浙江省杭州市临安中学2022-2023学年高一数学上学期期中试卷（Word版有解析）

2022级高一上学期数学期中考试模拟卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据集合的交集运算即可解出．【详解】因为，，所以．故选：A.2.命题“存在实数x,，使x>1”的否定是（）A.对任意实数x,都有x>1B.不存在实数x，使x1C.对任意实数x,都有x1D.存在实数x，使x1【答案】C【解析】【详解】解：特称命题的否定是全称命题，否定结论的同时需要改变量词．∵命题“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”故选C．3.若，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】 本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.4.若函数为幂函数，且在单调递减，则实数m的值为（）A.0B.1或2C.1D.2【答案】C【解析】【分析】根据函数为幂函数列式，结合单调性求得的值．【详解】由于函数为幂函数，所以，解得或，时，，上递减，符合题意，时，，在上递增，不符合题意．故选：C5.若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】函数分别是上的奇函数、偶函数,， 由，得，，，解方程组得，代入计算比较大小可得.考点：函数奇偶性及函数求解析式6.设则的大小关系是A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】由在区间是单调减函数可知，，又，故选.考点：1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.7.近几个月某地区的口罩的月消耗量逐月增加，若第1月的口罩月消耗量增长率为，第2月的口罩月消耗量增长率为，这两个月口罩月消耗量的月平均增长率为，则以下关系正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出的关系，再根据基本不等式判断．【详解】由题意，， 时，，，时，，，，因此，综上，．故选：D．8.设，，下列命题汇总正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】B【解析】【详解】∵时，，∴若，则，故B正确，A错误；对于，若成立，则必有，故必有，即有，而不是排除C，也不是，排除D，故选B.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知a，b，c满足，且，则下列选项中一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】由已知条件得出，且的符号不确定，利用不等式的性质以及特殊值法可判断各选项中不等式的正误.【详解】且，，且的符号不确定.对于A，，，由不等式的基本性质可得，故A一定能成立； 对于B，，，，，即，故B一定能成立；对于C，取，则，若，有，故C不一定成立；对于D，，，，故D一定能成立.故选：ABD10.设正实数a，b满足，则（）A.有最小值4B.有最小值C.有最大值D.有最小值【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式结合条件逐项分析即得.【详解】选项A：，当且仅当时取等号，故A正确；选项B：，当且仅当时取等号，所以有最大值，故B错误；选项C：，所以，当且仅当时取等号，故C正确；选项D：由，化简得，，当且仅当时取等号，故D正确.故选：ACD.11.某打车平台欲对收费标准进行改革，现制订了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用y（单位：元）与打车里程x（单位：km）函数关系大致如图所示，则（） A.当打车里程为8km时，乘客选择甲方案更省钱B.当打车里程为10km时，乘客选择甲、乙方案均可C.打车里程在3km以上时，每千米增加的费用甲方案比乙方案多D.甲方案3km内（含3km）付费5元，打车里程大于3km时每增加1km费用增加0.7元【答案】ABC【解析】【分析】根据图象一一判断即可.【详解】解：对于A，当3＜x＜10时，甲对应的函数值小于乙对应的函数值，故当打车里程为8km时，乘客选择甲方案更省钱，故A正确；对于B，当打车里程为10km时，甲、乙方案的费用均为12元，故乘客选择甲、乙方案均可，故B正确；对于C，打车3km以上时，甲方案每千米增加的费用为（元），乙方案每千米增加的费用为（元），故每千米增加的费用甲方案比乙方案多，故C正确；对于D，由图可知，甲方案3km内（含3km）付费5元，3km以上时，甲方案每千米增加的费用为1（元），故D错误.故选:ABC.12.某同学在研究函数时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（）A.函数的定义域是B.函数的值域为C.函数在上单调递增D.方程有实根 【答案】ABD【解析】【分析】由解析式确定定义域，利用奇偶性、单调性定义判断的性质，进而判断各选项的正误.【详解】由且知：定义域，，即为偶函数，当时，令，则，所以上递增，又∵,，当趋近于时，f(x)趋近于，∴函数的值域为由偶函数的对称性知在上递减，根据对称性其值域为，综上，在R上的值域为，故A、B正确，C错误；由上分析知与有交点，即有实根，D正确.