________．14．已知直线与圆相交于A、B两点．若为直角三角形，则的值为________．15．已知函数，直线，是的两条切线，，相交于点，若，则点横坐标的取值范围是________．16．已知椭圆，A，B是椭圆上的两点，且直线OA，OB的斜率满足，延长OA到点，使得，且直线MB交椭圆于点，设，则________；________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）如图，在平面四边形ABCD中，，，．（1）若，求的面积； （2）若，，求．18．（12分）已知正项数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，若数列满足，求证：．19．（12分）如图，在三棱台中，，平面．（1）证明：平面平面；（2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值．20．（12分）2023年中央一号文件指出，民族要复兴，乡村必振兴．为助力乡村振兴，某电商平台准备为某地的农副特色产品开设直播带货专场．直播前，此平台用不同的单价试销，并在购买的顾客中进行体验调查问卷．为了回馈100名热心参与问卷的顾客，此平台决定在直播中专门为他们设置两次抽奖活动，每次抽奖都是由系统独立、随机地从这100名顾客中抽取20名顾客，抽中顾客会有礼品赠送，若直播时这100名顾客都在线，记两次抽中的顾客总人数为X（不重复计数）．（1）若甲是这100名顾客中的一人，求甲被抽中的概率；（2）求使取得最大值的整数．21．（12分）已知动圆过点，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）过上一点作曲线的两条切线PA，PB，A，B为切点，PA，PB与轴分别交于，两点．记，，的面积分别为、、．（ⅰ）证明：四边形FNPM为平行四边形；（ⅱ）求的值．22．（12分）已知函数，，其中，是自然对数的底数．（1）若在上恒成立，求实数的取值范围； （2）设，在（1）的条件下，讨论关于的方程在上解的个数．鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023年五月模拟考高三数学参考答案选择题题号123456789101112答案CBDCADABADABDABDACD填空题13．1614．15．16．1；4小题详解1．C【解析】∵，，∴或，，∴，，，，故选C．2．B【解析】已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则，即，即，解得，故，故选．3．D【解析】∵，，且，∵，即，，∴在方向上的投影向量为，故选D．4．C【解析】函数的图象向左平移个单位，得的图象，又函数是偶函数，∴，，∴，；∴，故选C．5．A【解析】在中，由勾股定理可得：米，连接PO，则在中，米，连接OB，OC，OM，则在中， ，故，，则彩虹（）的长度约为，故选A．6．D【解析】法一：设“两名女生都到岗”为事件A，“两名女生不在同一岗位”为事件B，则，，∴，故选D．法二：．7．A【解析】由题意可得有解，所以，解得或，当时，必有，解得；当时，必有，不等式组无解，综上所述，，∴的取值范围为，故选A．8．B【解析】设此正三棱锥框架为，球的半径为，球的半径为，底面ABC外接圆的圆心为，连接PO，AO，延长AO交BC于点N．∵圆气球在此框架内且与正三棱锥所有的棱都相切，设球与棱PA和BC相切于点M，N，则，，∵底面，∴，又∵，∴，在直角三角形中，，，在直角三角形中，，，由，可得，解得，则球的表面积为， 又，则与重合，球的半径，球的表面积为，综上可得：两球表面积之和为，故选B．9．AD【解析】对于A选项，平面EFG截正方体的截面图形为正六边形EFGHIJ，其中H，I，J分别为，，的中点，∵，平面，平面，∴平面，故A正确；对于B选项，过作交AD于点，则直线CP和平面ABCD所成的角为，，设，正方体的棱长为1，则，，∴，∴直线CP和平面ABCD所成的角不为定值，故B错误；对于选项，∵平面，，∴平面，又平面，∴，故C错误； 对于D选项，设，，则平面平面，∴平面，平面，∴，又在平面内，易知，，∴点为线段的中点，故D正确，故选AD．10．ABD【解析】对于A选项，由题意知，a，b是函数分别与函数，图象交点的横坐标，∵，两个函数的图象关于直线对称，的图象也关于对称，故两交点，关于直线对称，所以，，故A正确；对于B选项，由可得即，故B正确；对于D选项，∵，故D正确；对于C选项，，令，则，∴在上单调递减，则，故C错误，故选ABC．11．