辽宁省朝阳市北票市高级中学2022-2023学年高二数学下学期3月月考试卷（Word版附解析）

高二阶段性质量检测数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，为虚数单位，，若，则复数在复平面上所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】易知，再结合复数的除法运算法则可得，根据复数的几何意义可得复数的坐标，即可得所在象限.【详解】解：由题意知，，所以，所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：．2.数列的通项公式可能为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】观察数列的特点，即可得到其通项公式.【详解】根据题意数列其中，，，，则其通项公式可以为故选:B.3.如图，四边形中，，，则（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】依据图形，结合向量的加法，减法，数乘运算的运算律利用，表示.【详解】，．故选：A.4.抛物线上一点的纵坐标为2，则点与抛物线焦点的距离为（）A.B.2C.D.3【答案】C【解析】【分析】先求出准线方程，再根据抛物线定义求解.【详解】对于抛物线，，准线方程为，点A到焦点的距离为；故选：C.5.一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，8（其中），若该组数据的中位数是众数倍，则该组数据的方差和60%分位数分别是（）A.，5B.5，5C.，6D.5，6 【答案】C【解析】【分析】先求出x的值，再根据定义分别求解.【详解】中位数，众数为4，,由题意知，解得，该组数据的平均数为，该组数据的方差是，因为，所以该组数据的60%分位数是6；故选：C.6.设函数，，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围为　　A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可知函数在上是减函数，则有，结合函数的图象可得关于的限制条件，解出即可．【详解】解：数列是单调递减数列，即有，也即，所以函数在上是减函数，故有，解得．所以实数的取值范围是．故选：C．7.天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲､乙､丙､丁､戊共5名 同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（）A.54种B.60种C.72种D.96种【答案】A【解析】【分析】甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，先排乙，可以是第二，三，四名3种情况，再排甲，也有3种情况，余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理求解即可.【详解】由题意，甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3种情况，再排甲，也有3种情况，余下3人有种情况，利用分步相乘计数原理知有种情况故选：A.【点睛】思路点睛：解决排列组合问题的一般过程：（1）认真审题弄清楚要做什么事情；（2）要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；（3）确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少元素.8.已知为上的奇函数，且，当时，，则的值为（）A.B.12C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合对数的运算法则，得到，代入即可求解.【详解】由题意，函数为上的奇函数，且，即，且当时，，又由. 故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.已知双曲线的方程为：，则下列说法正确的是（）A.焦点为B.渐近线方程为C.离心率e为D.焦点到渐近线的距离为【答案】BC【解析】【分析】根据方程求出，再由双曲线的性质以及点到直线的距离公式得出答案.【详解】由方程可知则焦点为，渐近线方程为，即离心率为，焦点到渐近线的距离为故选：BC10.已知的展开式中，的系数为56，则实数的取值可能为（）A.-1B.4C.5D.6【答案】AD【解析】【分析】利用多项式的乘法法则得到系数由三部分组成，利用二项展开式的通项公式求出各项的系数，列出方程求出的值．【详解】解：因为，所以的展开式中的系数是，故，解得或-1.故选：AD【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于中档题． 11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.B.是图象的一条对称轴C.的最小正周期为D.将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称【答案】ACD【解析】【分析】对选项A，根据两角和公式得到，即可判断A正确，对选项B，根据，即可判断B错误，对选项C，根据周期公式即可判断C正确，对选项D，根据三角函数平移公式和函数的奇偶性即可判断D正确.【详解】对选项A，，故A正确；，故B错误；对选项C，，C正确；将的图象向左平移个单位后得，定义域为，，所以为偶函数，图象关于轴对称，D正确.故选：ACD12.列昂纳多·斐波那契（LeonardoFibonacci，1170－1250年）是意大利数学家，1202年斐波那契在其代表作《算盘书》中提出了著名的“兔子问题” ，于是得斐波那契数列，斐波那契数列可用如下递推的方式定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，.下列选项正确的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】先求出分别计算选项A和B，再利用递推性质求解.【详解】由题意知：，;，A错误；对于B，，故B正确；对于C，=，故C错误；对于D，由，则，故D正确；故选：BD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30.如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则一个被保险人在一年内出事故的概率是_________.【答案】0.175【解析】 【分析】设“他是谨慎的”，“他是一般的”，“他是冒失的”，事件“出事故”，由全概率公式求解.【详解】设“他是谨慎的”，“他是一般的”，“他是冒失的”，则构成了的一个划分，设事件“出事故”，由全概率公式得，.故答案为：0.17514.已知等比数列的前4项和为8，前8项和为24，则S16______.【答案】60【解析】【分析】根据等比数列的性质求解.【详解】设公比为q，若，则数列为常数列，前4项之和等于8，每项为常数2，则前8项之和为16，不符合题意，；，依题意，，，，，；故答案为：60.15.