江苏省南京市六校联合体2022-2023学年高一数学下学期3月联考试题（Word版附解析）

2022-2023学年江苏省南京市高一下六校联考3月月考一．选择题（共8小题）1．命题“”的否定是（　　）A．B．C．D．∀x＞0，x≤0或x≥1．2．sin105°的值为（　　）A．B．C．D．3．已知扇形的圆心角为，面积为3π，则该扇形的弧长为（　　）A．πB．2πC．3D．64．已知角α的终边经过点P（﹣2，4），则sinα﹣cosα的值等于（　　）A．B．C．D．5．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）可以为（　　）A．f（x）＝B．f（x）＝C．f（x）＝D．f（x）＝xe|x|6．已知a＝ln，b＝（），c＝ln（2e），则（　　）A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．c＞b＞a7．已知ω＞0且为正数，且，函数f（x）＝2sin（ωx+φ）+1的图象如图所示，A、C，D是f（x）的图象与y＝1相邻的三个交点，与x轴交于相邻的两个交点O、B，若在区间（a，b）上，f（x）有2020个零点，则b﹣a的最大值为（　　） A．2020πB．C．D．1012π8．已知函数f（x）＝[x]（[x]表示不超过实数x的最大整数），若函数g（x）＝ex﹣e﹣x﹣2的零点为x0，则g[f（x0）]＝（　　）A．B．﹣2C．D．二．多选题（共4小题）9．已知a，b，c∈R则下列结论正确的是（　　）A．若a＞b＞0，则B．若ac2＞bc2，则a＜bC．若a＞0，b＞0，2a+3a＝2b+4b，则a＞bD．若a＞b＞0，则10．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法正确的是（　　）A．g（x）的最小正周期为B．g（x）在区间[，]上单调递增C．g（x）的图象关于直线x＝对称 D．g（x）的图象关于点（，0）成中心对称11．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（　　）A．若〉＝120°，则B．点M（1，﹣1），N（﹣3，2），与向量同方向的单位向量为C．若|≠0，则与的夹角为60°D．若向量，则向量在向量上的投影向量为12．已知函数，则（　　）A．f（x）是奇函数B．f（x）的图象关于点（1，1）对称C．f（x）有唯一一个零点D．不等式f（2x+3）＞f（x2）的解集为（﹣1，1）∪（3，+∞）三．填空题（共4小题）13．请写出一个同时满足下列两个条件的幂函数：f（x）＝　　．①f（x）是偶函数；②f（x）在（0，+∞）上单调递减．14．已知函数f（x）＝，那么f（f（4））＝　　，若存在实数a，使得f（a）＝f（f（a）），则a的个数是　　．15．已知正方形ABCD的边长为2，P是正方形ABCD的外接圆上的动点，则•的范围是　　．16．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，其中M（，3）是图象的一个最高点，N（，0）是图象与x轴的交点，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的后，再向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为　　．四．解答题（共6小题） 17．已知集合A＝{x|a＜x＜a+1}，B＝{x|﹣2≤x≤0}．（1）若a＝1，求A∪B；（2）在①A∪B＝B，②（∁RB）∩A＝∅，③B∪（∁RA）＝R，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．18．已知α是第四象限角，且．（1）求tanα的值；（2）求的值．19．已知＜α＜π，sin2α＝﹣．（1）求tanα的值；（2）求的值．20．如图，在菱形ABCD中，．（1）若，求3x+2y的值；（2）若||＝6，∠BAD＝60°，求．21．水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放a（0＜a≤4且a∈R）个单位的营养液，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为y＝af（x），其中，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效．