四川省眉山市2022届高三数学（文）第二次诊断性考试试题（Word版附解析）

眉山市高中2022届第二次诊断性考试数学（文史类）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则=（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据一元一次不等式的解法求出集合A，结合交集的概念和运算即可得出结果.【详解】由，解得，即，因为，所以.故选：B2.已知复数，则（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据复数模的计算公式和共轭复数的概念，得到，即可求解.【详解】由复数，可得，所以.故选：D3.“，”是“”的条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分 也不必要【答案】A【解析】【分析】根据充分、必要条件的定义判定即可.【详解】解：当，时，成立，当时，取，满足，但是不满足，，所以“，”是“”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】充分条件、必要条件的三种判定方法:（1）定义法：根据进行判断，适用于定义、定理判断性问题；（2）集合法：根据对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题；（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.4.已知，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式和诱导公式直接求解即可.【详解】，，.故选：C. 5.如图，长方体中，点E，F分别是棱，上的动点（异于所在棱的端点）.给出以下结论：①在F运动的过程中，直线能与AE平行；②直线与EF必然异面；③设直线AE，AF分别与平面相交于点P，Q，则点可能在直线PQ上.其中所有正确结论的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】B【解析】【分析】当点E，F分别是棱，中点时，可证明四边形是平行四边形，故可判断①②；建立空间直角坐标系，当点E，F分别是棱，中点，且长方体为正方体时，利用空间向量证明三点共线【详解】长方体中，，连接，，当点E，F分别是棱，中点时，由勾股定理得：，故，同理可得：，故四边形是平行四边形，所以在F运动的过程中，直线能与AE平行，与EF相交，①正确，②错误； 以为坐标原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则当点E，F分别是棱，中点且长方体为正方体时，设棱长为2，则，，，则，，则，又两向量有公共点，所以三点共线，故则点可能在直线PQ上，③正确.故选：B6.《算法统宗》是由明代数学家程大位所著的一部应用数学著作，其完善了珠算口诀，确立了算盘用法，并完成了由筹算到珠算的彻底转变，该书清初又传入朝鲜、东南亚和欧洲，成 为东方古代数学的名著.书中卷八有这样一个问题：“今有物靠壁，一面尖堆，底脚阔一十八个，问共若干？”如图所示的程序框图给出了解决该题的一个算法，执行该程序框图，输出的S即为该物的总数S，则总数S=（）A.136B.153C.171D.190【答案】C【解析】【分析】执行程序框图，计算S【详解】由图可知，输出故选：C7.已知直线过点，与圆相交于B，C使得，则满足条件的直线的条数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】由圆的方程确定圆心、半径，再判断与圆的位置关系，进而求直线与圆相交的最短弦长，根据直径、最短弦长及的大小关系，判断直线的条数.【详解】由题设，，故圆心，半径，则，又，故在圆内部，且，所以过的直线与圆相交的最短弦长为，此时，直线，则直线有且仅有一条. 故选：B8.函数的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】通过奇偶性可排除A，通过可排除D，通过上的单调性可排除C，进而可得结果. 【详解】因为函数的定义域为，，即函数为偶函数，其图象关于轴对称，故排除A；由于幂函数增长速度最快，所以时，，故排除D；由于，当时，显然，即在单调递增，故排除C；故选：B.9.设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则A=（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据同角三角函数的关系、两角和的正弦公式、诱导公式和正弦定理化简计算可得，进而即可求出A.【详解】由题意知，，，，，由正弦定理，得， 又，所以，即，由，得.故选：D10.2022年第24届冬季奥林匹克运动会（即2022年北京冬季奥运会）的成功举办，展现了中国作为一个大国的实力和担当，“一起向未来”更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求.