湖南省名校联盟2023届高三数学下学期4月联考试卷（Word版附解析）

绝密★启用前（新高考卷）数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合，若，则集合可以为（）A.B.C.D.2.复数是纯虚数的充分不必要条件是（）A.且B.C.且D.3.函数的定义域为，导函数为，若对任意，成立，则称为“导减函数”.下列函数中，是“导减函数”的为（）A.B.C.D.4.用红、黄、蓝三种颜色给下图着色，要求有公共边的两块不着同色.在所有着色方案中，①③⑤着相同色的有（）A.96种B.24种C.48种D.12种5.从午夜零时算起，在钟表盘面上分针与时针第次重合时，分针走了，则24小时内（包括第24时）所有这样的之和（）A.24B.300C.16560D.180006.将水平放置，棱长为1的正方体容器（不计容器壁厚度）中注入一半的水，现将该正方体容器任意摆放，并保证水不溢出，则平行于水平面的水面面积的最大值为（）A.B.1C.D.7.2022年12月4日20点10分，神州十四号返回舱顺利着陆，人们清楚全面地看到了神州十四号返回舱成功着陆的直播盛况.根据搜救和直播的需要，在预设着陆场的某个平面内设置了两个固定拍摄机位，和一个移动拍摄机位.根据当时气候与地理特征，点在拋 物线（直线与地平线重合，轴垂直于水平面.单位：十米，下同.的横坐标）上，的坐标为.设，线段，分别交于点，，在线段上.则两固定机位，的距离为（）A.B.C.D.8.设的最小值为，最大值为，若正数，满足，则（）A.B.C.D.二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知一组数据：0，1，2，4则（）A.该组数据的极差，中位数，平均数之积为10B.该组数据的方差为2.1875C.从这4个数字中任取2个不同的数字可以组成8个两位数D.在这4个数字中任取2个不同的数字组成两位数，从这些两位数中任取一数，取得偶数的概率为10.若函数同时满足以下条件：①，是函数的零点，且；②，有，则（）A.B.将的图象向左平移个单位长度得到的图象解析式为C.在上单调递减D.直线是曲线的一条对称轴11.直线，与椭圆共有四个交点，它们逆时针方向依次为，，，则（）A.B.当时，四边形为正方形C.四边形面积的最大值为D.若四边形为菱形，则 12.已知和是定义在上的函数，若存在区间，且，则称与在上同步.则（）A.与在上同步B.存在使得与在上同步C.若存在使得与在上同步，则D.存在区间使得与在上同步三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。13.展开式中的系数为______.14.双曲线的上焦点为，，为曲线上两点，若四边形为菱形，则的离心率为______.15.在正五边形中，，则______.16.若，，则______.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知的内角，，的对边分别为，，，若.（1）求的值；（2）若的面积为，求周长的最大值.18.（12分）在数列中，，，.（1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，求的最大值.19.（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客当日消费金额达366元及以上的均可抽奖.每次抽奖都是从装有2个红球，8个白球的箱子中一次性取出2个小球，若取出2个红球，得200元本商场购物券；若取出1个红球和1个白球，得80元本商场购物券；若取出2个白球，得10元本商场购物券.（1）求顾客抽一次奖获得购物券金额的分布列；（2）为吸引更多的顾客，现在有两种改进方案，甲方案：在原方案上加一个红球和一个白球，其他不变.乙方案：在原方案的购物券上各加10元，其他不变；若你是顾客，你希望采用哪种方案.20.（12分）在四棱锥中，，，，，顶点在底面上的射影在线段上，且.（1）证明：；（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.21.（12分）椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，上顶点为，点到直线的距离为.（1）求的方程；（2）过点的直线交双曲线右支于点，，点在上，求面积的取值范围.22.（12分）已知函数，.（1）函数在处取得极大值，求的值；（2）若，证明：.绝密★启用前（新高考卷） 数学参考答案1.【答案】C【解析】，所以集合可以为.2.【答案】【解析】复数是纯虚数的充要条件是且，所以且是复数为纯虚数的充分不必要条件.3.【答案】D【解析】，，则符合导减函数的定义.4.【答案】B【解析】①③⑤着相同的颜色，可以有种，②④⑥按要求着色有种，所以共有24种.5.