故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数f(x)=的定义域为____________【答案】(−3，0]【解析】【分析】解不等式组可得． 【详解】要使函数式有意义，需，则函数的定义域为(−3，0].故答案为：(−3，0].【点睛】本题考查求函数的定义域，掌握定义域的定义是解题关键．本题属于基础题．14.设函数，若，则_______．【答案】##0.5【解析】【分析】利用分段函数得到，然后分和两种情况进行分类讨论即可求解【详解】因为，所以，当即时，，解得，舍去；当即时，，解得，故答案为：15.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300的内接矩形花园（阴影部分），则其一边长x（单位m）的取值范围是___________.【答案】[10，30]【解析】【分析】设矩形的另一边长为，由三角形相似得出x，y的关系，再根据矩形的面积公式建 立不等式，解之可求得答案.【详解】解：设矩形的另一边长为，由三角形相似得且，所以，又矩形的面积，所以，解得，所以其一边长x（单位m）的取值范围是[10，30].故答案为：[10，30].16.已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则_____________【答案】1【解析】【详解】显然函数的最大值只能在或时取到，若在时取到，则，得或，时，；，时，（舍去）；若在时取到，则，得或，时，；，时，（舍去）所以四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：（1）；（2）已知：，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用根式和指数幂运算求解； （2）由，平方得到，再平方得到，代入求解.【详解】（1），.（2）由，平方得，即，平方得，即，所以原式=．18.设函数定义域为集合,函数的值域为集合.(1)求集合,；(2)若全集,集合,满足,求实数的取值范围.【答案】(1),；(2).【解析】【分析】(1)根据被开方数为非负数,解不等式可求出集合,利用指数函数的单调性可以求出集合；(2)根据集合交集运算的性质可得之间的关系,利用数轴求出实数的取值范围.【详解】(1)由,所以.当,所以；(2)因为,所以,又因为,所以,因此有：.【点睛】本题考查了函数的定义域和值域,考查了集合的补集运算,考查了根据集合的运算结果求参数取值范围. 19.喷绘机工作时相当于一条直线（喷嘴）连续扫过一张画布．一家广告公司在一个等腰梯形OABC的画布上使用喷绘机打印广告，画布的底角为45°，上底长2米，下底长4米，如图所示，记梯形OABC位于直线左侧的图形的面积为．（1）求函数的解析式；（2）定义“”为“平均喷绘率”，求的峰值（即最大值）．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定的图形，按，，分别求出即可作答.（2）由（1）求出函数的解析式，再分段求出最大值并比较作答.【小问1详解】依题意，函数的定义域，梯形OABC的高为1，当时，，当时，，当时，， 所以函数的解析式是．【小问2详解】由（1）知，，当时，函数递增，，当时，函数递增，，当时，，当且仅当时取等号，此时，因为，，则，所以的峰值为．20.已知是定义在上的奇函数，当时，．（1）求在上的解析式；（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用为奇函数得到，设，利用奇函数的运算即可得到答案； （2）题意可整理得在上有解，令，求其最小值即可求解【小问1详解】因为是定义在上的奇函数，时，，所以，解得，所以时，，当时，，所以，又，所以，所以在上的解析式为；【小问2详解】由（1）知，时，，所以可整理得，令，根据指数函数单调性可得，为减函数，因存在，使得不等式成立，等价于在上有解，所以，只需，所以实数的取值范围是21.已知（1）若，解不等式；（2）求在上的最大值．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）绝对值不等式，零点分段讨论求解；（2）把表示为分段函数，分别通过单调性找最大值点，再比较各最大值的大小.【小问1详解】时，①当时，，解得，所以，②当时，解得，所以．综合得不等式的解集为；【小问2详解】①当时，为二次函数，图像抛物线开口向上，在上，当时，；当时，．②当时，当时，当时，为一次函数，在上单调递增，；当时，为一次函数，在上单调递减， ；若，则有；而当时，有，综上所述， 22.定义在上的函数满足对任意的x，，都有，且当时，．（1）求证：函数是奇函数；（2）求证：在上是减函数；（3）若，对任意，恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）.【解析】【分析】（1）利用赋值法以及奇函数的定义进行证明.（2）根据已知条件，利用单调性的定义、作差法进行证明.（3）把恒成立问题转化为函数的最值问题进行处理，利用单调性、一次函数进行处理.【小问1详解】令，，得，所以．令，得，即，所以函数是奇函数．【小问2详解】设，则，所以．因，，，所以，即，所以．又，所以，所以，所以，即．所以在上是减函数．【小问3详解】 由（2）知函数在上是减函数，所以当时，函数的最大值为，所以对任意，恒成立等价于对任意恒成立，即对任意恒成立．设，是关于a的一次函数，，要使对任意恒成立，所以，即，解得或，所以实数t的取值范围是．