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浙江省杭州市第九中学2022-2023学年高一数学下学期期中试题(Word版附解析)
浙江省杭州市第九中学2022-2023学年高一数学下学期期中试题(Word版附解析)
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2022学年第二学期高一年级期中考试数学问卷时间:2023年4月考生须知:1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分,考试时间120分钟.2.答题前,必须在答题纸指定位置上用黑笔填写姓名、班级、座位号、准考证号,并用2B铅笔将准考证号所对应的数字涂黑.3.答案必须写在答题卷相应的位置上,写在其他地方无效.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.不选、多选、错选均不得分.1.()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式求得正确答案.【详解】.故选:A2.在下列向量组中,可以把向量表示出来的是()A.,B.,C.,D.,【答案】B【解析】【分析】利用向量的坐标运算,结合相等向量逐项计算判断作答.【详解】设,对于A,,则,无解,A不是; 对于B,,则,解得,B是;对于C,,则,无解,C不是;对于D,,则,无解,D不是.故选:B3.已知向量,,且,则的值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用向量垂直的坐标表示可直接构造方程求解.【详解】,,则.故选:C.4.现有一个底面半径为4cm,高为6cm的圆柱形铁块,将其磨制成一个球体零件,则该球体零件的最大体积是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】因为底面直径大于高,所以该球体零件的最大半径为,由体积公式求解即可.【详解】因为底面直径大于高,所以该球体零件的最大半径为,即最大体积为.故选:B5.已知函数.给出下列结论:①的最小正周期为;②不是的最大值;③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度,可得到函数的图象; ④直线是函数图象的一条对称轴.其中所有正确结论的序号是()A.③④B.②④C.②③D.①②④【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的周期性、对称性、平移变换即可得出答案.【详解】对于①,的最小正周期为,故①不正确;对于②,,所以②正确;对于③,把函数的图象上所有点向左平移个单位长度得到,所以③不正确;对于④,令,得,当时,,即直线是函数图象的一条对称轴,所以④正确.故选:B.6.如图,在等边中,,点P为边BC上的一动点,则的最小值为()A0B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设,根据向量的线性运算以及数量积的定义和运算律,即可求得答案.【详解】由题意在等边中,,设,则 ,当时,取到最小值,故选:B7.如图,一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为,一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发,绕圆锥爬行一周后回到点处,若该小虫爬行的最短路程为,则这个圆锥的体积为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】作出圆锥侧面展开图,根据最短路程和母线长,利用余弦定理可求得侧面展开图扇形的圆心角,结合扇形弧长公式和勾股定理可求得圆锥底面半径和高,代入圆锥体积公式即可.【详解】设圆锥的顶点为,以母线为轴可作出圆锥侧面展开图如下图所示,小虫爬行的最短路程为,,又,,,设圆锥底面半径为,高为,则,解得:,,圆锥体积.故选:A.8.函数和函数的图象相交于两点,为坐标原点,则的面积为() A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据已知条件及同角三角函数的关系,再利用一元二次方法的解法及中点坐标公式,结合三角形的面积公式即可求解.【详解】由可得即,即,解得或(舍),因为,所以.所以,所以线段的中点的坐标为,所以.故选:A.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.在中,,则的面积可以是()A.B.1C.D.【答案】AD【解析】【分析】由余弦定理求出,再根据三角形的面积公式即可求出答案.【详解】解:∵,由余弦定理得,∴,∴,或,∴由的面积公式得或, 故选:AD.【点睛】本题主要考查三角形的面积公式的应用,考查余弦定理解三角形,属于基础题.10.已知向量,,,则下列结论正确的有()A.B.若,则C.的最大值为2D.的最大值为3【答案】AC【解析】【分析】先利用平面向量的基本运算得到三角关系,再利用三角函数运算逐一判断即可.【详解】对于,,正确;对于,若,则,,错误;对于,,,,所以当时最大值为2,正确;对于,因为,所以,则,即,错误.故选:AC.【点睛】本题考查了平面向量基本运算和三角函数的性质,属于中档题.11.已知a,b是两条不重合的直线,、是两个不重合的平面,则下列说法中正确的是()A.若,,则与一定相交B.若,,则C.若,,则直线a平行于平面内的无数条直线D.若,,,则a与b是异面直线【答案】BC 【解析】【分析】根据空间直线和平面平行的判定和性质即可逐项判断.详解】对于A,若,,则或a与相交,A错误;对于B,若,,由面面平行的性质可得:存在使得,由线面平行的判定可得,B正确;对于C,若,,则因为在α内存在无数条直线和b平行,故直线a平行于平面内的无数条直线,故C正确.对于D,若,,,则ab或a与b是异面直线,故D错误;故选:BC.12.