已知圆和两点若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为______.【答案】11【解析】【分析】利用轨迹方程定义和圆与圆的位置关系求解.【详解】，记中点为，则， 故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，又在圆上，所以两圆有交点，则，而，得.故答案为:11.16.如图，在直三棱柱的侧面展开图中，B，C是线段AD的三等分点，且．若该三棱柱的外接球O的表面积为12π，则_______________．【答案】【解析】【分析】根据正三棱柱得性质，确定外接球的球心，利用球的表面积公式以及勾股定理，可得答案.【详解】由该三棱柱的外接球O的表面积为12π，设外接球得半径为，则，解得，由题意，取上下底面三角形得中心，分别为，得中点即为外接圆圆心，作图如下：则，平面，，平面，，在等边中，，在中，，. 故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知的三个内角所对的边分别为，且，，的面积.（1）求边和c；（2）求角.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）计算出的值，由，可设，，利用三角形的面积公式可求得的值，进而可得结果；（2）由（1）及余弦定理求得a的值，利用正弦定理求得的值，再由可知为锐角，由此可求得角的值.【详解】（1）由，及，得.由，可设，，所以，得，故，；（2）根据（1）及余弦定理得，由正弦定理，所以，由，知必为锐角，故. 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式解三角形，考查计算化简的能力，属于基础题.18.已知等差数列的前项和为，有，.（1）求数列的通项公式；（2）令，记数列的前项和为，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出关于和的方程组，解出这两个量，再利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式；（2）由（1）得知，然后利用裂项法求出数列的前项和，即可证明出.【详解】（1）设数列的公差为，有，解得，有，因此，数列的通项公式为；（2）由（1）知，有，由，有，故有，由上知.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法的应用，在求解等差数列的通项公式时，一般要建立首项和公差的方程组，利用方程思想求解，考查计算能力，属于中等题.19.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，ADBD，AB＝2AD，且PD⊥底面ABCD． （1）证明：平面PBD⊥平面PBC；（2）若二面角P－BC－D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据平行线的性质以及线面垂直的判定定理，结合线面垂直性质定理以及面面垂直性质定理，可得答案；（2）由题意，建立空间直角坐标系，利用二面角的定义以及勾股定理，求得棱长，写出点的坐标，求得平面的法向量，根据计算公式，可得答案.【小问1详解】在平行四边形中，，，，平面，平面，，，平面，平面，平面，平面平面.【小问2详解】由题意，建立空间直角坐标系，如下图所示：设，则，在中，，平面，平面，，，平面，平面，在二面角的平面角，即，在中，，在平行四边形中，，则，，，，，，， 设平面的法向量为，则，即，化简可得，令，，解得平面的一个法向量，设与平面的夹角为，.20.已知数列的前n项和为，且满足，数列为等比数列，且（1）求数列和的通项公式；（2）若数列，求数列的前项和为【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据求出，进而通过基本量的运算求出；（2）通过错位相减法即可求得答案.【详解】（1）由题意，时，，时，，n=1时，∴.设公比为q，所以，∴.（2）由（1），∴……①则……②由①-②得：，∴. 21.“学习强国”平台自上线以来，引发社会各界广泛关注，在党员干部中更是掀起了一股学习热潮，该平台以全方位、多维度深层次的形式，展现了权威、准确、生动、有力的“视听盛宴”，为广大党员干部提供了便捷的学习平台、自我提升的“指南针”、干事创业的“加油站”.某单位为调查工作人员学习强国的情况，随机选取了400人（男性、女性各200人），记录了他们今年1月底的积分情况，并将数据整理如下：积分性别2000～3000（分）3001～4000（分）4001～5000（分）5001～6000（分）>6000（分）男性8060302010女性2060100200（1）已知某人积分超过5000分被评定为“优秀员工”，否则为“非优秀员工”，补全下面的2×2列联表，并据此判断能否有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关；优秀员工非优秀员工总计男性女性总计（2）以样本估计总体，以频率估计概率，从已选取的400人中随机抽取3人，记抽取的3人中属于“非优秀员工”的人数为X，求X的分布列与数学期望.附：参考公式及数据：，其中n=a+b+c+d0.100.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，没有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关 （2）分布列见解析，【解析】【分析】(1)根据独立性检验的方法判断即可求解；(2)利用二项分布求分布列和数学期望.【小问1详解】补全列联表如图所示：优秀员工非优秀员工总计男性30170200女性20180200总计50350400故没有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关.【小问2详解】由题知，从已选取的400人中随机抽取1人，属于“非优秀员工”的概率为，的所有可能取值为0，1，2，3，且，.，，所以的分布列为0123所以.22.平面内动点到点的距离与到直线的距离之比为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线交轨迹于不同两点､，交轴于点，已知， ，试问是否等于定值，并说明理由.【答案】（1）；（2）是定值，.【解析】【分析】（1）设点，则，化简即可求得轨迹的方程；（2）若直线恰好过原点，直接计算的值即可；若直线不过原点，设直线，，求出相关点的坐标与向量，用表示出，联立直线与椭圆方程消去，利用韦达定理，化简求解即可．【详解】（1）设点，因为点到点的距离与到直线的距离之比为，所以，化简可得曲线方程为：．（2）由题知，若直线恰好过原点，则，，，，，则，，，则，．若直线不过原点，设直线，，，，，，．则，，，， ，，，，由，得，从而；由，得，从而；故．联立方程组得：，整理得，判别式恒大于零，，，．综上所述，．【点睛】方法点睛：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.