吉林省长春市实验中学2022-2023学年高三数学下学期模拟考试（五）试题（Word版附答案）

绝密★启用前吉林省实验中学2022-2023学年度下学期高三年级模拟考试（五）数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.2.请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷､草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效.不得在答题卡上做任何标记.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.4.考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存.第I卷一､选择题：本题包括1至8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合，则（）A.B.C.D.2.为虚数单位，复数，复数的共轭复数为，则的虚部为（）A.B.C.D.3.已知是无穷等差数列，其前项和为，则“为递增数列”是“存在使得”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是（）A.B.C.6D.85.声音中包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波.每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调，响度，音长和音色.这都与正弦函数的参数有关.我们一般 听到的声音的函数是，对于函数，下列说法正确的是（）A.是的一个周期B.关于对称C.0是的一个极值点D.关于中心对称6.将甲､乙等5名志愿者分配到4个社区做新冠肺炎疫情防控宣传，要求每名志愿者去一个社区，每个社区至少去一名志愿者，则甲､乙二人去不同社区的概率为（）A.B.C.D.7.在菱形中，，，将绕对角线所在直线旋转至，使得，则三棱锥的外接球的表面积为（）A.B.C.D.8.已知函数，其导函数记为，则（）A.2B.C.3D.二､多选题：本题包括9至12小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合题目要求.9.某商店2022年1月至12月每月的收入､支出情况的统计如图所示，则下列说法中正确的有（）A.第二季度月平均利润为30万元B.收入的中位数和众数都是50C.下半年支出比上半年支出稳定D.利润最高的月份是2月份和11月份 10.如图，一个平面斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆.若圆柱底面圆半径为，平面与圆柱底面所成的锐二面角大小为，则下列对椭圆的描述中，正确的是（）A.短轴为，且与大小无关B.离心率为，且与大小无关C.焦距为D.面积为11.如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点，以x轴非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，P，则下列说法正确的是（）A.B.扇形的面积为C.D.当时，四边形的面积为12.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（）A.若，则B.以为直径的圆与准线相交C.设，则 D.过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条第Ⅱ卷（非选择题）三､填空题13.的展开式中，的系数是__________.14.若曲线在点处的切线方程是，则______.15.如图，单位向量，的夹角为，点在以为圆心，1为半径的弧上运动，则的最小值为______.16.过曲线与曲线的交点的圆的方程为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知数列的前项和，且满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.18.已知的内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若，求的取值范围.19.新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病毒.对前所未知､突如其来､来势汹汹的疫情，习近平总书记亲自指挥､亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位.明确坚决打赢疫情防控的人民战争､总体战､阻击战.当前，新冠肺炎疫情防控形势依然复杂严峻.为普及传染病防治知识，增强学生的疾病防范意识，提高自身保护能力，市团委在全市学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛（满分分），竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其它学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了名学生的竞赛成绩，获得了如下频数分布表. 竞赛成绩人数（1）从该样本中随机抽取名学生，求这名学生均获一等奖的概率；（2）若该市所有参赛学生的成绩近似地服从正态分布，若从所有参赛学生中（参赛学生人数特别多）随机抽取名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在分以上的学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望.20.如图，在三棱锥中，是外接圆的直径，垂直于圆所在的平面，､分别是棱､的中点.（1）求证：平面；（2）若二面角为，，求与平面所成角的正弦值.21.已知椭圆的长轴长为4，A，B是其左､右顶点，M是椭圆上异于A，B的动点，且.（1）求椭圆C的方程；（2）若P为直线上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点.①证明：直线CD过椭圆右焦点；②椭圆的左焦点为，求的内切圆的最大面积.22.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，讨论函数的单调性； （3）当时，恒成立，求的取值范围.绝密★启用前吉林省实验中学2022-2023学年度下学期高三年级模拟考试（五）数学一､选择题12345678CAADDCBA二､多选题9101112BCACDACDACD2.【答案】A【详解】因为，故，因此，的虚部为.故选：A.3.【答案】A【详解】解：因为是无穷等差数列，若为递增数列，所以公差，令，解得，表示取整函数，所以存在正整数，有，故充分；设数列为5，3，1，-1，…，满足，但，则数列是递减数列，故不必要，故选：A 4.