北京市东城区2022-2023学年高三数学下学期综合练习（一）试题（Word版附答案）

北京市东城区2022-2023学年度第二学期高三综合练习（一）数学2023.3本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，且，则可以为（A）（B）（C）（D）（2）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（A）（B）（C）（D）（3）抛物线的准线方程为（A）（B）（C）（D）（4）已知，则的最小值为（A）（B）（C）（D）（5）在△中，，，，则（A）（B）（C）（D）（6）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的 （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（A）（B）（C）（D）（8）已知正方形的边长为2，为正方形内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）（9）已知，，，，成等比数列，且1和4为其中的两项，则的最小值为（A）（B）（C）（D）（10）恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就．其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数的70次方是一个83位数，由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得的值为（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）函数的定义域是_______．（12）在的展开式中，的系数为，则实数=_______．（13）已知双曲线的一个焦点为，且与直线没有公共点，则双曲线的方程可以为_______．（14）已知数列各项均为正数，，为其前项和.若是公差为的等差数列，则_______，.（15）已知函数的部分图象如图1所示，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于点,点为该部分图象与轴的交点.将绘有该图象的纸片沿轴折成直二面角，如图2所示，此时，则.给出下列四个结论：①；②图2中，；③图2中，过线段的中点且与垂直的平面与轴交于点；④图2中，是△及其内部的点构成的集合.设集合，则表示的区域的面积大于.其中所有正确结论的序号是.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）已知函数 （Ⅰ）求的最小正周期;（Ⅱ）若是函数的一个零点，求的最小值. （17）（本小题13分）甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了7次测试．每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀，两位同学的测试成绩如下表：次数学生第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次甲807882869593乙76818085899694（Ⅰ）从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率；（Ⅱ）从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设表示这4次测试成绩达到优秀的次数，求的分布列及数学期望；（Ⅲ）从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设表示这3次测试成绩达到优秀的次数，试判断数学期望与（Ⅱ）中的大小．（结论不要求证明）（18）（本小题15分）如图，在长方体中，，和交于点，为的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求（i）平面与平面的夹角的余弦值；（ii）点到平面的距离.条件①：；条件②：与平面所成角为.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．（19）（本小题15分）已知函数.（Ⅰ）当时，求的单调递增区间；（Ⅱ）设直线为曲线的切线，当时，记直线的斜率的最小值为，求的最小值；（Ⅲ）当时，设，，求证：⫋. （20）（本小题14分）已知椭圆的一个顶点为，离心率．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与轴交于点．设椭圆的左顶点为，求的值.（21）（本小题15分）已知数表中的项互不相同，且满足下列条件：①；②.则称这样的数表具有性质.（Ⅰ）若数表具有性质，且，写出所有满足条件的数表，并求出的值；（Ⅱ）对于具有性质的数表，当取最大值时，求证：存在正整数，使得；（Ⅲ）对于具有性质的数表，当n为偶数时，求的最大值.-北京市东城区2022—2023学年度第二学期高三综合练习（一）数学参考答案及评分标准2023.3一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B（2）A（3）D（4）B（5）C（6）B（7）A（8）D（9）B（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）（12） （13）(答案不唯一)（14）（15）②③三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）因为===所以的最小正周期为………………6分（Ⅱ）由题设，，由是该函数零点可知，，即.故或，解得或.因为，所以的最小值为.………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，有13种等可能的情形，其中有4次成绩超过90分．则从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，该次成绩超过90分的概率为．…3分（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为1，2，3.； ；则随机变量的分布列为：123故随机变量的数学期望．………11分（Ⅲ）．………13分（18）（共15分）解：（Ⅰ）连接，，.因为长方体中,∥且，所以四边形为平行四边形.所以为的中点，在△中，因为，分别为和的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.………………6分（II）选条件①：.(ⅰ)连接.因为长方体中，所以. 在△中,因为为的中点，，所以.如图建立空间直角坐标系，因为长方体中,，则，，，，，，.所以，，.xyz设平面的法向量为，则即令，则，，可得.设平面的法向量为，则即令，则，，所以.设平面与平面的夹角为，则所以平面与平面的夹角的余弦值为.(ⅱ)因为，所以点到平面的距离为.………………15分选条件②：与平面所成角为. 连接.因为长方体中，平面，平面，所以.所以为直线与平面所成角，即.所以△为等腰直角三角形.因为长方体中，所以.所以.以下同选条件①.（19）（共15分）解：（Ⅰ）当时，，定义域为.，令，得，当时，，当时，，所以的单调递增区间为.………………5分（Ⅱ）令，则.当时，令，得.当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以当时，最小值为.当时，的最小值为1，所以的最小值为.………………11分（III）由（Ⅱ）知在上单调递减，在上单调递增,又，，所以，，，所以⫋.………………15分（20）（共14分）解：（Ⅰ）由题设，得解得.所以椭圆的方程为．………………5分（Ⅱ）直线的方程为．由得．由，得．设，则，．直线的方程为．令，得点的横坐标为．同理可得点的横坐标为． ．因为点坐标为，则点为线段的中点，所以．………………14分（21）（共15分）解：（Ⅰ）满足条件的数表为，所以的值分别为5，5，6.…………5分（Ⅱ）若当取最大值时，存在，使得.由数表具有性质可得为奇数，不妨设此时数表为.①若存在，使得，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质，调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在，使得.②若对任意的，都有，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质，此时转化为①的情况.综上可知，存在正整数，使得.………………10分（Ⅲ）当n为偶数时，令，对任意具有性质数表，一方面，， 因此．①另一方面，，因此.②记．由①+②得.又，可得.构造数表可知数表具有性质，且.综上可知，当n为偶数时，的最大值为.………………15分