浙江省杭州市之江高级中学2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

杭州之江高级中学2022学年第二学期高二年级数学期中考试试题卷考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号等；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分（共60分）一、单选题（本题8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一个选项正确）1.假设，，且与相互独立，则（）A.0.12B.0.6C.0.4D.0.08【答案】D【解析】【分析】代入相互独立事件的概率计算公式即可求解.【详解】由题意知，与相互独立，则，故选：D.2.若，则（）A.30B.20C.12D.6【答案】A【解析】【分析】先由组合的运算公式计算出的值，再代入中，由排列公式即可计算出结果.【详解】若故选：A.3.展开式中含项的系数为（） A.30B.24C.20D.15【答案】D【解析】【分析】利用二项式通项求解即可.【详解】，令，解得，所以含项的系数为.故选：D4.某学校共1000人参加数学测验，考试成绩近似服从正态分布，若，则的值（）A.0.1B.0.9C.0.45D.0.05【答案】D【解析】【分析】由已知可得，根据正态分布的对称性可推得，即可得出答案.【详解】由已知可得，，所以.又，根据正态分布的对称性可得，所以.故选：D.5.已知e为自然对数的底数，则曲线在点处的切线方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】对函数求导，然后把代入导函数，求出曲线在点处的斜率，代点斜式求切线方程.【详解】，当时，切线方程的斜率为，过点，故切线方程为，故选：C6.若，则（）A.1B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】利用赋值法构造关于的方程，解之即可取得的值.【详解】令，由可得即故选：C7.在一次抗洪救灾中，甲、乙、丙、丁4名党员被安排到A，B，C三个村，参与抗洪救灾任务，每个村至少安排1名党员，则不同的分配方案种数为（）A.12B.14C.36D.28【答案】C【解析】【分析】先将4名党员分成2人，1人，1人三组，再分配到三个村.【详解】4名党员分成2人，1人，1人三组的方法数为，所以不同的分配方案种数为种.故选：C.8.已知函数，且恒成立，若恰好有1个零点，则实数的范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由恒成立，可得.注意到，则的零点为.函数零点为.后分四种情况讨论即可.【详解】因恒成立，则， 则，又，则的零点为，1.又函数零点为.①当时，在上无零点，在上有零点，则符合题意；②当时，在上有零点，在上有零点，则不合题意；③当时，在上有零点，在上无零点，则符合题意；④当时，在上有零点，1，在上无零点，则不合题意.综上：.故选：C二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列各式正确的是（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】根据常函数，三角函数和幂函数的导数运算，逐一排除即可．【详解】解：对于，，选项错误；对于，，选项错误；对于，，选项正确；对于，，选项正确；故选：．【点睛】本题考查导数的运算及基本初等函数的导数公式的应用，属于基础题．10.若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（       ） A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】根据随机变量服从两点分布推出，根据公式先计算出、，由此分别计算四个选项得出结果．【详解】随机变量服从两点分布，其中，，，，在A中，，故A正确；在B中，，故B正确；在C中，，故C错误；在D中，，故D错误．故选：AB．11.（多选）甲罐中有个红球、个白球和个黑球，乙罐中有个红球、个白球和个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以事件、、表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球，再从乙罐中随机取出一个球，以事件表示由乙罐取出的球是红球，下列结论正确的是（）A.事件与事件不相互独立B.、、是两两互斥的事件C.D.【答案】ABD【解析】【分析】利用事件独立性的定义可判断A选项的正误；利用互斥事件的定义可判断B选项的正误；利用全概率公式可判断C选项的正误；利用条件概率公式可判断D选项的正误.【详解】对于A，由题意可知，事件发生与否影响事件的发生，故事件与事件不相互独立，故A正确; 对于B，、、两两不可能同时发生，故B正确；对于C，，故C不正确；对于D，已知从甲罐中取出一个红球放入乙罐，这时乙罐中有个球，其中红球有个，因此，在事件发生的条件下，事件发生的概率为，故D正确.