浙江省湖州、丽水、衢州三地市2022-2023学年高三数学上学期11月一模试题（Word版附解析）

丽水、湖州、衢州2022年11月三地市高三教学质量检测数学试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2．作答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.不按以上要求作答的答案无效.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据分式不等式的解法解出集合A，根据交集的定义和运算即可求解.【详解】，又，所以.故选：A2.设复数（其中为虚数单位），是的共轭复数，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用共轭复数的定义及复数的除法法则，结合复数加法法则即可求解.【详解】,所以 所以.故选：B.3.已知点为所在平面上的一点，且，其中为实数，若点落在的内部（不含边界），则的取值范围是(　　)A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】延长交于，设()，，求出，根据平面向量基本定理得到，根据可求出.【详解】如图，延长交于，设()，，则，∴，又∵， ∴，∴，因为，所以，所以，所以.故选：D.4.已知函数（）的部分图像如图，当时，满足的的值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的部分图像求出的解析式，结合三角方程即可求解.【详解】由题意可知，,周期,所以,则，由，得，又，所以或，所以，或， 当时，，不满足题意舍去，故.由，得，由即，得，所以，解得，故选：B.5.在正三棱锥中，，分别是棱，的中点，且，设三棱锥外接球的体积和表面积分别是和．若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】如图，根据题意，利用线面垂直的判定定理和性质证明，，，将三棱锥补成以为棱的正方体，则正方体的外接球即为三棱锥的外接球，求出外接球的半径，结合球的体积和表面积公式计算即可求解.【详解】如图，取AC的中点D，连接PD、BD，则，由，得，因为三棱锥为正三棱锥，所以，而D是AC的中点，所以，又平面，所以平面，由平面，得，又， 平面，所以平面，由平面，所以，，根据正三棱锥的特点可得，故可将三棱锥补成以为棱的正方体，如图，所以正方体的外接球即为三棱锥的外接球.由，可得正方体的棱长为，所以，即正方体的外接球的半径为，即三棱锥的外接球半径为，所以外接球的体积为，表面积为.故选：C6.若函数的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求导，由导数的几何意义和直线垂直的性质，以及余弦函数进行求解.【详解】因为，所以，因为函数的图象上存在两条相互垂直的切线，不妨设函数在和切线互相垂直，则，即①，因为a一定存在，即方程①一定有解，所以，即，解得或， 又，所以或，，所以方程①变为，所以，故A，B，D错误.故选：C.7.如图，已知抛物线，过点和分别作斜率大于的两平行直线，交抛物线于，和，，连接交轴于点，则直线的斜率是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题知，进而设直线的方程为，与抛物线联立方程得，进而可得，，再求斜率即可.【详解】解：因为，，，所以，因为，所以∽，所以，即，因为过点和两平行直线斜率大于所以，直线斜率大于，故设直线的方程为， 联立方程得，所以所以，，解得所以，所以，即直线的斜率是.故选：D8.设，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意构造函数和，利用导数研究函数的单调性可得，进而，则；利用导数研究函数的单调性可得当时，即，则，进而得出结果.【详解】由，得；由，得.设函数，则，所以函数在上单调递减，故，即，所以，有，得， 所以，所以；由，可设函数，则，所以函数在单调递增，且，所以当时，，即，即，所以.综上，.故选：C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.为了增强学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素与学生对体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行普查.得到下表：性别合计男性女性喜欢280p280+p不喜欢q120120+q合计280+q120+p400+p+q附：，．0.150.100.050.0250.0100.00l2.0722.70638415.0246.63510.828已知男生喜欢该项运动的人数占男生人数的，女生喜欢该项运动的人数占女生人数的，则下列说法正确的是（） A.列联表中的值为，的值为B.随机对一名学生进行调查，此学生有的可能喜欢该项运动C.有的把握认为学生的性别与其对该项运动的喜好有关系D.没有的把握认为学生的性别与其对该项运动的喜好有关系【答案】ACD【解析】【分析】根据题意求出q、p，补全列联表，分析数据，利用卡方计算公式求出，结合独立性检验的思想依次判断选项即可.