广东省 2022-2023学年高二数学下学期第一次教学质量检测试题（Word版附解析）

佛山一中2022~2023学年下学期高二级第一次教学质量检测试题数　学2023年3月本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1．答题前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。3．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。第一部分选择题（共60分）一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.在等差数列{an}中，已知a3+a4=12，则数列{an}的前6项之和为(    )A.12B.32C.36D.722.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，从“n=k”到“n=k+1”，左边需增添的代数式是（    ）A．(2k+1)+(2k+2)B．(2k-1)+(2k+1)C．(2k+2)+(2k+3)D．(2k+2)+(2k+4)3.等比数列{an}的前n项和Sn=22n+1+a，则a=(    )A.-2B.2C.-1D.-44.已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn(Sn,Tn≠0)，且(n+1)Sn=(7n+23)Tn，则a6b6的值为(    )A.657B.253C.10713D.101125.已知空间向量a=(2,0,1)，b=(-1,2,1)，c=(0,4,z)，若向量a，b，c共面，则实数z=(    )A.1B.2C.3D.46.如右图，AB是圆的切线，P是圆上的动点，设，AP扫过的圆内阴影部分的面积S是的函数.这个函数的图象可能是（  ）A．B．C．D．第9页共9页高二级下学期第一次教学质量检测试题数学 7.已知F1，F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点，P为C上一动点，A为C的左顶点，若3PF1=2PA+PF2，则C的离心率为(    )A.12B.33C.13D.228.已知数列an的各项均为正数，且a1=1，对于任意的n∈N*，均有an+1=2an+1，bn=2log2(1+an)-1.若在数列bn中去掉an的项，余下的项组成数列cn，则c1+c2+⋯+c20=(  )A.599B.569C.554D.568二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）9.以下四个命题表述正确的是(    )A.直线(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R)恒过定点(-3,-3)B.圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l:x-y+2=0的距离都等于1C.曲线C1:x2+y2+2x=0与曲线C2:x2+y2-4x-8y+m=0恰有三条公切线，则m=4D.已知圆C:x2+y2=4，点P为直线x+y-4=0上一动点，过点P向圆C引切线PA，A为切点，则PA的最小值为410.已知数列an满足a1=0，an+1=an+1,n为奇数an+2,n为偶数，则(    )A.a5=5B.当n为偶数时，an=3n2-2C.an+2=an+3D.数列(-1)n-1an的前2n+1项和为2n11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的 棱长为1，点P为侧面BCC1B1内一点，则(    )A.当C1P=λC1B(0<λ<1)时，四面体D1ACP的体积为定值B.当C1P=13C1B时，异面直线CP与AD所成角的正切值为12C.当点P到平面ABCD的距离等于到直线A1B1的距离时，点P的轨迹为抛物线的一部分D.当C1P=12C1B时，四面体BCDP的外接球的表面积为2π12.如图，△A1B1C1是边长为9 cm的等边三角形，点A2、B2、C2依次将A1B1、B1C1、C1A1分成1:2的两部分，得到△A2B2C2，依循相同的规律A3、B3、C3依次将A2B2、B2C2、C2A2分成1:2的两部分，得到△A3B3C3，不断重复这个步骤，得到三角形△A4B4C4，…，△AnBnCn，….若△AnBnCn的面积记为an，△AnAn+1Cn+1的面积记为bn，现给出下列四个结论，其中正确的有：A.数列{an}是公比为33的等比数列B.数列bnan第9页共9页高二级下学期第一次教学质量检测试题数学 为常数列C.数列{bn}的前n项Sn<13a1D.一只蚂蚁从A 1出发，沿着路径A 1A 2A 3A 4…An…爬行，则该蚂蚁所爬行的总距离小于152cm．第二部分非选择题（90分）三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4，S4=6，则S6=      ．14.已知等差数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*)，公差d≠0，a1=20，a 7是a 3与a 9的等比中项，则S n的最大值为.15.已知数列an的通项公式为an=31-2n，则a1+a2+a3+⋯+an=         ．16.图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径AB=42，深度MO=2，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若P是该抛物线上一点，则点P到直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1的距离之和的最小值是          ，若以PF为直径的圆与y轴的公共点坐标为(0,62)，则点P的横坐标为          ．四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)已知数列an为等比数列，公比大于1，且a1+a4=9，a2+a3=6．(1)求an的通项公式；(2)若bn=3nlog2a2n，求数列bn的前n项和Tn．18.(本小题12.0分)已知圆C经过原点且与直线x-y-4=0相切，圆心C在直线x+y=0上.第9页共9页高二级下学期第一次教学质量检测试题数学 (1)求圆C的方程；(2)已知直线l经过点2,1，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．