在北京冬季奥运会的某个比赛日，某人欲在冰壶（●）、冰球（●）、花样滑冰（）、跳台滑雪（）、自由式滑雪（）这5个项目随机选择2个比赛项目现场观赛（注：比赛项目后括号内为“●”表示当天不决出奖牌的比赛，“”表示当天会决出奖牌的比赛），则所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的概率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用列举法求解，先列出这5个项目随机选择2个比赛项目的所有情况，再找出所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的情况，然后根据古典型的概率公式求解即可【详解】分别为表示冰壶（●）、冰球（●）、花样滑冰（）、跳台滑雪（）、自由式滑雪（）这5个项目，则这5个项目随机选择2个比赛项目的所有情况有：，共10种，其中所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的有：，共7种，所以所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的概率为，故选：D11.已知双曲线C的一条渐近线为直线，C的右顶点坐标为，右焦点为F.若点M是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为，则的最小值为（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】根据双曲线渐近线和顶点的定义求出双曲线的标准方程，进而求出右焦点坐标，再确定点A在双曲线的外部，结合三角形三边之间的关系可知当三点共线时取得最小值，利用两点坐标求距离公式计算即可.【详解】设双曲线方程为，则，所以，双曲线方程为，由，得，，因此在双曲线外部（不含焦点的部分），又，所以，在中，由三边之间的关系可知当是线段与双曲线的交点，即三点共线时，取得最小值，且最小值为，故选：B.12.设，，，则a，b，c大小关系正确的是（）AB.C.D.【答案】D 【解析】【分析】分别构造函数，，，利用其单调性判断.【详解】解：设，则，所以在上递减，所以，即，设，则，递增，则，即，所以，令，则，，当时，，则递减，又，所以当时，，递减，则，即，因为，则，所以，即，故，故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，，若，则实数t的值为_______________.【答案】1【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示列方程，解出的值【详解】，又，故即，解得 故答案为：114.函数（）的图象向右平移后所得函数图象关于轴对称，则______．【答案】【解析】【分析】根据函数的平移变换及函数的奇偶性即可求解.【详解】由的图象向右平移后，可得的图象，因为的图象关于轴对称，所以,解得因为，解得，当时，.故答案为：.15.已知抛物线C以坐标原点O为顶点，以为焦点，直线与抛物线C交于两点A，B，直线上的点满足，则抛物线C的方程为______________.【答案】【解析】【分析】由题意可知，直线恒过定点，写出和，因为，所以，解出的值，进而得出抛物线的方程.【详解】由题意可知，当时，，即直线恒过定点， 所以，且，因为，所以，即，解得，所以抛物线C的方程为：，故答案为：.16.已知，，，，都在同一个球面上，平面平面，是边长为2的正方形，，当四棱锥的体积最大时，该球的半径为______．【答案】【解析】【分析】先求出四棱锥的体积最大时，为等边三角形，再找出外接球的球心，通过勾股定理即可求得半径.【详解】如图，过点作于，平面平面，平面平面，平面，，故四棱锥的体积最大，即最大，，最大，即面积最大，由,，得，，得，当且仅当时取等号，此时面积最大，为等边三角形.取的外心为，正方形的外心为 ，过分别作所在平面的垂线，交点为，即为四棱锥外接球的球心，四边形为矩形，，，设外接球半径为，则.故答案为：.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17.某县为了解乡村经济发展情况，对全县乡村经济发展情况进行调研，现对2012年以来的乡村经济收入（单位：亿元）进行了统计分析，制成如图所示的散点图，其中年份代码的值1—10分别对应2012年至2021年．（1）若用模型①，②拟合与的关系，其相关系数分别为，，试判断哪个模型的拟合效果更好？（2）根据（1）中拟合效果更好的模型，求关于的回归方程（系数精确到0.01），并估计该县2025年的乡村经济收入（精确到0.01）．参考数据：，，，，72.652.25126.254.52235.4849.16 参考公式：对于一组数据，，…，，回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．【答案】（1）的拟合效果更好（2），亿元【解析】【分析】（1）根据相关系数即可得出答案；（2）根据最小二乘法结合题中数据求出，即可求出回归方程，再根据回归方程即可求出该县2025年的乡村经济收入的估计值.【小问1详解】解：因为更接近1，所以的拟合效果更好.【小问2详解】解：根据题中所给数据得，则，所以回归方程为，2025年的年份代码为14，当时，，所以估计该县2025年的乡村经济收入为亿元.18.已知数列中，，，设.（1）求，，；（2）判断数列是不是等比数列，并说明理由；（3）求数列的前n项和. 