四川省眉山市2022届高三数学（理）第二次诊断性考试试题（Word版附解析）

眉山市高中2022届第二次诊断性考试数学（理工类）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出集合A，再根据交集的定义即可得出答案.【详解】解：，所以.故选：B.2.已知复数，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出的模长，再进行复数运算即可.【详解】因为，所以，即，故选：C.3.已知，则（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式和诱导公式直接求解即可.【详解】，，.故选：C.4.的展开式中，含项的系数为（）A.120B.40C.D.【答案】B【解析】【分析】直接按照二项展开式的通项公式进行计算即可.【详解】由，可得含的项为：，故含项的系数为40.故选：B.5.如图，长方体中，点E，F分别是棱，上的动点（异于所在棱的端点）.给出以下结论：①在F运动的过程中，直线能与AE平行；②直线与EF必然异面；③设直线AE，AF分别与平面相交于点P，Q，则点可能在直线PQ上.其中所有正确结论的序号是（） A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】B【解析】【分析】当点E，F分别是棱，中点时，可证明四边形是平行四边形，故可判断①②；建立空间直角坐标系，当点E，F分别是棱，中点，且长方体为正方体时，利用空间向量证明三点共线【详解】长方体中，，连接，，当点E，F分别是棱，中点时，由勾股定理得：，故，同理可得：，故四边形是平行四边形，所以在F运动的过程中，直线能与AE平行，与EF相交，①正确，②错误； 以为坐标原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则当点E，F分别是棱，中点且长方体为正方体时，设棱长为2，则，，，则，，则，又两向量有公共点，所以三点共线，故则点可能在直线PQ上，③正确.故选：B6.设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为（）A.19B.20C.21D.20或21【答案】D【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据题意求得首项与公差，从而可求得数列的通项，令，求出的范围，从而可得出答案.【详解】解：设等差数列的公差为，因为，， 则有，解得，所以，令，则，又，所以当或时，取最小值.故选：D.7.已知直线与相交于点，过点的直线与圆：相交于点，，且，则满足条件的直线的条数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】先求得，取BC的中点N，根据，判断的关系即可.【详解】由，解得，所以，圆，化为，如图所示： 取BC的中点N，因为，所以，所以，又，则，所以A，N重合，所以满足条件的直线有且仅有1条.故选：B8.函数的图象大致为（）AB. C.D.【答案】B【解析】【分析】通过奇偶性可排除A，通过可排除D，通过上的单调性可排除C，进而可得结果.【详解】因为函数的定义域为，，即函数为偶函数，其图象关于轴对称，故排除A；由于幂函数增长速度最快，所以时，，故排除D；由于，当时，显然，即在单调递增，故排除C；故选：B. 9.已知抛物线以坐标原点为顶点，以为焦点，过的直线与抛物线交于两点，，直线上的点满足，则（）A.B.C.40D.80【答案】B【解析】【分析】根据，可得直线的斜率，进而求得其直线方程，求得，得到抛物线方程，联立后利用弦长公式求得，从而求出答案.【详解】由直线上点满足可知：,故直线的方程为，即，将代入可得:,则抛物线方程为：，联立，得：，设，则，故，故，故选：B10.2022年第24届冬季奥林匹克运动会（即2022年北京冬季奥运会）的成功举办，展现了中国作为一个大国的实力和担当，“一起向未来”更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求．在北京冬季奥运会的某个比赛日，某人欲在冰壶（●）、冰球（●）、花样滑冰（）、跳台滑雪（）、自由滑雪（）、雪车（）这6个项目随机选择3个比赛项目现场观看（注：比赛项目后括号内为“●”表示当天不决出奖牌的比赛，“”表示当天会决出奖牌的比赛），则所选择的3个观察项目中当天会决出奖牌的项目数的均值为（）A.1B.C.2D.【答案】C 【解析】【分析】分别计算决出奖牌的项目数为1，2，3的概率，按照均值的公式计算即可.【详解】所选择的3个观察项目中当天会决出奖牌的项目数为，则的取值为1，2，3，，，则.故选：C.11.已知双曲线的一条渐近线为直线，的右顶点坐标为．若点是双曲线右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出双曲线的标准方程，双曲线的右准线方程，右焦点坐标，确定在双曲线的外部，利用圆锥曲线的统一定义把转化为到右焦点的距离，然后易得最小值．【详解】设双曲线方程为，则，所以，双曲线方程为，得，，因此在双曲线外部（不含焦点的部分），又，所以，，即双曲线的右准线是，记双曲线的右焦点为，则，，所以当是线段与双曲线的交点时，取得最小值，最小值不，所以的最小值是． 