ABD【解析】对于A选项，由已知可得，，∴C的渐近线方程为，故A正确；对于B选项，由题意得，AM的直线方程为：，∴为双曲线的切线，由双曲线的光学性质可知，AM平分，故B正确；对于C选项，延长，与的延长线交于点，则AH垂直平分，即点为的中点．又是的中点，∴，故C错误；对于D选项，，当且仅当，即时，等号成立．∴四边形面积的最小值为，故D正确，故选 ABD．12．ACD【解析】对于A选项，∵，故A正确；对于B选项，当时，．当时，设，则，令，，，时，，∴，∴，时，，∴，即，∴，故B错误；对于C选项，由得，∴，故C正确；对于D选项，∵，∴，∴，∴，又，∴，即有，故D正确，故选ACD．13．16【解析】∵，，∴，∴14．【解析】根据题意，圆即，若为直角三角形，则 有，解得：．15．【解析】记，，由函数图象可知，不妨设与相切于点，与相切于点，则，．∴，，∴，，∵，∴，即，∵的方程为：，的方程为：，联立方程组可求得点的横坐标，∵，∴，∴，即点横坐标的取值范围是．16．1；4【解析】设，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵在椭圆上，∴．即．①又，，代入①得．∵，由M，N，B三点共线，得，∴，，∴，∴，∴．解答题17．（10分）【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，由余弦定理得，∴，解得， ∴．5分（2）设，在中，由正弦定理得，∴①，6分在中，，，则，即①8分由①②得：，∴，整理得，∴．10分18．（12分）【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）∵，当时，，两式相减得：，整理得，4分∵，∴，当时，，∴（舍）或，5分∴是以1为首项，1为公差的等差数列，则；6分（2）由（1）知，，8分∴，∵，∴，即．12分 19．（12分）【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：∵平面，平面，∴；又，∴，即，2分∵，，，，平面，∴平面，4分又平面，∴平面平面；5分（2）∵平面，平面，∴；又平面，，∴平面，∵平面，∴，∵，，，，平面，∴平面，6分法一：（坐标法）分别以为轴，为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系，则，，，，，，7分设平面的法向量，∵平面，则，即，取，9分取平面的一个法向量，10分则， 故平面与平面夹角的余弦值为．12分法二：（几何法）在平面内，过点作交于点，连接，则平面，为二面角的平面角，即为平面与平面的夹角．8分∵，，，∴，又在直角三角形中，，∴，则在直角三角形中，，故，∴平面与平面夹角的余弦值为．12分20．（12分）【答案】（1）；（2）【解析】（1）设事件A：“顾客甲第一次抽中”，事件B：“顾客甲第二次抽中”，∵A与B是相互独立事件，所以与相互独立，由于，故，∴甲被抽中的概率；4分（2）“由系统独立、随机地从这100名顾客中抽取20名顾客，抽取两次”所包含的基本事件总数为，当时，两次都中奖的人数为，只在第一次中奖的顾客人数为，只在第二次中奖的顾客人数也为， 由乘法原理知：事件所包含的基本事件数为，，，6分由可得：，8分整理得：，化简得：，则有，整理得，解得，即，11分∵为整数，∴，∴取到最大值时，．12分21．（12分）【答案】（1）；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）1【解析】（1）设圆心，由题意得：，化简整理得：，∴曲线的方程为：．4分（2）（ⅰ）证明：设，，∵，∴，∴直线PA的方程为：，即，同理可得直线PB的方程为：，∴，，，6分又，∴，∴四边形FNPM为平行四边形；8分 （ⅱ）∵P在直线PA，PB上，设，由（ⅰ）得：，∴直线AB的方程为：，∴直线AB过点，∵四边形FNPM为平行四边形，∴，，∴，，，，∴，10分∵，，，∴．12分22．（12分）【答案】（1）；（2）时，关于的方程在上有唯一解．【解析】（1）由题意，，即，令，，2分由知，故当时，，单调递减，时，，单调递增，所以，所以．4分（2），易求得在上单调递增，在上单调递减；①当时，，且由（1）知，，，，即，均单调递增；此时，有．当时，，在上单调递增，所以；当时，，在上单调递减，所以；所以时，方程有唯一解．7分②当时，由（1）知，令得， 令得，当时，，则；8分当时，，由复合函数单调性可知单调递减，单调递增，令，则单调递增，又，，所以存在唯一的，满足；10分当时，，则；所以时，方程有唯一解．11分综合①②可得：当时，关于的方程在上有唯一解．