【答案】D【详解】由题知，，所以，又因为为线段上任一点，所以，所以当且仅当时等号成立，此时，.故选：D.6.【答案】C【详解】5个人去4个社区，只能是的形式，分组的情况总数为，再把这些分组分配到四个不同地方，有种情况，因此基本事件总数为；甲､乙去相同的社区的情况有：种，由对立事件可得甲､乙二人去不同社区的概率为：.故选：C.7.【答案】B【详解】如图，取的中点，连接，在菱形中，，则都是等边三角形，则，因为平面平面，所以即为二面角的平面角，因为，所以，即，所以平面平面， 如图，设点为的外接圆的圆心，则在上，且，设点为三棱锥的外接球的球心，则平面外接球的半径为，设，则，解得，所以，所以三棱锥的外接球的表面积为.故选：B.8.【答案】A【分析】函数，分析其性质可求的值，再求并讨论其性质即可作答.【详解】由已知得，则，显然为偶函数.令，显然为奇函数.又为偶函数，所以，， 所以.故选：A.二、多选题9.【答案】BC【详解】对于A，第二季度的利润分别为20，20，20万元，所以平均利润为20万元，故A错误，对于B，收入按照从小到大排列为：30，40，40，50，50，50，50，50，60，60，70，80，故中位数和众数均为50，故B正确，对于C，下半年的支出分别为20，40，40，20，50，30，平均数为，方差为，上半年的支付分别为：30，60，30，30，10，20，平均数为30，方差为，由于，故下半年支出比上半年支出稳定，C正确，对于D，利润最高的为3月和10月，故D错误，故选：BC11.【答案】AD【详解】由题意圆的半径选项A：由题意得所以 所以，故A正确；选项B：因为，所以扇形的面积，故B错误；选项C，故C错误；选项D：因为， 所以故D正确故选：AD.12.【答案】ACD【详解】抛物线焦点，准线，由题意，故A正确；因为，则以为直径的圆的半径， 线段的中点坐标为，则线段的中点到准线的距离为，所以以为直径的圆与准线相切，故B错误；抛物线的焦点为，，当且仅当三点共线时，取等号，所以，故C正确；对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个交点，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立，消得，当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个交点，当时，则，解得，综上所述，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条，故D正确.故选：ACD.第Ⅱ卷（非选择题）三､填空题13.【答案】120【分析】先找出中含的项，再在中找出含的项，相乘即可得到含的系数.【详解】中含的项为中含的项为，的展开式中含的项为，其系数为120.故答案为：120.14.【答案】【详解】由已知，则，由，又曲线在点处的切线方程是，，，故答案为：.15.【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设出，，利用平面向量数量积公式，结合辅助角公式得到，结合，求出最小值.【详解】以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，则，设，，故，因为，所以，故当，时，取得最小值，最小值为.故答案为：16.【答案】（曲线系来做）设即因为方程表示圆则，即为所求四、解答题17.【答案】（1）；（2）.【详解】试题分析：（1）当时，可求出，当时，利用可求出是以2为 首项，2为公比的等比数列，故而可求出其通项公式；（2）由裂项相消可求出其前项和.试题解析：（1）依题意：当时，有：，又，故，由①当时，有②，①-②得：化简得：，∴是以2为首项，2为公比的等比数列，∴.（2）由（1）得：，∴∴18.【答案】（1）（2）【详解】（1）由正弦定理可变形为，，即，又；（2）由正弦定理，，又，， 所以，即的取值范围是.19.【详解】（1）解：由题意可知，这名学生中，获一等奖的学生人数为，因此，从该样本中随机抽取名学生，这名学生均获一等奖的概率为.（2）解：因为，则，从所有参赛学生中（参赛学生人数特别多）随机抽取名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在分以上的学生人数为，则，所以，，，，.所以，随机变量的分布列如下表所示：由二项分布的期望公式可得.20.【分析】（1），，由线面垂直的判定定理可得平面，再由三角形中位线定理可得答案；（2）以为坐标原点，的方向分别为x轴､y轴､z轴的正方向，建立的空间直角坐标系， 求出､平面的一个法向量，由线面角的向量求法可得答案.【详解】（1）因为是圆的直径，所以，因为垂直于圆所在的平面，平面，所以，又因为，平面，平面PAC，所以平面，因为分别是棱的中点，所以，从而有平面；（2）由（1）可知，平面，平面，所以，平面，平面，所以为二面角的平面角，从而有，则，又，得，以C为坐标原点，的方向分别为x轴､y轴､z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，所以，，，设是平面的一个法向量，则，即，可取，设AE与平面ACD所成角为故，所以AE与平面ACD所成角的正弦值为. 21.（1）由已知得：，，，设，因为M在椭圆上，所以①因为，将①式代入，得，所以，所以椭圆的方程为.（2）①设，则，，所以，，联立方程，得， 则.联立方程，得，，则，椭圆的右焦点为，，，因为，说明C，D，三点共线，即直线CD恒过点.②因为直线CD恒过点，所以的周长为，设内切圆的半径为，所以的面积，所以，即，若内切圆的面积最大，即r最大，也就是最大，因为三点不共线，所以直线CD的斜率不为0，设直线CD的方程为，代入得：， 可得，，又因为令，（*）式化为：，因为函数在上单调递增，所以当，即时，（*）式取最大值3，所以，故，所以得到内切圆面积的最大值为，当时取得.22.【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.【解析】（1）根据导数几何意义求出导数即为斜率，根据点斜式写出直线方程；（2）由题意得，讨论根据判定其单调区间；（3）法一：由题意得，讨论根据单调性判定是否成立即可得出答案；法二：原命题等价于在上恒成立，用参变分离法求出函数最值. 【详解】（1）当时，，，所以切线方程为：，即：；（2）由题，可得由于，的解为，（1）当，即时，，则在上单调递增；（2）当，即时，在区间上，在区间上，，所以的单调增区间为；单调减区间为.（3）当，即时，在区间上，在区间上，，则在上单调递增，上单调递减.（3）解法一：（1）当时，因为，所以，，所以， 则在上单调递增，成立（2）当时，，所以在上单调递增，所以成立.（3）当时，在区间上，；在区间，，所以在上单调递减，上单调递增，所以，不符合题意.综上所述，的取值范围是.解法二：当时，恒成立，等价于“当时，恒成立”.即在上恒成立.当时，，所以.当时，，所以恒成立.设，则因为，所以，所以在区间上单调递增.所以，所以.综上所述，的取值范围是.