【详解】A：由题意知，男生喜欢该项运动的人数占男生人数的，女生喜欢该项运动的人数占女生人数的，则，，解得，故A正确；B：补全列联表如下：男性女性合计喜欢280180460不喜欢120120240合计400300700所以随机抽一名学生进行调查，喜欢该项运动的概率约为，故B错误；C：，而，所以有的把握认为学生的性别与其对该项运动的喜好有关系，故C正确；D：由选项C知，没有的把握认为学生的性别与其对该项运动的喜好有关系，故D正确.故选：ACD10.已知函数，，则（）A.对于任意，函数有零点B.对于任意，存在，函数恰有一个零点 C.对于任意，存在，函数恰有二个零点D.存在，函数恰有三个零点【答案】ABD【解析】【分析】A选项：将的零点个数可以转化为与图象的交点个数，根据图象即可得到当时一定有零点，当时，利用零点存在性定理判断即可；BCD选项：根据切线斜率的范围来判断直线与图象的交点情况即可.【详解】A选项：上图为的图象，由题意知，的零点个数可以转化为与图象的交点个数，当时，函数和的图象一定有交点；当，时，，当时，，，则由零点存在性定理得有零点，故A正确；B选项：当时，，当时，，所以切线的斜率都大于或等于1，当时，直线与有一个交点，即有一个零点，故B正确；C选项：由B选项得，当时，对于任意的，只有一个零点，故C错；D选项：当时，，所以在的切线方程为，所以当时，直线与有三个交点，即有三个零点，故D正确.故选：ABD.11.已知点，分别为圆：与圆：上的两个动点，点为直线：上一点，则（） A.的最大值为B.的最小值为C.的最小值为D.的最小值为【答案】AC【解析】【分析】根据题意，作出图形，当三点共线时最小，即；由知当取到最大即时最大，结合两点坐标求距离公式计算即可.【详解】由，得，所以圆心，半径为；由，得，所以圆心，半径为；设点关于直线对称的对称点为，有，解得，即，连接，交直线于点，即当三点共线时，最小，且，连接，此时最小，当取到最大时，取到最大值，如图，由图可知，， 所以的最大值为，故A正确，B错误；，故C正确，D错误.故选：AC12.定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】设函数，，利用导数可得在上单调递减，从而，即可得出答案.【详解】设函数，，则，因为恒成立，所以，所以在上单调递减，所以，即，则必有，，，，故AD正确，BC错误.故选：AD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在的展开式中，常数项为_____．【答案】【解析】【分析】根据展开式的通项公式求解即可.【详解】在的展开式的通项公式为，所以令，解得， 所以常数项为故答案为：．14.从数字中任意取出两个数字，这两个数字不是连续的自然数的概率是__．【答案】##0.6【解析】【分析】根据题意可得所有的可能结果有10种，满足条件的有6种，利用古典概型的计算公式计算即可求解.【详解】从中任意取出2个数共有种结果，数字是不连续自然数的情况有，共6种结果.所以数字是不连续自然数的概率为.故答案为：.15.已知函数（）满足，若函数与的图象的交点为（），则__．【答案】【解析】【分析】根据已知条件求出函数与的图象关于点对称，进而得两函数图象的交点成对出现，且每一对交点都关于点对称，从而得出结论.【详解】因为函数（）满足，所以（）关于点对称，因为函数的图象关于点对称，即对每一组对称点，（），有，故.故答案为：.16.设是椭圆（）的右焦点，为坐标原点，过作斜率为 的直线交椭圆于，两点（点在轴上方），过作的垂线，垂足为，且，则该椭圆的离心率是__．【答案】【解析】【分析】结合图形，利用几何性质以及椭圆定义、勾股定理、离心率公式进行求解.【详解】由题可知，，且，所以，又因为是的中点，所以是的中位线，所以，且，又直线的斜率为，所以，设，，所以，，联立解得，，由勾股定理有：，即，所以，所以.故答案为：.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在数列中，，（）．（1）求数列的通项公式；（2）求满足不等式（）成立的的最大值．【答案】（1）（2）8 【解析】【分析】（1）根据，可知数列为等差数列，从而可求数列的通项公式，即可求得数列的通项公式；（2）利用裂项相消法可求得，解不等式即可.【小问1详解】由条件得，所以数列是以为首项，公差的等差数列．故，即．【小问2详解】由（1）知，故,所以，解得，结合得，的最大值是.18.在中，内角所对的边分别为,已知．（1）求的值；（2）若的面积为，求周长的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和定理及诱导公式，结合二倍角的余弦公式及正切公式即可求解；（2）根据（1）的结论及三角形的面积公式，再利用基本不等式及余弦定理，结合三角形的 周长公式即可求解.【小问1详解】由得，，因为，解得．所以．【小问2详解】由可知，．由的面积为，得，故．所以，即．（等号成立当且仅当）又（等号成立当且仅当）所以．故周长（等号成立当且仅当）．因此周长的最小值为．19.如图，在三棱台中，三棱锥的体积为，的面积为，，且平面． （1）求点到平面的距离；（2）若，且平面平面，求二面角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据等积转化法求点到平面的距离；(2)几何法：由平面平面，可作出二面角的平面角，在直角三角形求解；空间向量法：先证明两两垂直后建系，用法向量求二面角的余弦值【小问1详解】设点到平面的距离为．