故选：ABD.12.对于函数，下列说法正确的有（）A.的单调递减区间为B.在处取得极大值C有两个零点D.【答案】BD【解析】【分析】求得，得到的单调性和极值，可判定A错误，B正确；根据当时，，当时，，得到函数只有一个零点，可判定C错误；结合，利用在上单调递减，可判定D错误.【详解】由函数的定义域为，且，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以的递增区间为，递减区间为，所以A错误；又由当时，函数取得极大值，所以B正确；因为当时，；当时，恒成立，所以函数只有一个零点，所以C错误；因为，因为函数在上单调递减，且，所以，所以D正确.故选：BD非选择题部分（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，可以组成________个四位数.【答案】【解析】【分析】在已知的5个数字中任选4个作全排列即可得答案.【详解】用1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，即任选4个数字作全排列即可，所以个.故答案为：14.函数在上的最小值是________.【答案】【解析】【分析】利用导数得出单调区间计算即可.【详解】由，令得，得，所以在上单调递减，在上单调递增，则在上的最小值是.故答案为：.15.2021年11月27日奥密克戎毒株输入我国香港，某医院委派甲、乙、丙、丁四名医生前往三个小区做好防疫工作，每个小区至少委派一名医生，在甲派往小区的条件下，乙派往小区的概率为____．【答案】【解析】【分析】根据分组分配利用排列组合计算个数，结合条件概率的计算公式即可求解.【详解】记事件为“甲派往小区”，事件为“乙派往小区”，则若A小区分配甲一个人，则有，若A小区分配甲以及另一个人一起，则有,故事件包含的基本事件个数为，在甲派往小区的条件下，乙派往小区的情况为：①只有甲派往小区，只有乙派往 小区，另外两个人去C小区，则有1种情况，②从丙丁中选一个人连同甲一起派往小区，只有乙派往小区，剩下一个人去C小区，则有种情况，③从丙丁中选一个人连同乙一起派往小区，只有甲派往小区，剩下一个人去C小区，则有种情况，,故答案为：16研究变量x，y得到一组样本数据，进行回归分析，有以下结论：①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；②用相关指数来刻画回归效果，越小说明拟合效果越好；③若变量y和x之间的相关系数为，则变量y和x之间的负相关很强；④残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适．以上正确说法的序号是______________．【答案】①③④【解析】【分析】根据残差的概念可判断①④，根据相关指数的概念可判断②，根据相关系数概念可判断③.【详解】对①，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，正确；对②，相关指数越接近1拟合效果越好，错误；对③，若变量y和x之间的相关系数非常接近1，说明负相关性很强，正确；对④，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，正确；综上所述说法正确的序号是①③④．故答案为：①③④．四、解答题（本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟.）17.已知二项式展开式中共有10项．（1）求展开式的第5项的二项式系数；（2）求展开式中含的项．【答案】（1）126（2）【解析】【分析】（1）根据项数可求得，根据二项式系数与项数之间关系列出等式，解出即可； （2）由（1）中的，求出通项，使的幂次为4，求出含的项即可.【小问1详解】解：因为二项式的展开式中共有10项，所以，所以第5项的二项式系数为；【小问2详解】由（1）知，记含的项为第项，所以，取，解得，所以，故展开式中含的项为.18.已知函数在处取得极值.（1）求实数的值；（2）求函数在上的最大值和最小值.【答案】（1）（2），.【解析】【分析】（1）求导，根据极值的定义可以求出实数的值；（2）求导，求出时的极值，比较极值和，之间的大小关系，最后求出函数的最大值和最小值.【小问1详解】，∵函数在处取得极值，∴，即（经检验符合题意），∴.【小问2详解】由（1）知， 则，令，解得或；令，解得；∴函数在上单调递增，在上单调递减，则极大值，而，.故函数在上的最大值和最小值分别为，，.19.某中学选派20名学生观看当地举行的三场（同时进行）比赛，名额分配如下：足球跳水柔道1064（1）从观看比赛的学生中任选2人，求他们恰好观看的是同一场比赛的概率；（2）如果该中学可以再安排4名教师选择观看上述3场比赛（假设每名教师选择观看各场比赛是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记观看足球比赛的教师人数为，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）分布列见详解；期望【解析】【分析】（1）根据题意，利用古典概型的概率计算公式即可求解；（2）求出的可能取值，得到，然后求出每一个值对应的概率，进而计算期望即可求解.