【答案】（1），，；（2）是等比数列，理由见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据递推关系写出、，进而可得，，（2）由题设可得，结合题设等量关系即可判断是否为等比数列.（3）应用分组求和及等比数列前n项和公式求.【小问1详解】由题设，，，所以，，.【小问2详解】由题设，，而，所以是首项为，公比为的等比数列，又，所以是首项为，公比为的等比数列.【小问3详解】由（2）知：，则.19.如图所示，已知是边长为6的等边三角形，点M、N分别在，上，，O是线段的中点，将沿直线进行翻折，A翻折到点P，使得平面平面，如图所示. （1）求证：；（2）若，求点M到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由，证得，利用面面垂直的性质，证得平面，进而证得；（2）设点到平面的距离为，结合，求得的值，结合平面，利用点到平面的距离与点到平面的距离相等，即可求解.【小问1详解】证明：因为是边长为6的等边三角形，且，在中，可得，又因为点是线段的中点，所以，因为平面平面，且平面，平面平面，所以平面，又因为平面，所以.【小问2详解】解：由是边长为6的等边三角形，可得的高为，因为,，可得，,则的面积为， 又由平面，且，所以三棱锥的体积为，在直角中，，可得，所以的面积为，设点到平面的距离为，因为，可得，解得，又由，且平面，平面，所以平面，则点到平面的距离与点到平面的距离相等，所以点到平面的距离为.20.已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程；（2）设是椭圆C上第一象限的点，直线过P且与椭圆C有且仅有一个公共点.①求直线方程（用，表示）；②设O为坐标原点，直线分别与x轴，y轴相交于点M，N，求面积的最小值.【答案】（1）；（2）；.【解析】 【分析】(1)根据椭圆离心率的概念和点在椭圆上列出关于a、b、c的方程组，结合解方程组即可；(2)根据题意可得，设直线l方程，联立椭圆方程，利用根的判别式等于0得出关于k的一元二次方程，根据公式法解出k，代入直线l方程即可；求出点M、N的坐标，根据和基本不等式可得，结合三角形面积公式化简计算即可.【小问1详解】由题意知，椭圆的离心率为，且过点，则，解得，所以椭圆的标准方程为；【小问2详解】①因为是椭圆在第一象限的点，所以，即()，设直线l方程为，则，消去y，整理得，则，整理，得， 即，则，解得，所以直线l方程为，即；②令，得，令，得，即，由()，得，当且仅当即时等号成立，所以，得，所以，此时，故当点P的坐标为，的面积最小，最小值为.21.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若a为整数，当时，，求a的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率及切点即可求解答案；（2）根据导函数分子部分的最小值与零比较分类讨论，分别分、、讨论即可.【小问1详解】当时，，所以， 又因为，其中，则在点处的切线斜率，所以切线方程为【小问2详解】由题知，其中，设，则，可知为上的增函数，则，所以为上的增函数，则.①当，即时，，即，所以为上的增函数，则，由于为整数，可知时，恒成立，符合题意.②当时，，，则的最小值为，又，由于为上的增函数，则存在使得（即），当时，，即，为减函数；当时，，即，为增函数，则，其中，令，则，当时，，在上单调递减，则，即.所以也符合题意. ③当时，，由于为上的增函数，则存在实数，且，使得，即，故为上的减函数，则当时，，故不符合题意，舍去.综上所述，的最小值为.【关键点点睛】求切线的关键是求斜率与切点坐标，解决导数中的恒成立问题，一般是通过研究函数的单调性，再通过单调性确定函数的最值再建立不等式从而解决问题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为(为参数)，曲线的方程为．以坐标原点的极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线及曲线的极坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，满足，求直线的斜率．【答案】（1）；；（2）.【解析】【分析】(1)对于直线l，消掉参数t化为极坐标方程即可；对于C，代入x＝ρcosθ、y＝ρsinθ化简即可；(2)将直线的极坐标方程代入曲线C的极坐标方程，方程的两根的绝对值即为，利用韦达定理即可求l斜率﹒【小问1详解】 ；；∴直线l的方程为：；曲线的方程为：；【小问2详解】将代入曲线C的方程得，①，则M、N的极径为方程①的两根，则，，均为负数，，，∴直线l的斜率.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数．（1）若存在，使得，求实数的取值范围；（2）令的最小值为．若正实数，，满足，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1 ）由绝对值定义分类讨论去绝对值符号化为分段函数，由函数性质得最小值，再解相应不等式可得；（2）由柯西不等式证明．【小问1详解】，所以在上递减，在上递增，所以，，解得；【小问2详解】由（1）得，，所以，当且仅当时等号成立．