黑龙江省牡丹江市第三高级中学2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

2022-2023学年度第二学期期中考试高一数学试卷考试时间:120分钟分值：150分一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.设，其中为实数，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据复数相等可得答案.【详解】，解得.故选：D.2.平面向量与相互垂直，已知，，且与向量(1，0)的夹角是钝角，则=（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先设出向量的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示及模的运算，向量夹角的定义求解即可．【详解】设①，，②，与向量(1，0)夹角为钝角，，③，由①②③解得，，故选：D． 3.在△ABC中，，则此三角形中的最大角的大小为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由正弦定理可得出，设，则，，然后根据余弦定理求出即可得出答案.【详解】由正弦定理可得，，设，则，，所以最大.由余弦定理可得，.因为，所以.故选：C.4.下列不能化简为的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据向量的加减法以及运算性质，可得答案.【详解】对于A，，故A不符合题意；对于B，，故B不符合题意；对于C，，故C不符合题意；对于D，，故D符合题意.故选：D.5.已知向量，，且，则向量的夹角是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由可求得，根据向量夹角公式可求得结果.【详解】，， ，又，.故选：D.6.如图所示，在三棱柱中，底面，，，直线与侧面所成的角为，则该三棱柱的侧面积为A.B.C.12D.【答案】A【解析】【分析】由线面垂直的判定定理可得BC面，得到直线与侧面所成的角为，然后由题目条件可得AB,BC的长度，从而可得侧面积.【详解】底面，则，，,可得BC面，所以直线与侧面所成的角为，又，则该三棱柱的侧面积为2，故选A 【点睛】本题考查线面垂直判定定理的应用和线面角的求法，属于基础题.7.在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】由题意几何体的体积，就是正方体的体积减去8个正三棱锥的体积，V正方体−8V三棱锥＝.考点：组合几何体的面积、体积问题8.如图（1）在正方形中，分别是边的中点，沿及把这个正方形折成一个几何体如图(2),使三点重合于,下面结论成立的是（）A.平面B.平面C.平面D.平面【答案】A【解析】【分析】根据折叠前后垂直关系不变可推出A正确，B错误，再由与不垂直判断C，反证法可判断D. 【详解】在折叠过程中，始终有，，即，又，平面，平面，所以A正确，B错误；，是的中点，，故与不垂直，故C错误；若平面，则，又平面，则，显然矛盾，故D错误.故选：A.二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9.已知向量，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.存在，使得C.D.当时，在上的投影向量的坐标为【答案】CD【解析】【分析】根据平面向量共线的坐标公式即可判断A；根据平面线路垂直的坐标表示即可判断B；根据向量的模的坐标计算即可判断C；根据投影向量的计算公式即可判断D.【详解】对于A，若，则，解得，故A错误；对于B，若，则，即，方程无解，所以不存在，使得，故B错误；对于C，，所以，故C正确；对于D，当时，，，则在上的投影向量的坐标为，故D正确.故选：CD.10.下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（）A.的实部为1B.C.的共轭复数为D.的虚部为【答案】BD 【解析】【分析】由复数除法法则化简复数为代数形式，然后判断各选项．【详解】因为，所以的实部为，故A是假命题；，故B是真命题；的共轭复数为，故C是假命题；的虚部为，故D是真命题．故选：BD．11.下列命题正确的是（    ）A.平行于同一个平面的两直线平行B.两条平行直线被两个平行平面所截得的线段相等C.一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，这两平面平行D.一条直线与两平行平面中一平面平行，则与另一平面也平行【答案】BC【解析】【分析】以长方体为例，举例即可判断A、C、D；根据面面平行的性质定理，可证得线线平行，进而通过证明平行四边形，即可得出B项.【详解】对于A项，如图1，长方体中，平面，平面，但是，故A项错误； 对于B项，如图2，已知两个平面，，两条直线，且直线，，，.因为，所以可构成平面，设为，则由图可知，，，根据面面平行的性质定理可知，.又因为，所以，四边形为平行四边形，所以，故B项正确；对于C项，根据面面平行的判定定理可知，C项正确；对于D项，如图1，长方体中，平面，平面平面，但是平面，故D项错误.故选：BC12.对于，有如下判断，其中正确的判断是（）A.若，则B.若，则为等腰三角形C.若，，，则符合条件的有两个D.若，则是锐角三角形【答案】AC【解析】【分析】根据三角函数的单调性可判断A选项，根据正弦函数单调性和对称性可判断B选项，利用正弦定理可判断C选项，利用正弦定理及余弦定理可判断D选项.【详解】对于A：由，则当时，，当时，由可知，所以，故A选项正确；对于B：由，，，得：或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B选项错误；对于C：由，，，根据正弦定理得： ，，且，所以满足条件的三角形有两个，C选项正确；对于D：由正弦定理可将转化为，则，所以，但无法判断的范围，D选项错误.