浙江省杭州地区(含周边)重点中学2022-2023学年高一数学下学期期中考试试题（Word版附解析）

2022学年第二学期期中杭州地区（含周边）重点中学高一年级数学试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷密封区内填写班级､考试号和姓名；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效4.考试结束后，只需上交答题卷.第Ⅰ卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，且，则等于（）A.B.2C.D.【答案】A【解析】【分析】根据向量平行的坐标运算求解.【详解】，且，，即，故选：A2.设复数（为虚数单位），则的模等于（）A.B.5C.D.10【答案】C【解析】【分析】先计算，再根据模长公式即可求解.【详解】因为，所以，所以.故选：C3.已知中，，则等于（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】根据三边的比令，，，，进而可知，根据勾股定理逆定理推断出，进而根据推断出，进而求得，则三个角的比可求．【详解】解：依题意令，，，，，所以为直角三角形且，又，且，，，故选：A．4.直径为的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为的小球，如果不计损耗，可铸成这样的小球的个数为（）A.3B.6C.9D.27【答案】D【解析】【分析】求出小球的体积，求出大球的体积，然后求出小球的个数.【详解】小球的体积为：，大球的体积为：，所以可铸成这样的小球的个数为：，故选：D5.如图，梯形是一水平放置的平面图形在斜二测画法下的直观图.若平行于轴，，则平面图形的面积是（）A.14B.7C.D. 【答案】B【解析】【分析】根据直观图画法的规则，确定原平面图形四边形ABCD的形状，求出底边边长以及高，然后求出面积．【详解】根据直观图画法的规则，直观图中平行于轴，，可知原图中，从而得出AD⊥DC，且，直观图中，，可知原图中，，即四边形ABCD上底和下底边长分别为3，4，高为2，如图，故其面积.故选：B6.设，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用对数函数、指数函数的单调性确定的范围，进而比较大小可得答案.【详解】因为在上单调递增，所以，即；因为在上单调递增，所以，因为在上单调递减，所以，所以.故选：D． 7.如图，正方体的棱长为为的中点，为的中点，过点的平面截正方体所得的截面的面积（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】如图，过点的平面截正方体所得的截面为五边形，求得，再结合等腰三角形的面积，结合相似即可求得截面的面积.【详解】如图，延长交于点，延长交于点，连接交于点，连接交于点，连接.则过点的平面截正方体所得的截面为五边形.因为为的中点，为的中点，所以，所以，在中，，在中，， 同理可得.令上的高为，所以，所以.因为，所以，所以，同理可得，故截面的面积.故选：B【点睛】方法点睛：作截面的三种方法:①直接法:截面的定点在几何体的棱上；②平行线法:截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；③延长交线得交点:截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.8.已知非零向量，满足，，且，则的最小值为（）A.B.3C.D.1【答案】A【解析】【分析】设，则，取的中点，由可得，进而得到.要使最小，也最小，由图可知、、三点共线时满足，设，则，，，由余弦定理得 ，则由可得，进而求解.【详解】设，则，取的中点，由，即，即，即,即，所以，而，即，所以要使最小，也最小，显然，此时、、三点共线，设，则，，，因为，所以由余弦定理得，即，即，由，即，所以，所以的最小值为.故选：A. 【点睛】关键点睛：本题关键在于转化为，进而转化为进而求解.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列说法中，正确有（）A.复数满足；B.“为钝角”是“复数在复平面内对应的点在第二象限”的充要条件；C.已知复数“的虚部相等”是“”的必要条件D.在复数范围内，若是关于的实系数方程的一根，则该方程的另一根是【答案】AC【解析】【分析】对于A：根据复数乘法与模长的计算公式可证明是正确的；对于B：复数在复平面内对应的点在第二象限的充要条件为第二象限角；对于C：根据复数相等的概念判断；对于D：复数范围内，关于的实系数方程的两虚数根一定是互为共轭复数.【详解】对于A：设，则，则；，所以，故A正确；对于B：复数在复平面内对应的点在第二象限的充要条件，即 为第二象限角，故B错误；对于C：的充要条件是实部相等且虚部相等，故“的虚部相等”是“”的必要条件，故C正确；对于D：复数范围内，关于的实系数方程的两虚数根一定是互为共轭复数，故另一个为，故D错误；故选：AC10.已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的是（）A.若，则一定是钝角三角形B.若，则一定是锐角三角形C.若，则一定是等腰三角形D.若，则一定是等边三角形【答案】CD【解析】【分析】对于A，举例即可判断；对于B，由余弦定理可得，可得为锐角，进而判断；对于C，由正弦定理得，，进而得到，进而判断；对于D，由正弦定理得，进而得到，进而判断.【详解】对于A，当时，，此时是等边三角形，故A错误；对于B，由，得所以，所以，即为锐角，角、无法确定大小，故B错误；对于C，，由正弦定理得，，即，即，所以，所以是等腰三角形，故C正确；对于D，，由正弦定理得， 即，所以，即是等边三角形，故D正确.故选：CD.11.已知三棱锥中，，分别是的中点，是棱上（除端点外）的动点，下列选项正确的是（）A.直线与是异面直线；B.当时，三棱锥体积为；C.的最小值为；D.三棱锥外接球的表面积.【答案】ACD【解析】【分析】根据异面直线判定定理可判断A，由于三棱锥对边相等可放入长方体中，借助长方体可判断BD，再由棱锥两个侧面展开到同一个平面上，利用两点间连线最短判断C.