浙江省宁波市2022-2023学年高三数学下学期4月二模试题（Word版附答案）

宁波市2022学年第二学期高考模拟考试高三数学试卷说明：本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合，则（）A．B．C．D．2．设i为虚数单位，若复数z满足，则z的虚部为（）A．B．C．1D．23．设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（）A．B．C．D．4．己知非零向量满足，则（）A．B．C．D．5．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中积水的深度恰好是盆深的一半，则平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积）（）A．寸B．2寸C．寸D．3寸6．已知函数的图象关于直线对称，且在上没有最小值，则的值为（）A．2B．4C．6D．107．设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，P，Q在 椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8．己知函数，则的零点个数为（）A．2023B．2025C．2027D．2029二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．根据某地3月5日到3月15日的每天最高气温与最低气温数据（单位：）绘制如下折线图，那么下列叙述正确的是（）A．5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关B．9号的最高气温与最低气温的差值最大C．最高气温的众数为D．5号到15号的最低气温的极差比最高气温的极差大10．己知函数与及其导函数与的定义域均为，是偶函数，的图象关于点对称，则（）A．B．C．D．11．已知平面于点O，A，B是平面上的两个动点，且，则（）A．SA与SB所成的角可能为B．SA与OB所成的角可能为C．SO与平面SAB所成的角可能为D．平面SOB与平面SAB的夹角可能为12．三支不同的曲线交抛物线于点 ，F为抛物线的焦点，记的面积为，下列说法正确的是（）A．为定值B．C．若，则D．若，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则__________．14．写出一个半径为1，且与圆和圆均外切的圆的方程__________．15．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈“1→4→2→1”．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．猜想的递推关系如下：已知数列满足（m为正整数），若，则m所有可能取值的集合为___________．16．正四面体ABCD的棱长为3，P在棱AB上，且满足，记四面体ABCD的内切球为球，四面体PBCD的外接球为球，则_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（I）若，求；（Ⅱ）若的最大角为最小角的2倍，求a的值．18．（12分）盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性．某品牌推出2款盲盒套餐，A款盲盒套餐包含4款不同单品，且必包含隐藏款X；B款盲盒套餐包含2款不同单品，有的可能性出现隐藏款X．为避免盲目购买与黄牛囤积，每人每天只能购买1件盲盒套餐．开售第二日，销售门店对80名购买了套餐的消费者进行了问卷调查，得到如下列联表：A款盲盒套餐B款盲盒套餐合计年龄低于30岁183048年龄不低于30岁221032合计404080（I）根据列联表，判断是否有的把握认为A，B款盲盒套餐的选择与年龄有关；（Ⅱ）甲、乙、丙三人每人购买1件B款盲盒套餐，记随机变量为其中隐藏款X的个数，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）某消费者在开售首日与次日分别购买了A款盲盒套餐与B款盲盒套餐各1件，并将6件单品全部打乱放在一起，从中随机抽取1件打开后发现为隐藏款X，求该隐藏款来自于B款盲盒套餐的概率． 附：，其中，P（）0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.6350.82819．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，平面平面ABCD．（I）求证：平面ABCD；（Ⅱ）设，，，平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为，求BC的长．20．（12分）己知等比数列的前n项和满足．（I）求首项的值及的通项公式；（Ⅱ）设，求满足的最大正整数n的值．21．（12分）已知双曲线，点与双曲线上的点的距离的最小值为．（I）求双曲线E的方程；（Ⅱ）直线与圆相切，且交双曲线E的左、右支于A，B两点，交渐近线于点M，N．记，的面积分别为，当时，求直线l的方．22．（12分）已知函数．（I）讨论函数的单调性：（Ⅱ）若是方程的两不等实根，求证：（i）；（ii）． 参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B2．D3．C4．D5．C6．A7．B8．C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．AC10．ABC11．AC12．AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．214．或（填一个即可）15．16．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（I）当时，，在中，由余弦定理，得，2分所以．4分（Ⅱ）由已知，最大角为角A，最小角为角C，即，由正弦定理得，即，6分又，所以，8分将，代入上式得，9分解得．10分18．（I）零假设为：：A，B款盲盒套餐的选择与年龄之间无关联．根据列联表中的数据，经计算得，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即有的把握认为A，B款盲盒套餐的选择与年龄有关．4分（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，3， ，所以的分布列为：0123P（或）．8分（Ⅲ）设事件A：随机抽取1件打开后发现为隐藏款X，设事件：随机抽取的1件单品来自于A款盲盒套餐，设事件：随机抽取的1件单品来自于B款盲盒套餐，，故由条件概率公式可得．10分19．（I）如图，在平面ABCD中取一点E，并过点E作直线，因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，所以平面PAD，因为平面PAD，所以；同理，过点E作直线，因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，所以平面PAB，因为平面PAB，所以；因为，平面ABCD，所以平面ABCD．5分（Ⅱ）由（I）及，如图， 以A为原点，AD，AB，AP方向分别为x轴，y轴，z轴正向，建立空间直角坐标系，设，则，所以，7分设平面PBC的法向量为，由得，设平面PCD的法向量为，由得，10分由题知，即，解得，所以BC的长为．12分20．（I）解法1：当时，，则，即，因为数列是等比数列，所以公比为2，2分当时，，即，所以，且满足题意，4分所以的通项公式为．5分解法2：由题知，，即，由①代入②，得，解得或．（舍去）， 所以的通项公式为．5分（Ⅱ）由（I）得，所以，所以，8分由得，即，令，则，所以在时单调递增，且，10分而，所以满足条件的最大正整数．12分21．（I）设是双曲线上的任意一点，则，2分所以当时，的最小值为，所以，得，所以双曲线E的方程为．4分（Ⅱ）由直线与圆相切得，由直线交双曲线的左、右支于A，B两点，设，得，可得6分（注：解得扣1分），点到AB的距离，故，8分设，联立方程组，， 点O到MN的距离，故，10分当时，，整理得，即（舍去），所以，所以直线方程为．12分22．（I），当时，在上单调递增；2分当时，由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减．4分（Ⅱ）因为是方程的两不等实根，即是方程的两不等实根，令，则，即是方程的两不等实根，令，则，所以在上递增，在上递减，，当时，，当时，且，所以，即，令．（i）要证，只需证，解法1：记，则，令，则， 所以在上递增，，所以，所以，所以，所以，即，所以得证．8分解法2：先证，令，只需证，只需证：，令，，所以在上单调递减，所以，得证．因为，所以，所以，即，所以，得证．8分解法3：由，设，所以，即，构造函数，所以在上单调递增，所以，得证．8分（ii）要证：，只需证：，只需证：，只需证：，只需证：，令得即①令得即②①+②得，即，所以命题得证．12分