安徽省合肥一中2022-2023学年高一数学下学期第一次月考试卷（Word版附解析）

安徽省合肥一中2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列五个结论：①温度有零上和零下之分，所以温度是向量；②向量a≠b，则a与b的方向必不相同；③|a|>|b|，则a>b；④向量a是单位向量，向量b也是单位向量，则向量a与向量b共线；⑤方向为北偏西50°的向量与方向为东偏南40°的向量一定是平行向量．其中正确的有(　)A.①⑤B.④C.⑤D.②④【答案】C【解析】温度虽有大小却无方向，故不是向量，故①错；a≠b，但a与b的方向可以相同，故②错；向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小，故③错；单位向量只要求长度等于1个单位长度，但方向未确定，故④错；作图易得⑤正确．2.若在△ABC中，＝a，＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，则△ABC的形状是(　　) A.正三角形B.锐角三角形C.斜三角形D.等腰直角三角形【答案】D【解析】由于||＝|a|＝1，||＝|b|＝1，||＝|a＋b|＝，所以△ABC为等腰直角三角形．故选D.3.已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，则a与b的夹角为(　　)A.30°B.45°C.135°D.150°【答案】A【解析】因为(2a＋b)·(a－2b)＝2a2－4a·b＋a·b－2b2＝－3a·b＝－，所以a·b＝.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝.又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝30°.4.如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为(　　)A.2i＋3jB.4i＋2jC.2i－jD.－2i＋j【答案】C【解析】∵A(2,3)，B(4,2)，∴＝(4,2)－(2,3)＝(2，－1)，∴＝2i－j.5.设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于(　　)A.B.C.D.【答案】A【解析】∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0，解得y＝－4，从而3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝.6.已知向量u=(x+2,3),v=(x,1),当f(x)=u·v取得最小值时,x的值为(　　) A.0B.-1C.2D.1【答案】B【解析】f(x)=u·v=(x+2)x+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,故当x=-1时,f(x)取得最小值2.7.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，||＝2，则||等于(　　)A.1B.C.D.2【答案】A【解析】如图，连接AC，由||＝||，得∠ABC＝∠OCB＝30°，又因为∠ACB＝90°，所以||＝||＝×2＝1.8.如图，在△ABC中，O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于M，N两个不同的点．若＝m，＝n，其中m，n为实数，则m＋n等于(　　)A.1B.C.2D.3【答案】C【解析】如图，连接AO， 由O为BC中点可得，＝(＋)＝＋.∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，∴m＋n＝2.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.在平面直角坐标系中,若点A(2,3),B(-3,4),如图所示,x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为i和j,则下列说法正确的是(　　)A.=2i+3jB.=3i+4jC.=-5i+jD.=5i+j【答案】AC【解析】由题图知,=2i+3j,=-3i+4j,故A正确,B不正确;=(-3i+4j)-(2i+3j)=-5i+j,=-=5i-j,故C正确,D不正确.10.在△ABC中，若b＝，c＝3，B＝30°，则a的值可以等于(　　)A.B.2C.3D.4【答案】AB【解析】由正弦定理得＝，即＝，所以sinC＝，又0°＜C＜180°，所以C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝90°，a2＝32＋()2，a＝2，当C＝120°时，A＝30°，a＝b＝. 11.如图,在海岸上有两个观测点C,D,C在D的正西方向,距离为2km,在某天10:00观察到某航船在A处,此时测得∠ADC=30°,5分钟后该船行驶至B处,此时测得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,则(　　)A.当天10:00时,该船位于观测点C的北偏西15°方向B.当天10:00时,该船距离观测点CkmC.当船行驶至B处时,该船距观测点CkmD.该船在由A行驶至B的这5min内行驶了km【答案】ABD【解析】A项中,∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°,因为C在D的正西方向,所以A在C的北偏西15°方向,故A正确.B项中,在△ACD中,∠ACD=105°,∠ADC=30°,则∠CAD=45°.由正弦定理,得AC=,故B正确.C项中,在△BCD中,∠BCD=45°,∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°,即∠CBD=45°,则BD=CD=2,于是BC=2,故C不正确.D项中,在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB=2+8-22=6,即AB=km,故D正确.12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a≠c，tanB＝2，△ABC的面积为2 ，则可能取到的值为(　　)A.4B.2C.4D.2【答案】AC【解析】因为tanB＝2，所以cosB＝，sinB＝，又S＝acsinB＝2，所以ac＝6，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－4＝(a－c)2＋8，所以＝＝|a－c|＋≥4当且仅当|a－c|＝时，等号成立，故的最小值为4，可能取到的值为AC选项．