19.本小题分如图，在四棱锥中，已知底面ABCD是正方形，底面ABCD，且是棱PB上动点.证明：BD⊥平面PAC.线段PB上是否存在点E，使二面角的余弦值是？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.20.(本小题12.0分)已知各项为正数的数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且an2+an=2Sn(n∈N*).(Ⅰ)设bn=1an2+2n，求数列{bn}的前n项和为Tn；(Ⅱ)设cn=4n+(-1)n-1⋅λ⋅2an+1(λ为非零整数，n∈N*)，是否存在确定的λ值，使得对任意n∈N*，有cn+1>cn恒成立.若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由。21.(本小题12.0分)某企业2015年的纯利润为500万元，因为企业的设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不进行技术改造，预测从2015年开始，此后每年比上一年纯利润减少20万元.如果进行技术改造，2016年初该企业需一次性投入资金600万元，在未扣除技术改造资金的情况下，预计2016年的利润为750万元，此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元．(1)设从2016年起的第n年(以2016年为第一年)，该企业不进行技术改造的年纯利润为an万元;进行技术改造后，在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为bn万元，求an和bn;(2)设从2016年起的第n年(以2016年为第一年)，该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元，求An和Bn;(3)依上述预测，从2016年起该企业至少经过多少年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润?22.(本小题12.0分)已知F1(-2,0)，F2(2,0)，点P满足|PF1|-|PF2|=2，记点P的轨迹为E，第9页共9页高二级下学期第一次教学质量检测试题数学 (1)求轨迹E的方程；(2)若直线l过点F2，且与轨迹E交于P、Q两点．在x轴上是否存在定点M，无论直线l绕点F2怎样转动，使MP⋅MQ=0恒成立？如果存在，求出定点M；如果不存在，请说明理由．佛山一中2022~2023学年度下学期高二级第一次段考数学答案123456789101112CCABCBADBCBCDACDBCD13.714.11015. -n2+30n，1≤n≤15n2-30n+450，n≥1616.23217.【答案】解：(1)设等比数列an公比为q，由a1+a4=9，a2+a3=6，得a1+a4=a1(1+q3)=9a2+a3=a1q(1+q)=6，解得：a1=1q=2,………………………………………………4分∴an=2n-1，n∈N*．………………………………………………………………………5分(2)由(1)可得bn=3nlog2a2n=(2n-1)3n，………………………………………………………6分所以数列bn的前n项和Tn=1×3+3×32+5×33+⋯+(2n-1)×3n，3Tn=1×32+3×33+5×34+⋯+(2n-1)×3n+1，…………………………………………7分则-2Tn=3+2×32+2×33+⋯+2×3n-(2n-1)×3n+1=-3+2×(3+32+33+⋯+3n)-(2n-1)×3n+1=-3+2×3×(1-3n)1-3-(2n-1)×3n+1…………………………………………………………8分=-2(n+1)∙3n+1-6……………………………………………………………………………9分∴Tn=(n+1)∙3n+1+3……………………………………………………………………………10分18.解：(1)因为圆心C在直线x+y=0上，可设圆心为C(a,-a)，…………………………1分则点C到直线x-y-4=0的距离d=|2a-4|2，|OC|=(-a)2+a2，…………………………3分由题意，d=|OC|，则|2a-4|2=(-a)2+a2，…………………………………………………4分解得a=1，…………………………………………………………………………………………5分则所求圆的方程是(x-1)2+(y+1)2=2；……………………………………………………6分(2)当弦长为2，则圆心到直线的距离为r2-1=1，……………………………………………7分当直线斜率不存在时，直线x=2，符合题意；……………………………………………………8分第9页共9页高二级下学期第一次教学质量检测试题数学 当直线斜率存在时，设直线方程为y-1=k(x-2)，即kx-y-2k+1=0，圆心到直线的距离|2-k|k2+1=1，………………………………………………………………………9分∴k=34，…………………………………………………………………………………………10分∴直线方程为3x-4y-2=0．……………………………………………………………………11分综上所述，直线方程为x=2或3x-4y-2=0．………………………………………………12分19.解：证明：因为底面ABCD为正方形，所以BD⊥AC,…………………………1分因为PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PC⊥BD…………………………2分又因为PC⋂AC=C，PC、AC⊂平面PAC，…………………………………………………3分所以BD⊥平面PAC……………………………………………………………………………4分以C为坐标原点，CB、CD、CP分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接BD交AC于O，则，…5分设，设，，则，则，………………6分由（1）平面PAC，可知是平面PAC的一个法向量，………………7分设为平面EAC的一个法向量，则，即，取则，则，……………………………………………9分则⟨⟩，解得，………………………11分所以，故线段PB上是存在点E，当时二面角的余弦值是…12分20.