（1）若只投放一次2个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？（2）若先投放2个单位的营养液，4天后再投放b个单位的营养液，要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求b的最小值．22．已知函数f（x）＝ln（x+a）（a∈R）的图象过点（1，0），g（x）＝x2﹣2ef（x）． （1）求函数g（x）的解析式；（2）设m＞0，若对于任意，都有g（x）＜﹣ln（m﹣1），求m的取值范围． 2022-2023学年江苏省南京市高一下六校联考3月月考参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．命题“”的否定是（　　）A．B．C．D．∀x＞0，x≤0或x≥1．【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，命题“”等价于“∃x＞0，0＜x＜1”，则其否定是：∀x＞0，x≤0或x≥1．故选：D．2．sin105°的值为（　　）A．B．C．D．【解答】解：sin105＝sin（45°+60°）＝sin45°cos60°+sin60°cos45°＝＝．故选：D．3．已知扇形的圆心角为，面积为3π，则该扇形的弧长为（　　）A．πB．2πC．3D．6【解答】解：设扇形半径为r，∵扇形的圆心角为，面积为3π，∴S扇形＝＝3π，解得r＝3，∴该扇形的弧长为l＝＝2π．故选：B．4．已知角α的终边经过点P（﹣2，4），则sinα﹣cosα的值等于（　　）A．B．C．D．【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣2，4），∴sinα＝＝，cosα＝ ＝﹣，则sinα﹣cosα＝，故选：A．5．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）可以为（　　）A．f（x）＝B．f（x）＝C．f（x）＝D．f（x）＝xe|x|【解答】解：由图象可知，函数的定义域为R，而选项B中函数的定义域为{x|x≠0}，故可排除B；又函数图象关于原点对称，为奇函数，而选项C不具有奇偶性，故可排除C；又x→0时，f（x）→0，而选项D当x→+∞时，f（x）→+∞，故可排除D．故选：A．6．已知a＝ln，b＝（），c＝ln（2e），则（　　）A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．c＞b＞a【解答】解：a＝ln＜0，b＝（）＝∈（0，1），c＝ln（2e）＞1，则c＞b＞a．故选：D．7．已知ω＞0且为正数，且，函数f（x）＝2sin（ωx+φ）+1的图象如图所示，A、C，D是f（x）的图象与y＝1相邻的三个交点，与x轴交于相邻的两个交点O、B，若在区间（a，b）上，f（x）有2020个零点，则b﹣a的最大值为（　　） A．2020πB．C．D．1012π【解答】解：由题意和图易知，|AC|的长度为：，则有，进而，又或﹣6k﹣4，因为0＜ω＜3，所以ω＝2，则T＝π，相邻2个零点的距离有两种和，则当b﹣a为1010个与1011个的和时最大为．故选：C．8．已知函数f（x）＝[x]（[x]表示不超过实数x的最大整数），若函数g（x）＝ex﹣e﹣x﹣2的零点为x0，则g[f（x0）]＝（　　）A．B．﹣2C．D．【解答】解：因为函数g（x）＝ex﹣e﹣x﹣2，则易得函数g（x）为增函数，又g（0）＝﹣2＜0，g（1）＝e﹣﹣2＞0，由零点定理得：x0∈（0，1），又f（x0）＝[x0]＝0，所以g（f（x0））＝g（0）＝﹣2，故选：B．二．多选题（共4小题）9．已知a，b，c∈R则下列结论正确的是（　　）A．若a＞b＞0，则B．若ac2＞bc2，则a＜b C．若a＞0，b＞0，2a+3a＝2b+4b，则a＞bD．若a＞b＞0，则【解答】解：对于A，∵a＞b＞0，∴b﹣a＜0，∴＝＜0，即，故A正确；对于B，若ac2＞bc2，则c2＞0，∴a＞b，故B错误；对于C，设f（x）＝2x+3x，显然f（x）在（0，+∞）上单调递增，∵2a+3a＝2b+4b，2b+4b＞2b+3b，∴2a+3a＞2b+3b，即f（a）＞f（b），∴a＞b，故C正确；对于D，∵a＞b＞0，∴＞0，∴a+＞b+，故D错误．故选：AC．10．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法正确的是（　　）A．g（x）的最小正周期为B．