【详解】对A，是平面内直线BA外一点，是平面外一点，两点连线与是异面直线，故A正确；对B，将三棱锥放入长方体中，如图，因为，所以，所以，设长方体的长、宽、高分别为， 则，即，解得，显然三棱锥体积等于长方体体积减去长方体角上4个相同的三棱锥的体积，，所以，故B错误；对D，因为三棱锥外接球即为长方体的外接球，所以外接球半径，所以外接球的表面积，故D正确；对C，将三棱锥侧面展开在一个平面上，连接，交于,如图，由余弦定理，，,所以，,所以，在中，,所以，即当P点运动到M点时，的最小值为，故C正确.故选：ACD12.已知函数满足：则下列判断正确的是（）A.为奇函数B.是周期函数且最小正周期为6 C.D.的图象关于直线对称【答案】BD【解析】【分析】根据赋值法可得判断A，令可得，变换后根据判断B，分别求出，利用周期求判断C，根据函数为偶函数及周期函数判断D.【详解】令，则，即，故不是奇函数，故A错误；令，则有，所以，，即，故，两式相减可得，故是周期函数且最小正周期为6，故B正确；，，，即，由，可得，再由，可得，而，故C错误；令，则，又，所以，即函数为偶函数，由可得，又函数为偶函数，所以，即，所以函数图象关于直线对称，故D正确.故选：BD【点睛】关键点点睛：首先根据，灵活的对赋值，是解决此类问题的关键，其次注意函数周期性的定义，函数图象对称关于对称的条件都是解决此问题的关键.第II卷三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若向量，则在上的投影向量坐标为__________. 【答案】【解析】分析】根据投影向量坐标公式即可求解.【详解】向量，在上的投影向量的坐标为：故答案为：14.已知集合，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】先化简两个集合，再根据题意可转化为集合B是集合A的真子集，从而可求解.【详解】集合，，又“”是“”的必要不充分条件，，解得，实数的取值范围为:.故答案为：.15.在中，点在边上，，若边上的高与边上的高之比为，则__________.【答案】 【解析】【分析】设边上高为，边上的高为，设，结合，可得，，在中，由余弦定理可得，进而得到，.在中，再由余弦定理即可求解.【详解】设边上的高为，边上的高为，设，因为，所以在中，，又边上的高与边上的高之比为，所以，即，所以在中，，又，所以，在中，由余弦定理得，即，解得，所以，，在中，由余弦定理得，即，解得，即.故答案为：. 16.已知则的最大值为__________.【答案】4【解析】【分析】由条件消元转化为关于的式子，变形后原式可得，令换元后根据二次函数求最值.【详解】由可得，故，，令，则由知，当时，即时，，即的最大值为4.故答案为：4四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知复数满足.（1）求；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用复数的除法运算求出即可；（2）求出的值并计算的值. 【小问1详解】因为，所以，所以，所以.【小问2详解】18.正三棱台中，.（1）求三棱台的表面积；（2）分别是的中点，为上一点，且，几何体的体积记为，几何体的体积记为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正棱台的性质和棱台的表面积公式即可得出答案；（2）将几何体的体积记为看成台体和三棱锥的体积，求出，几何体的体积记为看成台体和减去，相比即可得出答案.【小问1详解】因为正三棱台中，. 所以，，过点作交于点，正三棱台的三个侧面为全等的等腰梯形，且，所以三棱台的表面积为：.【小问2详解】取的中点，连接，则，取的中心且共线，连接且O2为其中点，由正棱台的性质知，平面，连接，过作交于点，则，同理，所以，所以，点到平面的距离为，，三棱台的体积为：三棱台的体积为：， 而，所以几何体的体积记为，几何体的体积记为，故19.如图所示，有两个兴趣小组同时测量一个小区内的假山高度，已知该小区每层楼高4.（1）兴趣小组1借助测角仪进行测量，在假山水平面C点测得B点的仰角为15°，在六楼A点处测得B点的俯角为45°，求假山的高度（精确到0.1）；（2）兴趣小组2借助测距仪进行测量，可测得AB=22，BC=16，求假山的高度（精确到0.1）.附：.【答案】（1）4.2m（2）4.3m【解析】【分析】（1）令假山的高度为.根据正弦定理求得，再根据即可求解；（2）根据余弦定理求得，则，再根据即可求解.【小问1详解】 令假山的高度为.由题意可知，，则，根据正弦定理可得，，即，所以，而，所以故假山的高度大约为4.2m.小问2详解】根据余弦定理，可得，则，所以故假山的高度大约为4.3m.20.已知函数的部分图象如图所示，其中，且， （1）求函数的解析式；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据推出图象关于直线对称，从而得到周期，求得，进而可求得；（2）先化简，再利用弦化切即可求解.【小问1详解】因为，所以图象关于直线对称，所以，所以，即根据五点作图法可得，，所以，又，所以，所以【小问2详解】 ，故的值为.21.在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：记的内角的对边分别为，且__________.（1）证明：；（2）若，求的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）选①：由正弦定理化为得；选②：由条件知化为得；（2）由得，求出的范围，由条件结合正弦定理得化为的函数求范围【小问1详解】选①：，由正弦定理得，，，，，或，若，则，不成立，.选②： ，，，，，，，，或舍去，.【小问2详解】，，，，,,由正弦定理得22.已知函数，（1）当时.解不等式；（2）记表示实数中的较大者.任意的，是否有恒成立？若是，请证明：否则，请说明理由. 【答案】（1）或；（2）恒成立，证明见解析.【解析】【分析】（1）将代入得，再直接解不等式即可；（2）根据的范围以及最大值含义进行合理放缩，再构造出关于的函数，求出其最值即可.【小问1详解】当时,由题意可知:,所以，解得或，所以不等式的解集为,或.【小问2详解】因为，则，则由最大值的定义可知，而令，则，所以成立.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键在于根据，结合最大值含义进行放缩得，然后再代入化简，利用二次函数的图象与性质，两次求取最值即可.