故选：C．12.设，，，则，，的大小关系正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由于，，，所以只要比较大小即可，然后分别构造函数，，判断出其单调性，利用其单调性比较大小即可【详解】因为，，，所以只要比较的大小即可，令，则，所以在上递增，所以，所以，所以，即，令，则，因为在上为减函数，且，所以当时，，所以在上为减函数， 因为，，要比较与的大小，只要比较与的大小，令，则，所以在上递增，所以，所以当时，，所以，所以，所以，所以当时，，所以在上递增，所以，所以，所以，所以，所以，所以，故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数比较大小，解题的关键是对已知的数变形，然后合理构造函数，通过导数判断函数的单调性，利用函数单调性比较大小，考查数转化思想和计算能力，属于难题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.如图，在中，两直角边，，点，分别为斜边的三等分点，则______．【答案】10【解析】【分析】将分别用表示，再根据数量积的运算律即可得出答案.【详解】解：因为点，分别为斜边的三等分点， 则，，所以.故答案为：10.14.函数（）的图象向右平移后所得函数图象关于轴对称，则______．【答案】【解析】【分析】根据函数的平移变换及函数的奇偶性即可求解.【详解】由的图象向右平移后，可得的图象，因为图象关于轴对称，所以,解得因为，解得，当时，.故答案为：.15.造纸术是我国古代四大发明之一，现在我国纸张的规格采用国际标准，常用的复印纸是幅面采用A系列的，，，…，规格的一种．其中A系列的幅面规格为：①规格的纸张的幅宽（用表示）和长度（用表示）的比例关系是；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格．将纸张沿长度方向对开成两等分，便成规格．……，如此继续对开，得到一张纸的面积为，则一张纸的面积为______．【答案】9984【解析】 【分析】设，，，…，对应的面积是，则是以为公比的等比数列，再根据纸的面积即可求出答案.【详解】设，，，…，对应的面积是，则是以为公比的等比数列，由纸的面积，所以纸的面积.故答案为：.16.已知，，，，都在同一个球面上，平面平面，是边长为2的正方形，，当四棱锥的体积最大时，该球的半径为______．【答案】【解析】【分析】先求出四棱锥的体积最大时，为等边三角形，再找出外接球的球心，通过勾股定理即可求得半径.【详解】如图，过点作于，平面平面，平面平面，平面，，故四棱锥的体积最大，即最大，，最大，即面积最大，由,，得，，得，当且仅当 时取等号，此时面积最大，为等边三角形.取的外心为，正方形的外心为，过分别作所在平面的垂线，交点为，即为四棱锥外接球的球心，四边形为矩形，，，设外接球半径为，则.故答案为：.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17.某县为了解乡村经济发展情况，对全县乡村经济发展情况进行调研，现对2012年以来的乡村经济收入（单位：亿元）进行了统计分析，制成如图所示的散点图，其中年份代码的值1—10分别对应2012年至2021年．（1）若用模型①，②拟合与的关系，其相关系数分别为，，试判断哪个模型的拟合效果更好？（2）根据（1）中拟合效果更好的模型，求关于的回归方程（系数精确到0.01），并估计该县2025年的乡村经济收入（精确到0.01）．参考数据：，，，， 72.652.25126.254.52235.4849.16参考公式：对于一组数据，，…，，回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．【答案】（1）的拟合效果更好（2），亿元【解析】【分析】（1）根据相关系数即可得出答案；（2）根据最小二乘法结合题中数据求出，即可求出回归方程，再根据回归方程即可求出该县2025年的乡村经济收入的估计值.【小问1详解】解：因为更接近1，所以的拟合效果更好.【小问2详解】解：根据题中所给数据得，则，所以回归方程为，2025年的年份代码为14，当时，，所以估计该县2025年的乡村经济收入为亿元.18.已知向量，，设函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）设的内角，，所对的边分别为，，，且______，求的取值范 围．从下面三个条件中任选一个，补充在上面的问题中作答．①；②；③，，成等比数列．注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算结合降幂公式以及辅助角公式化简得，结合正弦函数的性质可得增区间；（2）若选①，通过正弦定理以及“切化弦”思想可得，进而得，由正弦函数性质可得结果；若选②，通过正弦定理将边化为角，结合两角和的正弦公式可得，余下同①；若选③，由余弦定理可得，进而得的范围，余下同①.【小问1详解】因为，，所以由，得，即函数的单调递增区间.【小问2详解】若选①， 由正弦定理可得，即，即，由于，所以，解得，由于，得，所以，所以，得，即的取值范围是.