g（x）在区间[，]上单调递增C．g（x）的图象关于直线x＝对称D．g（x）的图象关于点（，0）成中心对称【解答】解：根据函数的图象：周期，解得T＝π，故ω＝2．进一步求得A＝2．当x＝时，f（）＝2sin（+φ）＝﹣1，由于|φ|＜π， 所以φ＝．所以f（x）＝2sin（2x+），函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）＝2sin（3x+）的图象，故对于A：函数的最小正周期为T＝，故A正确；对于B：由于x∈[，]，所以，故函数g（x）在区间[，]上单调递减，故B错误；对于C：当x＝时，g（）＝2sin（）＝﹣2，故函数g（x）的图象关于直线x＝对称，故C正确；对于D：当x＝时，g（）＝2，故D错误．故选：AC．11．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（　　）A．若〉＝120°，则B．点M（1，﹣1），N（﹣3，2），与向量同方向的单位向量为C．若|≠0，则与的夹角为60°D．若向量，则向量在向量上的投影向量为【解答】解：对于A，因为，所以，故正确；对于B，因为，且，所以与向量同方向的单位向量为，故正确；对于C，因为，所以即化简得，因为，所以，即，化简 得，所以，因为，所以，故错误；对于D，因为，所以向量在向量上的投影向量为，故正确．故答案为：ABD．12．已知函数，则（　　）A．f（x）是奇函数B．f（x）的图象关于点（1，1）对称C．f（x）有唯一一个零点D．不等式f（2x+3）＞f（x2）的解集为（﹣1，1）∪（3，+∞）【解答】解：函数的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，可得f（x）不为奇函数，故A错误；f（2﹣x）＝+＝+，f（x）+f（2﹣x）＝（+）+（+）＝2，则f（x）的图象关于点（1，1）对称，故B正确；f（x）＝+1+，当x＞1时，f（x）递减；x＜1时，f（x）递减，且x＞1时，f（x）＞0；f（0）＝﹣＜0，f（﹣1）＝＞0，则f（x）在（﹣1，0）有且只有一个零点，故C正确；由f（x）在（﹣∞，1）和（1，+∞）内递减，且x＞1时，f（x）＞1；x＜1时，f（x）＜1．不等式f（2x+3）＞f（x2）等价为或或 或，解得x＞3或x∈∅或﹣1＜x＜1或x∈∅，即不等式f（2x+3）＞f（x2）的解集为（﹣1，1）∪（3，+∞），故D正确．故选：BCD．三．填空题（共4小题）13．请写出一个同时满足下列两个条件的幂函数：f（x）＝　x﹣2（x≠0）（答案不唯一）　．①f（x）是偶函数；②f（x）在（0，+∞）上单调递减．【解答】解：令f（x）＝x﹣2（x≠0），则f（x）是偶函数满足①；f（x）在（0，+∞）上单调递减，满足②；故答案为：x﹣2（x≠0）（答案不唯一）．14．已知函数f（x）＝，那么f（f（4））＝　1　，若存在实数a，使得f（a）＝f（f（a）），则a的个数是　5　．【解答】解：由f（4）＝﹣2，那么f（f（4））＝f（﹣2）＝1．设f（a）＝t，由f（a）＝f（f（a）），那么t＝f（t），即图象与y＝x有两交点，可得t＝1或t＝﹣1，由图象可知：当t＝1时，即f（a）＝1，可得a＝1或a＝﹣2，当t＝﹣1时，即f（a）＝﹣1，可得a＝3或a＝0或a＝﹣1，综上，存在实数a，使得f（a）＝f（f（a）），则a的个数是5个值，故答案为1，5． 15．已知正方形ABCD的边长为2，P是正方形ABCD的外接圆上的动点，则•的范围是　[﹣2+2，2+2]　．【解答】解：如图所示，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1）．设P（cosθ，sinθ）．∴•＝（2，0）•（cosθ+1，sinθ+1）＝2cosθ+2，∵﹣1≤cosθ≤1，∴•的范围是[﹣2+2，2+2]，故答案为：[﹣2+2，2+2]．16．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，其中M（，3）是图象的一个最高点，N（，0）是图象与x轴的交点，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的后，再向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为　为．　． 【解答】解：依题意，，即T＝4π，故；将代入f（x）中，可知，故；不妨设k＝0，得，故函数；将函数f（x）的图象压缩为原来的后，得到，再向右平移个单位，得；要求函数的增区间，只需．