【答案】C【解析】在钟表盘面上，分针每分钟转，时针每分钟转，即，数列是以为首项，公差为的等差数列.，24小时内分针与时针重合22次，.6.【答案】D【解析】因为水的体积恰好是容器容积的一半，水面可以是以为边长的正六边形，此时水面面积为；水面可以是正方体的对角面，此时水面面积为，所以平行于水平面的水面面积的最大值为.7.【答案】B【解析】设，，，根据条件有，，∴，.由题意，，互不相等，把，，分别代入上两式化简得，，消去得.的方程是，即，∴的方程为，∴经过定点.所以点的坐标为.，即两固定机位，的距离为.8.【答案】A 【解析】设，，则，，，，即点的轨迹是椭圆在坐标轴正半轴和第一象限的部分.设，即，所以当，即时，取得最小值2，即（此时直线过椭圆的上顶点）.直线与椭圆在第一象限相切时，最大.将代入椭圆方程并化简得，所以，所以（负值已舍）.所以.，即，所以.由知，，，所以与均是单调减函数，所以.所以A正确.9.【答案】BD【解析】该组数据的极差为4，中位数为1.5，平均数为1.75，它们之积为10.5，方差为2.1875，可以组成9个两位数，其中只有21，41两个奇数，从中随机抽一数，抽到偶数的概率为.10.【答案】ABC【解析】函数的零点，即方程的解，所以，，由②知是函数的一条对称轴，解得，所以.将的图象向左平移个单位长度得到函数.11.【答案】ACD【解析】，由椭圆的对称性知四边形是平行四边形.设，，，，解得，A正确. ，，，平行四边形的高即为两平行线之间的距离，当时，，B错误.，设，，，C正确.若四边形是菱形则，，解得，正确.12.【答案】BC【解析】由题知与在上同步，即在上，至少存在两个零点，，对于A，在上单调递增，所以A错误.对于B，，，，，函数在上必有一个零点，所以B正确.对于C，，，当时函数在上单调递减，至多有一个零点，不符合题意，当时，在上单调递增，在上单调递减，当时，当时，，要有两个零点，则，解得，所以C正确.对于D，在，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，所以，没有零点，所以D不正确.13.【答案】135【解析】，，，.14.【答案】 【解析】上焦点，因为四边形为菱形，，则可设，由得，将点的坐标代入解得，，所以的离心率为.15.【答案】【解析】分别连接，，设，，连接，则，.设，则.由得，即，解得.所以.16.【答案】【解析】由，得，，即，.设，则是上的奇函数，，所以是上的单调增函数.又，，所以， 所以，即，所以.17.（10分）【解析】（1）设，，在中，由正弦定理得，，，代入已知化简得，又在中有：，即，【方法一】∵，即，所以，所以.【方法二】∵，即，所以，所以.（2）在中有，，，由正弦定理得：，，，因在中，，，，所以，，当时，等号成立，周长取得最大值12.18.（12分）【解析】（1）当为奇数时，即数列的奇数项是以18为首项，为公差的等差数列，.当为偶数时，即数列的偶数项是以24为首项，为公差的等差数列，.所以.（2）当为奇数时，，即，，都大于0，，， 当为偶数时，，即，，，都大于，，，所以的最大值为.19.（12分）【解析】（1）设获得购物券的金额为，则可以取200，80，10，，，.的分布列为：2008010（2）方案甲，设获得购物券的金额为，则可以取200，80，10，，，..方案乙，设获得购物券的金额为，.因，所以顾客希望采用方案乙.20.（12分）【解析】（1）证明：∵在中，，，∴，延长交于点，由题易知，∵，∴，，∵，，∴四边形为平行四边形，∴，．∵平面ABCD，平面，∴.∵，是平面内两相交直线，∴平面BPD． ∵平面BPD，∴.（2）由（1）知，，互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，∴，，，.设平面的一个法向量为，则即，不妨取，得.设平面的一个法向量为，则即，不妨取，得所以.即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.21.（12分）【解析】（1）直线方程为，即，到直线的距离，化简得，所以，解得，，所以的方程为： （2）设直线的方程为，由于的渐近线的斜率为，所以.将方程代入化简得.设，，则，，，设平行于与椭圆相切的直线为，由得，由得直线与之间的较小距离，直线与之间的较大距离则面积的较小值为，面积的较大值为.设，，，则，，，∴，.所以面积的取值范围为.22.（12分）【解析】（1），，，∴，∴.因为，所以. 当，或时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且.因为，，所以，即.（2）由为偶函数，则只需考虑的情况：记，有，（ⅰ）当，有，所以单调递增，有，①当，有，成立；②当，记，则只需证，；，；有，当，有，则单调递增，，成立；当，有，则单调递减，有，成立；（ⅱ）当，有，所以单调递减，有，记，其中，只需证，有，当，易知， 当，有，所以单调递减，则，成立；综上可知，有.