【答案】解：(Ⅰ)∵an2+an=2Sn，①∴当n≥2时，an-12+an-1=2Sn-1，②………………………………………………………1分①-②得an2-an-12+an-an-1=2an,化简得(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1第9页共9页高二级下学期第一次教学质量检测试题数学 ∵an>0,∴an-an-1=1(n≥2且n∈N*)………………………………………………3分∴数列an为以1为首项，以1为公差的等差数列，∴an=1+(n-1)=n(n∈N*)；………………………………………………………………4分则bn=1an2+2n=1n2+2n=1n(n+2)=12(1n-1n+2)，………………………………………………5分∴Tn=1b1+1b2+⋅⋅⋅+1bn=12(1-13+12-14+...+1n-1n+2)=34-12(1n+1+1n+2). ……………6分(Ⅱ)∵an=n，∴cn=4n+(-1)n-1⋅λ⋅2n+1，……………………………………………7分假设存在确定的λ值，使对任意n∈N*，都有cn+1>cn恒成立，即cn+1-cn>0对任意n∈N*恒成立，即4n+1-4n+(-1)n⋅λ⋅2n+2-(-1)n-1⋅λ⋅2n+1>0对任意n∈N*恒成立，……………8分∴(-1)n-1⋅λ<2n-1对任意n∈N*恒成立．①当n为奇数时，即λ<2n-1恒成立，当且仅当n=1时，2n-1有最小值为1，∴λ<1；………9分②当n为偶数时，即λ>-2n-1恒成立，当且仅当n=2时，-2n-1有最大值-2，∴λ>-2．…10分即-2<λ<1，………………………………………………………………………………………11分又λ为非零整数，∴λ=-1．………………………………………………………………………12分综上所述：存在λ=-1，使得对任意n∈N*，都有cn+1>cn． 21.解：(1)由题意可得{an}为等差数列，且a1=480，d=-20，则an=500-20n；…………1分由题意b1=750，bn+1=12bn+250，………………………………………………………………2分所以bn+1-500=12bn-500，………………………………………………………………3分则数列bn-500是首项为250，公比为12的等比数列，所以bn-500=250·12n-1，所以bn=500(1+12n)；……………………………………………4分(2)依题意，An是数列{an}的前n项和，所以An=480n+nn-12×-20=490n-10n2；……………………………………………6分Bn是数列{bn}的前n项和减去600，所以Bn=5001+12+1+122+…+1+12n-600=500n+121-12n1-12-600=500n-5002n-100；…………………………………………………8分(3)Bn-An=(500n-5002n-100)-(490n-10n2)=10n2+10n-5002n-100=10[n(n+1)-502n-10]．…………………………………………9分因为函数y=x(x+1)-502x-10在第9页共9页高二级下学期第一次教学质量检测试题数学 0,+∞上为增函数，当1≤n≤3时，n(n+1)-502n-10≤12-508-10<0；当n≥4时，n(n+1)-502n-10≥20-5016-10>0．∴仅当n≥4时，Bn>An．………………………………………………………………………11分答：至少经过4年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润．… 12分22.解：(1)由PF1-PF2=2<F1F2知，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支．…1分且2a=2，即a=1，c=2，故b2=4-1=3，…………………………………………2分轨迹方程为x2-y23=1(x≥1)．……………………………………………………………………4分(2)若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k(x-2)，联立得y=k(x-2)x2-y23=1,得k2-3x2-4k2x+4k2+3=0，…………………………………5分设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，由条件得k2-3≠0∆=16k4-4(k2-3)(4k2+3)>0x1+x2=4k2k2-3>0x1x2=4k2+3k2-3>0……………………6分解得k2>3．设存在点M(m,0)满足条件，由MP⋅MQ=x1-mx2-m+y1y2=k2+1x1x2-2k2+mx1+x2+m2+4k2……7分=3-4m+5k2k2-3+m2=0，得31-m2+k2m2-4m-5=0……………………………8分对任意k2>3恒成立，所以1-m2=0m2-4m-5=0,解得m=-1，……………………………………9分因此存在定点M(-1,0)满足条件．…………………………………………………………………10分若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=2，联立x=2x2-y23=1,得P(2,3)，Q(2,-3)，将M(-1,0)代入MP⋅MQ=0验证，结果也成立.……………………………………11分综上所述，x轴上存在定点M(-1,0)，使MP⋅MQ=0恒成立.……………………………………12分12.【解答】解：设正三角形AnBnCn的边长为cn，在△An-1AnCn(n≥2)中，由余弦定理有cn2=23cn-12+13cn-12-2×23cn-1×13cn-1×cos60°=13cn-12，对于A，因为an=12cn2sin60°=34cn2，所以anan-1=34cn234cn-12=13，a1=8134，故an是首项为8134，公比为13的等比数列，故A不正确；对于B，在ΔAnAn+1Cn+1中，bn=SΔAnAn+1Cn+1=12×AnAn+1×AnCn+1×sin60°=318cn2，所以bnan=318cn234cn2=29，故B正确；对于C，由bn=29an，可得Sn=29a1+a2+⋯+an=29×8134×[1-13n]1-13=2734[1-13)n<2734，而13a1=2734，所以Sn<13a1第9页共9页高二级下学期第一次教学质量检测试题数学 ，故C正确；对于D，可知A1A2=3,A2A3=3,A3A4=1,⋯，即数列{AnAn+1}是首项为3，公比为33的等比数列，一只蚂蚊从A1出发，沿着路径A1A2A3A4⋯An⋯爬行的总距离为3[1-(33)n]1-33，而3[1-(33)n]1-33=9+332-9+332×(33)n<9+332<9+62=152，故D正确．第9页共9页高二级下学期第一次教学质量检测试题数学