解得．故函数g（x）的单调递增区间为．故答案为：．四．解答题（共6小题）17．已知集合A＝{x|a＜x＜a+1}，B＝{x|﹣2≤x≤0}．（1）若a＝1，求A∪B；（2）在①A∪B＝B，②（∁RB）∩A＝∅，③B∪（∁RA）＝R，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，集合A＝{x|1＜x＜2}，因为B＝{x|﹣2≤x≤0}，所以A∪B＝{x|﹣2≤x≤0或1＜x＜2}；（2）若选①：因为A∪B＝B，可得A⊆B，所以，解得﹣2≤a≤﹣1， 故实数a的取值范围为[﹣2，﹣1]．若选②：因为（∁RB）∩A＝∅，可得A⊆B，则，解得﹣2≤a≤﹣1，故实数a的取值范围为[﹣2，﹣1]．若选③：因为B∪（∁RA）＝R，可得A⊆B，则，解得﹣2≤a≤﹣1，故实数a的取值范围为[﹣2，﹣1]．18．已知α是第四象限角，且．（1）求tanα的值；（2）求的值．【解答】解：（1）由题意知，，∴；（2）＝．19．已知＜α＜π，sin2α＝﹣．（1）求tanα的值；（2）求的值．【解答】解：∵＜α＜π，sin2α＝﹣，∴sinα＞0，cosα＜0，则sinα﹣cosα＝＝＝．①sinα+cosα＝﹣ ＝．②联立①②可得，sinα＝，cosα＝．（1）tanα＝；（2）＝＝＝．20．如图，在菱形ABCD中，．（1）若，求3x+2y的值；（2）若||＝6，∠BAD＝60°，求．【解答】解：（1）因为在菱形ABCD中，．故＝，故，所以3x+2y＝﹣1．（2）显然，所以＝＝……①，因为菱形ABCD，且||＝6，∠BAD＝60°，故，．所以．故①式＝＝﹣9．故＝﹣9． 21．水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放a（0＜a≤4且a∈R）个单位的营养液，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为y＝af（x），其中，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效．（1）若只投放一次2个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？（2）若先投放2个单位的营养液，4天后再投放b个单位的营养液，要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求b的最小值．【解答】解：（1）营养液有效则需满足y≥4，则或，即为1≤x≤2或2＜x≤5，∴1≤x≤5，∴营养液有效时间可达5天；（2）设第二次投放营养液的持续时间为x天，则此时第一次投放营养液的持续时间为（x+4）天，且0≤x≤2；设y1为第一次投放营养液的浓度，y2为第二次投放营养液的浓度，y为水中的营养液的浓度．∴y1＝2[7﹣（x+4）]＝6﹣2x，y2＝b•，y＝y1+y2＝6﹣2x+b•≥4在[0，2]上恒成立，∴b≥（2x﹣2）•在[0，2]上恒成立．令t＝3+x，t∈[3，5]，则b≥﹣2（t+）+20，又﹣2（t+）+20≤20﹣2•2＝20﹣8，当且仅当t＝，即t＝时，取等号．∵∈[3，5]，∴b的最小值为20﹣8． 答：要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，b的最小值为20﹣个单位．22．已知函数f（x）＝ln（x+a）（a∈R）的图象过点（1，0），g（x）＝x2﹣2ef（x）．（1）求函数g（x）的解析式；（2）设m＞0，若对于任意，都有g（x）＜﹣ln（m﹣1），求m的取值范围．【解答】解：（1）由已知得f（1）＝ln（a+1）＝0，故a+1＝1，得a＝0，故f（x）＝lnx；（2）g（x）＝x2﹣2elnx＝x2﹣2x，该函数开口向上，对称轴为x＝1，故当m＞0时，对于，必有m≥1，且x∈时，g（x）max＝max{g（），g（m）}，又g（m）﹣g（）＝m2﹣2m＝（m﹣1）2•≥0，故g（m）≥g（），所以若对于任意，都有g（x）＜﹣ln（m﹣1），只需g（m）＝m2﹣2m＜﹣ln（m﹣1），即（m﹣1）2+ln（m﹣1）﹣1＜0（m＞1）恒成立，令t＝m﹣1＞0，则t2+lnt﹣1＜0①，令h（t）＝t2+lnt﹣1（t＞0），显然h（1）＝0，易知y＝lnt，y＝t2在（0，+∞）上都是增函数，故要使①式恒成立，只需0＜t＜1即可，即0＜m﹣1＜1，解得1＜m＜2，故m的取值范围是（1，2）．