因为，三棱锥的体积为，所以三棱锥的体积为，又由，得，解得.【小问2详解】 由已知设，，则，，取的中点，连接，则，由平面平面知面，故，又，从而平面.故，，取中点，则，四边形是平行四边形，，从而为正三角形，故，，又，得.在平面内作于，则，在平面内，作于，连接，因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，则二面角平面角为.在直角中，，故，.即所求二面角的余弦值为.法二：取的中点，连接，则，由平面平面知面，故，又，从而平面. 故，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，，则，，取中点，则，四边形是平行四边形，，从而为正三角形，故，，又，得，则，，，设面的法向量，由得，设面法向量，由得，故，即所求二面角的余弦值为.20.自主招生和强基计划是高校选拔录取工作改革的重要环节.自主招生是学生通过高校组织的笔试和面试之后，可以得到相应的降分政策.2020年1月，教育部决定2020年起不再组织开展高校自主招生工作，而是在部分一流大学建设高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）.下表是某高校从2018年起至2022年通过自主招生或强基计划在部分专业的招生人数：年份数学物理化学总计201847617 201958518202069520202187621202298623请根据表格回答下列问题：（1）统计表明招生总数和年份间有较强的线性关系.记为年份与的差，为当年数学、物理和化学的招生总人数，试用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并以此预测年的数学、物理和化学的招生总人数（结果四舍五入保留整数）；（2）在强基计划实施的首年，为了保证招生录取结果的公平公正，该校招生办对年强基计划录取结果进行抽检.此次抽检从这名学生中随机选取位学生进行评审.记选取到数学专业的学生人数为，求随机变量的数学期望；（3）经统计该校学生的本科学习年限占比如下：四年毕业的占，五年毕业的占，六年毕业的占.现从到年间通过上述方式被该校录取的学生中随机抽取1名，若该生是数学专业的学生，求该生恰好在年毕业的概率.附：为回归方程，，．【答案】（1），24（2）（3）【解析】【分析】（1）根据表中数据利用回归方程公式即可求解；（2）利用超几何分布模型即可求解；（3）由条件概率公式即可求解.【小问1详解】由题意，的取值集合为，的取值集合为，, 直接根据公式求得，，因此回归方程为：，当时，可得，因此预测2023年的招生总人数为人.【小问2详解】由已知，可取0,1,2,3.，，，，故.【小问3详解】因为2025年毕业，则入学年份可能为2021年，2020年，2019年,由条件概率公式可知，该生被数学系录取的条件下，其在第年入学的概率为：，故，，，由全概率公式：.21.已知点在离心率为的双曲线上，过点的直线交曲线于，两点（，均在第四象限），直线，分别交直线于，两点.（1）求双曲线的标准方程；（2）若的面积为，求直线的方程. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)讨论焦点在轴、轴上的情况，设出对应的双曲线方程，根据题意列出方程组，解之即可；(2)设直线方程为和，联立双曲线方程，利用韦达定理表示出，由直线点斜式方程求出直线AD、AE方程，解得、，利用点到直线距离公式和三角形的面积可得，解方程即可.【小问1详解】①若焦点在轴上，设双曲线方程为（）.由题意得，解得，所以双曲线的标准方程为.②若焦点在轴上，设双曲线方程为（）.由题意得，此时无解.综上所述双曲线的标准方程为.【小问2详解】设直线方程为，，联立得 ，故，又因为直线，取得，同理，由题意点A到直线距离是，所以，解得.又故，化简可得，得或，易知，故，即直线方程为.方法二：，故，又，得，故，由，得，，代入，得或，易知，故，即直线方程为.22.已知函数（）. （1）当时，求的单调区间；（2）若函数有两个不同的零点，，证明：．（其中是自然对数的底数）【答案】（1）在单调递增，在单调递减；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）通过对函数求导，利用导数来研究函数的单调性.（2）利用导数，通过构造函数，研究函数的单调性以及最值，再结合对数均值不等式、不等式放缩进行证明.【小问1详解】已知函数，定义域为，当时，，得，所以当时，，当时，，因此在单调递增，在单调递减.【小问2详解】先证明，已知函数，定义域为，所以，当时，，在单调递增，不满足题意；当，可知在单调递增，在单调递减.又当时，；当时，，若函数有两个不同的零点，，不妨设，则，即，令，则， 所以在上单调递增，又，所以由，解得，所以，因为，设，则由于单调递增，则，即，，利用对数均值不等式有，可证得.所以要证明，只要证明.设（），则，所以在单调递减，则.因此有.对数均值不等式证明如下：不妨设，要证，即证，令，即证，即，即证：，令，则，所以在上单调递增，所以，所以结论得证.