若选②，由正弦定理可得，即，由于，所以，由于，得，所以，所以，得，即的取值范围是.若选③，，成等比数列，即，由余弦定理可得，所以，所以，得，即的取值范围是.19.如图（1），已知是边长为6的等边三角形，点，分别在，上，，是线段的中点．将沿直线进行翻折，翻折到点，使得二面角是直二面角，如图（2）． （1）若平面，求的长；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，写出的坐标，由即可求解参数，从而得结果；（2）分别求出平面与平面的一个法向量，结合二面角的向量夹角公式即可求解．【小问1详解】设中点为，因为是边长为6的等边三角形，是线段的中点，则,又因为二面角是直二面角，平面平面，平面所以平面以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：设，则所以因为平面，则，故又，得 解得，故．【小问2详解】因为平面，则平面的一个法向量为由，得设平面的一个法向量为，则，又，取解得故所以故二面角的余弦值为20.已知椭圆：（）的离心率为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上第一象限内的点，直线过点且与椭圆有且仅有一个公共点．①求直线的方程（用，）表示；②设为坐标原点，直线分别与轴，轴相交于点，，试探究的面积是否存在最小值．若存在，求出最小值及相应的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）①；②，【解析】【分析】（1）利用离心率和点的坐标解方程组即可；（2）①设出直线的方程，联立椭圆方程，利用得到关于的一元二次方程，解出，即可写出直线；②直接表示出面积，借助基本不等式求最小值即可.【小问1详解】，解得，故椭圆的方程为.【小问2详解】①由题意知，在椭圆上，故，直线斜率一定存在，设，联立椭圆方程得：，由有且仅有一个公共点，可得，得，，对于确定的点，直线只有一条，即关于的一元二次方程有两个相同的根，，，化简得.②由知，令，，令，，，又，即，得 ，当且仅当时取等号，此时面积最小为，点.【点睛】本题关键点在于设出直线方程后，联立椭圆方程利用判别式进行解题，在得到关于的一元二次方程后，利用两根相等解出，即可写出直线方程.21.已知函数．（1）当时，曲线在点处的切线方程；（2）若为整数，当时，，求的最小值．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，再根据导数的几何意义即可得出答案；（2）由，可得，求导，再令，用导数法得到时，取得极小值，分和时，即论证，再验证是否成立即可.【小问1详解】解：当时，，则，则，，所以曲线在点处的切线方程为；【小问2详解】因为当时，，所以，即，所以，则， 令，则，因为，所以在递增，又，当时，，递减，当时，，递增，所以当时，取得极小值，当时，，即，所以在上递增，则，又，令，在上递增，所以，所以，满足题意；当时，因为a为整数，则，此时，则，，因为函数在都是增函数，所以函数在是增函数，又，所以存在，使得，则当时，，故函数递减， 当时，，故函数递增，又，所以存在，使得，则当时，，故函数递减，当时，，故函数递增，所以，而，即，所以，所以，令，则，令，则，所以函数在上递减，所以，所以，所以函数在上递减，所以,所以，即，满足题意；当时，，则，， 因为函数在都是增函数，所以函数在是增函数，且，所以在上递增，又，所以存在，使得，当时，，故函数递减，，不满足题意，综上：整数的最小值为2.【点睛】思路点睛：本题第二问基本思路是由确定，再由，当时，取得极小值，确定分类标准而得解，特别注意是验证是否成立是本题的关键.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4—4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为(为参数)，曲线的方程为．以坐标原点的极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线及曲线的极坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，满足，求直线的斜率．【答案】（1）；；（2）.【解析】【分析】(1)对于直线l，消掉参数t化为极坐标方程即可；对于C，代入x＝ρcosθ、y＝ρsinθ化简即可； (2)将直线的极坐标方程代入曲线C的极坐标方程，方程的两根的绝对值即为，利用韦达定理即可求l斜率﹒【小问1详解】；；∴直线l的方程为：；曲线的方程为：；【小问2详解】将代入曲线C方程得，①，则M、N的极径为方程①的两根，则，，均为负数，，，∴直线l的斜率.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数．（1）若存在，使得，求实数的取值范围；（2）令的最小值为．若正实数，，满足，求证：．【答案】（1）； （2）证明见解析．【解析】【分析】（1）由绝对值定义分类讨论去绝对值符号化为分段函数，由函数性质得最小值，再解相应不等式可得；（2）由柯西不等式证明．【小问1详解】，所以在上递减，在上递增，所以，，解得；【小问2详解】由（1）得，，所以，当且仅当时等号成立．