如图,一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈,筒车的轴心O距离水面的高度为2.5m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位:m)(在水面下时,d为负数),若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间,d与时间t(单位:s)之间的关系为,则()AB.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据实际含义分别求的值即可,再根据可求得,进而判断各个选项即可.【详解】振幅A即为半径,∴;∵筒车按逆时针方向每分钟转2圈,∴;;∵,d=0,∴, ∴,∵,∴.故选:ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13.已知角终边经过点,且,则的值为_________.【答案】##【解析】【分析】根据终边所过点和任意角三角函数定义直接求解即可.【详解】,,.故答案为:.14.已知,,则__________.【答案】【解析】【分析】求出,由求解即可.【详解】因为,所以,即.故答案为:15.如图,从地面上C,D两点望山顶A,测得它们的仰角分别为和,已知米,点C位于线段BD上,则山高________米. 【答案】【解析】【分析】在和中用AB表示出BD,BC,再列式经计算即可得解.【详解】依题意,,,在中,,在中,,而,则,,所以山高等于米.故答案为:.16.已知A1、A2、A3、A4、A5五个点,满足=0(n=1,2,3),,则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】设,根据已知条件求得的表达式,并利用基本不等式求得的最小值,进而求得的最小值.详解】设,则,设,如图,则:,所以,当且仅当,即时等号成立, 所以的最小值为.故答案为:四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(1)已知,,求的值;(2)已知,求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)因为,所以,再由同角三角函数的基本关系结合二倍角公式可求出答案;(2)由诱导公式可将所求表达式化简为,即可得出答案.【详解】(1)因为,所以,因为,所以,所以.(2). 18.已知平行四边形ABCD中,,,.(1)用,表示;(2)若,,,如图建立直角坐标系,求和的坐标.【答案】(1)(2),【解析】【分析】(1)根据向量的加法及数乘运算求解;(2)建立平面直角坐标系,利用坐标运算求解即可.【小问1详解】,,又,所以所以【小问2详解】过点D作AB的垂线交AB于点,如图,于是在中,由可知,根据题意得各点坐标:,,,,,, 所以所以,,,19.已知直四棱柱的所有棱长均为2,且.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).【解析】【分析】(Ⅰ)由直棱柱的性质,线面平行的判定即可证面.(Ⅱ)取AC中点O,连,,由线面垂直的判定知面,则即为二面角的平面角,再由余弦定理求即可.【详解】(Ⅰ)由直四棱柱,得,面,面,∴面. (Ⅱ)取AC中点O,连,,则,,又,∴面,由二面角定义,即为二面角的平面角,由,,即.20.在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并加以解答.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若____________.(1)求角B;(2)若,求△ABC周长的最小值,并求出此时△ABC的面积.【答案】(1)(2)周长的最小值为6,此时的面积【解析】 【分析】(1)分别选三个条件,结合三角恒等变换,以及边角互化,化简后即可求解;(2)由余弦定理可得,利用基本不等式可求出的最小值,即可求出周长最小值,再利用面积公式求出面积.【小问1详解】选①,由正弦定理得,∵,∴,即,∵,∴,∴,∴.选②,∵,,由正弦定理可得,∵,∴,∵,∴.选③,∵,由已知结合正弦定理可得,∴,∴,∵,∴.【小问2详解】∵,即,∴,解得,当且仅当时取等号,∴,周长的最小值为6,此时的面积. 21.如图,四棱锥中,平面ABCD,,底面ABCD是矩形,且,.(1)求证:平面PCD;(2)求直线AC与平面APD所成的角的正弦值;【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】(1)利用平面证得,利用线面垂直的判定定理证得结论;(2)利用等体积法求得点到平面的距离为,从而求得结果;【小问1详解】证明:平面,平面,故,又,平面,故平面.【小问2详解】设点到平面的距离为,由知,因为平面,平面,所以,则,,,可得, 所以直线与平面所成的角的正弦值是.22.已知函数的图象相邻对称中心之间的距离为.(1)求函数在上的单调递增区间;(2)若函数,且在上有两个零点,求b的取值范围及的值.【答案】(1)(2),或【解析】【分析】(1)利用三角恒等变化得,由,图象相邻对称中心之间的距离为,可求得,即可得再根据正弦函数的单调性求解即可;(2)由题意可得在上有两个零点,设,则,根据正弦函数的图象及对称性即可求得答案.【小问1详解】解:因为,由题意可以得的最小正周期为,即,所以,因为,所以, 由,得到,所以在上的单增区间为;【小问2详解】解:由,可得,即,设,因为,所以,结合的图象,又因为上所以,故,由正弦函数的对称性可得或,当时,则有,所以;当时,则有,; 综上所述:;或.
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所属:
高中 - 数学
发布时间:2023-05-21 11:48:03
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文章作者:随遇而安
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