云南省楚雄州2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

楚雄州中小学2022~2023学年下学期期中教育学业质量监测高中一数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．向量（）A．B．C．D．2．一个几何体由8个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正多边形，其余各面都是全等的矩形，则该几何体是（）A．七棱锥B．六棱台C．六棱柱D．正方体3．已知，，若点C是靠近点B的三等分点，则C的坐标为（）A．B．C．D．4．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，，则B的大小为（）A．45°或135°B．30°C．30°或150°D．45°5．已知，是平面上的非零向量，则“存在实数，使得”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．如图，这是正方体外表面展开图，则该正方体可能为（）A．B．C．D．7．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（）A．B．C．D．8．故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四 坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿．由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶．如图，某几何体ABCDEF有五个面，其形状与四阿顶相类似．已知底面ABCD为矩形，，，底面ABCD，且．则几何体外接球的表面积为（）A．B．C．D．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若，，表示不同的平面，l表示直线，则下列条件能得出的是（）A．内存在一条直线垂直于平面B．，C．，D．，10．在菱形ABCD中，，向量与向量的夹角为，E为BC的中点，则（）A．B．C．D．11．如图，有A，B，C三艘渔船在海岛D附近作业，D在A的东北方向，D在B的东偏北60°方向，C在B的东偏北30°方向，B在A的正东方向，已知A，B相距，B，C相距，则（）A．D在C的北偏西60°方向B．D在C的北偏西30°方向C．D，C相距akmD．D，C相距12．在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器，如图（1），，，在容器内灌进一些水，现固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，如图（2），则（） A．有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱B．棱与水面所在平面平行C．水面EFGH所在四边形的面积为定值D．当容器倾斜成如图（3）所示时，EF的最小值为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．用斜二测画法画出的一个平面图形的直观图是斜边长为4的等腰直角三角形，其中斜边平行于轴，则原图形的面积为______．14．已知向量，满足，且，则向量，的夹角为______，______．（本题第一空2分，第二空3分）15．如图，在正方体中，M，N分别为，CD的中点，则异面直线MN和所成角的余弦值为______．16．如图，已知在矩形ABCD中，，，M为边BC的中点，将，分别沿着直线AM，MD翻折，使得B，C两点重合于点P，则点P到平面MAD的距离为______．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，以菱形ABCD的一边AB所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，已知，． （1）求该几何体的体积；（2）求该几何体的表面积．18．（12分）如图，在正四棱台中，E，F，G，H分别为棱，，AB，BC的中点．（1）证明E，F，G，H四点共面；（2）证明GE，FH，相交于一点．19．（12分）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．（1）求角A的大小；（2）若的周长为3a，的面积为，求a．20．（12分）如图，在直三棱柱中，．（1）证明：为直角三角形．（2）若为等腰三角形，且，求与侧面所成角的正弦值．21．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，M为PA的中点，E是PC靠近C的一个三等分点． （1）若N是PD上的点，平面ABCD，判断MN与BC的位置关系，并加以证明．（2）在PB上是否存在一点Q，使平面BDE成立？若存在，请予以证明，若不存在，说明理由．22．（12分）在中，D，E分别是边AB，AC上两点，．（1）若，，，求的值；（2）若，，，求∠DEB．楚雄州中小学2022~2023学年下学期期中教育学业质量监测高中一年级数学试卷参考答案1．D．2．C六棱柱的两个底面互相平行且全等，其余各面都是全等的矩形．3．A设，则，，因为点C是靠近点B的三等分点，所以，，即，．4．D在中，由正弦定理可得，即，解得，又因为，所以，所以．5．B因为，所以，的方向相同，所以“存在实数，使得”是“”的必要不充分条件．6．B由正方体外表面展开图可知，圆与月亮是相对面，“×”和“V”是相对面，可排除AD，再根据还原正方体可知B正确．7．C由，得，所以，即，所以，即 ，所以．即．8．A连接AC，BD，设，取EF的中点N，连接MN，由题意知，球心O在直线MN上，取BC的中点G，连接FG，则，且．连接MG，过点F作于点P，则四边形MPFN是矩形，，则，设外接球半径为R，，则，，解得，故，所以外接球的表面积．9．ABC，，不能得出，其他选项均能得出．10．BC由向量加法的三角形法则可得，，因为向量与向量的夹角为，所以，所以．11．BC如图所示，，，，，又，所以在中，，解得，在中，，所以，则，所以D在C的北偏西30°方向，且D，C相距akm．12．ABD由棱柱的定义知，选项A正确；对于选项B，由于，，所以，且不在水面所在平面内，所以棱 与水面所在平面平行，选项B正确；对于选项C，在图（1）中，，在图（2）中，，选项C错误；对于选项D，，所以．，当且仅当时，等号成立，所以EF的最小值为，选项D正确．故选ABD．13．直观图的面积为，则原图形的面积为．14．；1设，的夹角为，则，得，所以．15．取E为AB的中点，易知，所以∠NME为直线MN和所成的角．设正方体的棱长为2，则，，，所以，所以．16．因为ABCD为矩形，所以，，所以平面ADP，又，，点P到平面MAD的距离为h，，所以，解得．17．解：如图，这是所求的几何体，该几何体上部分为圆锥，下部分为在圆柱内挖去一小个与上部分相同的圆锥． （1）易知点D到AB的距离为．该几何体的体积为．（2）圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为，所以该几何体的表面积为．18．证明：（1）连接AC，（图略），因为为正四棱台，所以，又E，F，G，H分别为棱，，AB，BC的中点，所以，，则，所以E，F，G，H四点共面．（2）因为，所以，所以EFHG为梯形，则EG与FH必相交．设，因为平面，所以平面，因为平面，所以平面，又平面平面，所以，则GE，FH，交于一点．19．解：（1）由，根据正弦定理可得，则，，得．（2）因为的周长为，所以，因为的面积为，所以，则，由余弦定理可得，则，解得． 20．（1）证明：因为三棱柱为直三棱柱，所以平面ABC，因为平面ABC，所以．又因为，且，所以平面．因为平面，所以，即为直角三角形．（2）解：如图所示，取的中点D，连接，AD，因为为等腰三角形，D为的中点，所以，因为⊥平面，平面，所以，平面，，平面．又，所以平面，所以为直线与平面所成的角，易得，，在中，，所以直线与平面所成角的正弦值为．21．证明：（1）．平面ABCD，平面PAD，平面平面，∴．又，∴．（2）当Q是PB的中点时，平面BDE成立．取PE的中点F，连接QF，又Q为PB的中点，∴．∵平面BDE，平面BDE，∴平面BDE． 连接AC交BD于点O，则O为AC的中点，又E是PC靠近C的一个三等分点，∴E为CF的中点，∴．∵平面BDE，平面BDE，∴平面BDE．又，∴平面平面BDE．∵平面AQF，∴平面BDE．22．解：（1），，因为，，所以，，所以．（2）因为，，所以为等边三角形，所以，，，设，则，，，在中，，即，在中，，即，所以，则，解得，所以．