【小问1详解】设从观看比赛的学生种任选2人，他们恰好观看同一场比赛的事件为，则.【小问2详解】 的可能取值为.由题意可知，每位老师观看足球比赛的概率均为，则随机变量，则；；；；，则随机变量的分布列为所以.20.为了了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对名六年级学生进行了问卷调查，得到如下列联表：常喝不常喝总计肥胖不肥胖总计已知从这名学生中随机抽取人，抽到肥胖学生的概率为.（1）请将上面的列联表补充完整；（2）通过计算判断是否有的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?附：，其中. 【答案】（1）列联表答案见解析（2）有【解析】【分析】（1）计算出这名学生中，肥胖学生的人数，即可完善列联表；（2）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.【小问1详解】解：因为从这名学生中随机抽取人，抽到肥胖学生的概率为，所以，这名学生中，肥胖学生的人数为，完善列联表如下表所示：常喝不常喝总计肥胖不肥胖总计小问2详解】解：，因此，有的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关.21.我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况．某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量x（单位：dm）与遥测雨量y（单位：dm）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下：样本号i12345678910人工测雨量xi5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.23遥测雨量yi5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.49|xi-yi|0.050.080.20.570.420.030.090.110.020.26并计算得（1）求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数（精确到0.01 ），并判断它们是否具有线性相关关系；（2）规定：数组（xi，yi）满足|xi-yi|<0.1为“Ⅰ类误差”；满足0.1≤|xi-yi|<0.3为“Ⅱ类误差”；满足|xi-yi|≥0.3为“Ⅲ类误差”．为进一步研究，该地区水文研究人员从“Ⅰ类误差”、“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比，记抽到“Ⅰ类误差”的数据的组数为X，求X的概率分布与数学期望．附：相关系数【答案】（1）0.98，汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据公式求出样本相关系数，由数据判断线性相关关系的强弱；（2）由的所有可能取值，计算相应的概率，得到分布列，再求数学期望.【小问1详解】因为，…代入已知数据，得．所以汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系.【小问2详解】依题意，“I类误差”有5组，“II类误差”有3组，“III类误差”有2组．若从“I类误差”和“II类误差”数据中抽取3组，抽到“I类误差”的组数的所有可能取值为.则，， ，.所以的概率分布为0123P所以X的数学期望.另解：因为，所以.22.已知函数.（1）当时，求函数的图像在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）若恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）当时，在R上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（3）【解析】【分析】（1）代入，求出，根据导数的几何意义得到切线的斜率，即可得到切线方程；（2），对以及进行讨论，根据导函数的符号即可得到的单调区间；（3）根据（2）的结论，可知，根据题意，应有，即.令，根据导函数即可求得实数的取值集合.【小问1详解】 当时，，则.根据导数的几何意义，可得函数的图像在点处的切线斜率，又.所以，切线方程为，整理可得.【小问2详解】定义域为R，.当时，在R上恒成立，所以在R上单调递增；当时，解，即，解得，解，得，则在上单调递增，解，得，则在上单调递减.综上所述，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.【小问3详解】由（2）知，当时，在R上单调递增，又，所以当时，，不满足要求，所以.则由（2）知，在时，取得最小值.要使恒成立，则只需满足即可，即.令，即..令，则.当时，，当时，，所以，在处取得极大值，也是最大值，所以.又，所以，所以有.即当时，，有成立. 所以，实数取值范围为.