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。13.已知点A(－1，－5)和向量a＝(2，3)，若＝3a，则点B的坐标为________．【答案】(5，4)【解析】设O为坐标原点，因为＝(－1，－5)，＝3a＝(6，9)，故＝＋＝(5，4)，故点B的坐标为(5，4).14.若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________.【答案】∪【解析】由a＝(k，3)，b＝(1，4)，得2a－3b＝(2k－3，－6).又2a－3b与c的夹角为钝角，∴(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6<0，得k<3，若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－.当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c， 此时2a－3b与c共线且反向，不合题意.综上，k的取值范围为∪.15.如图，设P为△ABC内一点，且2＋2＋＝0，则S△ABP∶S△ABC＝________．【答案】【解析】设AB的中点是D.因为＋＝2＝－，所以＝－，所以P为CD的五等分点，所以△ABP的面积为△ABC的面积的.16.在△ABC中，a＝，A＝60°，求3b＋2c的最大值________．【答案】2【解析】由正弦定理知，＝＝，因为a＝，A＝60°，所以＝＝＝2，所以b＝2sinB，c＝2sinC，所以3b＋2c＝6sinB＋4sinC＝6sinB＋4sin(60°＋B)＝6sinB＋4＝8sinB＋2cosB＝2sin(B＋θ)，其中tanθ＝， 因为0°＜θ＜30°，0°＜B＋θ＜150°，当B＋θ＝90°时，3b＋2c取得最大值，为2.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17.（12分）已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1，0)，e2＝(0，1).(1)试计算a·b及|a＋b|的值；(2)求向量a与b夹角的余弦值.【答案】解　(1)a＝e1－e2＝(1，0)－(0，1)＝(1，－1)，b＝4e1＋3e2＝4(1，0)＋3(0，1)＝(4，3)，∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，|a＋b|＝＝＝.(2)设a，b的夹角为θ，由a·b＝|a||b|cosθ，∴cosθ＝＝＝.18.（12分）有一艘在静水中速度大小为10km/h的船,现船沿与河岸成60°角的方向向河的上游行驶.由于受水流的影响,结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸.设河的两岸平行,河水流速均匀.(1)设船相对于河岸和静水的速度分别为u,v,河水的流速为w,求u,v,w之间的关系式;(2)求这条河河水的流速.【答案】解(1)如图,u是垂直到达河对岸方向的速度,v是与河岸成60°角的静水中的船速,则v与u的夹角为30°. 由题意知,u,v,w三条有向线段构成一个直角三角形,其中=v,=u,=w.由向量加法的三角形法则知,,即u=w+v.(2)∵|v|=10km/h,而||=||sin30°=10=5(km/h),∴这条河河水的流速为5km/h,方向顺着河岸向下.19.（10分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．【答案】解　∵sinC＝2sinA，∴由正弦定理，得c＝2a，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即9＝a2＋4a2－2a·2acos，解得a＝，∴c＝2a＝2.20.（12分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠CAD＝，AC＝，cos∠ADB＝－.(1)求sinC的值；(2)若BD＝5，求△ABD的面积．【答案】解　(1)因为cos∠ADB＝－，所以sin∠ADB＝.又因为∠CAD＝，所以∠C＝∠ADB－.所以sinC＝sin＝sin∠ADB·cos－cos∠ADB·sin＝×＋×＝.(2)在△ACD中，由＝，得AD＝＝＝2.所以S△ABD＝AD·BD·sin∠ADB＝×2×5×＝7. 21.（12分）设两个向量a，b满足a＝(2，0)，b＝，(1)求a＋b方向的单位向量；(2)若向量2ta＋7b与向量a＋tb的夹角为钝角，求实数t的取值范围．【答案】解(1)由已知a＋b＝(2，0)＋(，)＝，所以|a＋b|＝＝＝，所以a＋b＝，即a＋b方向的单位向量为；(2)由已知a·b＝1，|a|＝2，|b|＝1，所以(2ta＋7b)(a＋tb)＝8t＋7t＋2t2＋7＝2t2＋15t＋7，由于两向量的夹角为钝角，故(2ta＋7b)(a＋tb)<0且向量2ta＋7b不与向量a＋tb反向共线，设2ta＋7b＝k(a＋tb)(k<0)，则解得t＝－从而解得t∈∪.22.（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.(1)若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积；(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【答案】解　(1)因为2sinC＝3sinA，则2c＝2(a＋2)＝3a，则a＝4，故b＝5，c＝6，cosC＝＝，所以C为锐角，则sinC＝＝，因此，S△ABC＝absinC＝×4×5×＝.(2)显然c>b>a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角， 由余弦定理的推论可得cosC＝＝＝<0，解得－1<a<3，则0<a<3，由三角形的三边关系可得a＋a＋1>a＋2，可得a>1，∵a∈Z，故a＝2.