故选：AC.三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________．【答案】【解析】【分析】将直观图还原可得，原图形为平行四边形，根据斜二测画法的法则，结合勾股定理，可得出平行四边形各边长，即可得出答案.【详解】由已知可得，，则将直观图还原为原图形如下图原图形为平行四边形，其中，，，所以，，所以，的周长为.故答案为：.14.若圆锥侧面展开图的面积为且圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为 __________．【答案】【解析】【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，由题意，结合扇形的弧长公式和面积公式可得，且，解得，再利用圆锥的体积计算公式即可．【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，由题意知，且，解得，∴圆锥的高∴此圆锥的体积．故答案为：．15.一艘船在处看到一个灯塔在北偏东方向，向东行驶后，船到达处，看到灯塔在北偏东方向，这时船与灯塔的距离为________．【答案】【解析】【分析】结合图形，利用正弦定理求解即可.详解】如图，根据题意可知，，，在中，由正弦定理得，即，解得.故答案为：.16.如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点E是SA上一点，当________时，平面. 【答案】【解析】【分析】连接AC交BD于O，根据线面平行的性质定理可得，进而即得.【详解】如图，连接AC，设AC与BD的交点为O，连接EO，因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是AC的中点．因为平面，且平面平面，又平面，所以，所以点E是SA的中点，即SE∶SA＝1∶2.故答案为：.四、解答题（共6小题，共70分）17.向量，若三点共线，则求实数.【答案】或【解析】【分析】先根据向量减法的运算法则求出，，再利用向量共线的性质列方程求解即可.【详解】因为，所以因为三点共线， 所以与共线，∴∴或【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，以及向量共线的性质，属于中档题.向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算．18.已知，.（1）若，求；（2）若与垂直，求当为何值时，?【答案】（1）（2）3【解析】【分析】(1)根据向量模长公式即可求出结果；(2)根据与垂直可以求出，根据即可求出的值.小问1详解】，，所以；【小问2详解】因为与垂直，所以，即，解得，当时，，即，解得，所以当时，. 19.如图，已知在长方体中，，，点是的中点．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接，利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）计算出，利用锥体的体积公式可求得结果.【详解】（1）因为四边形为矩形，且，则为的中点，又因为为的中点，则，平面，平面，因此，平面；（2）因为，，且为的中点，所以，， 在长方体中，平面，因此，.【点睛】方法点睛：常见的线面平行的证明方法有：（1）通过面面平行得到线面平行；（2）通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质.20.已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C所对的边，且（1）求角C（2）若，，D为BC的中点，，求△ABC的面积【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据余弦定理边角互化即可求解；（2）根据余弦定理可求CD值，进而可求a，根据三角形面积公式即可求解．【小问1详解】由题可得，由余弦定理得，因为，所以； 【小问2详解】在三角形ADC中，，即，解得或，即或，因为，所以由正弦定理可得，故，因为，所以，故，所以，所以．21.在中，，再从下面两个条件中，选出一个作为已知，解答下面问题.（1）若，求的面积；（2）求的取值范围.条件①；条件②.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件求出角B，再运用正弦定理和余弦定理求出c，用面积公式计算即可；（2）运用正弦定理，再做恒等变换，根据三角函数的性质求解.【小问1详解】选条件①，，，又，，而，故；选条件②，，，即，，又，故，在中，当，，时， 由余弦定理得：，即，（负值舍去），所以；【小问2详解】由题设及（1）可知：，，故由正弦定理得：，，，故（当且仅当时等号成立），即；综上，的面积为，的取值范围是.22.如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱上的点，点是线段上的动点，．（1）当点M在何位置时，平面?（2）若平面，求与所成的角的余弦值．【答案】（1）点为的中点（2）【解析】【分析】（1）分别取的中点为，连接．可推得四边形 为平行四边形，．进而根据线面平行的判定定理，得出线面平行；（2）由（1）知，与所成的角（或其补角），即等于与所成的角.然后构造直角三角形，可推得，，，进而得出，在中，即可得出答案.【小问1详解】如图1所示，分别取的中点为，连接．因为分别是的中点，所以，且.又因为，所以，所以.又，所以.所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面.所以，当点为的中点时，有平面.【小问2详解】 由（1）知，点为的中点，且与异面.因为，所以与所成的角（或其补角），即等于与所成的角.由已知可得，，，所以.如图2，取中点为，连接，易知，则，，所以，，所以.因为是的中点，所以，所以，，所以，在中，有，所以与所成的角的余弦值为．