河南省六市2022届高三数学（文）三模试题（Word版附解析）

2022年河南省六市高三第一次联合调研检测数学（文科）一､选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合A=｛1，2，3，4｝，，则A∩B=A.｛1,4｝B.｛2，3｝C.{9，16}D.｛1,2}【答案】A【解析】【分析】依题意，，故【详解】依题意，，故.【考点定位】本题考查集合的表示以及集合的基本运算，考查学生对基本概念的理解.2.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为，则下列结论正确的是（）A.B.复数z的共轭复数是C.的实部为D.【答案】C【解析】【分析】依题意可得，再按照复数代数形式乘法运算、共轭复数的定义以及复数模的计算公式一一计算可得；【详解】解：因为复数在复平面内对应的点的坐标为，所以，所以，，，，所以的实部为；故选：C3.中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，2022年2月4日北京冬奥会开幕式，以二十四节气的方式开始倒计时，惊艳全球.某小学一年级随机抽查100名学生并提问“二十四节气歌”，只能说出两句的有32人，能说出三句或三句以上的有45人，据 此估计该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的人数约为（）A.23B.92C.128D.180【答案】B【解析】【分析】先计算100名学生中能说出一句或一句也说不出的人数，根据抽样比例计算即可【详解】由题意，100名学生中能说出一句或一句也说不出的人数为人故该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的人数约为人故选：B4.数列满足，，数列的前n项积为，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意，数列为等比数列，求解通项公式，代入计算即可【详解】由题意，，，故数列为等比数列故选：C5.已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的体积之比为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】设圆锥底面圆半径为，球的半径为，根据题意画出图形，结合图形求出与的关系，再计算球与圆锥的体积和它们的比值.【详解】设圆锥底面圆半径为，球的半径为，由题意知，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，球的大圆是该等边三角形的内切圆，记球的体积为，圆锥的体积为所以，，，所以球与圆锥的体积之比为故选：B6.符号表示大于或等于x的最小整数，在下图中输入的a，b依次为和1.3，则输出的结果是（）A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7【答案】D 【解析】【分析】根据程序框图，先比较a，b大小，然后选择对应的式子计算即可.【详解】因为，所以，所以.故选：D7.已知为锐角，，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】参变分离得，根据的范围并结合三角函数的性质，可求出的取值范围，即可得出答案.【详解】由，可得，因为，所以，则，所以的取值范围为.故选：C.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换、三角函数的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.8.在各面均为正三角形的四面体中，M，N分别是棱AD，BC的中点，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】取中点，连结，，则，是异面直线与所成角，由此能求出异面直线与所成角的余弦值．【详解】取中，连结，， ∵三棱锥的所有棱长都相等，M，N别是棱，的中点，，是异面直线与所成角，设三棱锥的所有棱长为2，则，，.∴异面直线与所成角的余弦值为.故选：B.9.已知菱形ABCD的边长为4，，O为BC的中点，点P满足，，若，则的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】选定基向量，表示出，然后根据数量积的运算，结合，即可求得结果.【详解】由题意知：, ,故,解得，故选：B10.函数是定义在R上的单调函数，，则（）A.9B.8C.3D.1【答案】C【解析】【分析】根据单调性可知为常数，根据与的关系，结合单调性可解.【详解】因为函数是定义在R上的单调函数，且，所以为常数，记，则，所以，，不妨设函数单调递增，且，则，即（矛盾），故.所以，故.故选：C11.已知双曲线的左右焦点分别为，，过点的直线l与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，若到直线l的距离为c，且，则该双曲线的离心率为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】作出草图，过作于点，即，设，在直角三角形中，可知，由双曲线的定义可得，，所以，即，再在直角三角形中利用勾股定理，得到的关系，由此即可求出结果.【详解】如图所示，过作于点，即，设，所以在直角三角形中，，，由双曲线的定义可得，所以，同理可得，所以，即，所以，所以，在直角三角形中，,所以，所以，则双曲线的离心率.故选：A.12.，，，其中，e分别是圆周率､自然对数的底数，则 （）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】判断，采用作商法比较大小，根据的特征，可看作是曲线上两点连线的斜率，结合导数的几何意义，即可比较出二者大小关系，同理比较的大小关系，可得答案.【详解】,而表示连接两点连线的斜率，这两点都在函数的图象上，，如图示，当时，曲线的切线的斜率k满足，所以此时两点连线的斜率，即，而表示连接曲线上两点连线的斜率，如图：而，当时，曲线的切线的斜率满足， 所以此时两点连线的斜率，即，故，故选：D二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线经过点，则M到焦点F的距离为___________.【答案】2【解析】【分析】求出抛物线的标准方程和准线方程，利用抛物线的性质求解即可．【详解】抛物线经过点，故，解得抛物线，标准方程为：．准线方程为：y，点到焦点的距离即为到准线的距离：．故答案为：2．14.设为锐角，若，则的值为____________.【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式，同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式求得所求表达式的值.【详解】为锐角，，. .故答案为：15.若不等式恒成立，则a的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】分析将参变分离可得当时，或成立，构造函数，利用导数研究函数的最值，即可求解.【详解】当时，，此时恒成立，故时，恒成立，即或即或设，则.当时，，单减；当时，，单增.故，故.设，则，所以在单增，不存在最大值.综上可知，a的取值范围是故答案为：16.我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即（其中S为三角形的面积，a，b，c为三角形的三边）.在非直角中，a，b，c为内角A，B，C所对应的三边，若，且，则的面积最大时， ___________.【答案】【解析】【分析】先利用正弦定理将边化为角，化简整理得，带入面积公式，配方可得最值．【详解】，由正弦定理，又，，非直角三角形，，，即，，当且仅当，即时，有最大值.故答案为：三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.必考题：60分，17.已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计，先将800人按001，002，003，…，800进行编号.（1）如果从第7行第5列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号；（附：随机数表的第6行至第10行） 6606574717340727685036697361706581339885111992917081050108054557182405353034281488799074392340309732832697760202051656926855574818730538524718623885796357332135053254704890558575182846828709834012562473796457530352964778358083428260935203443527388438（2）抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：人数数学优秀良好及格地理优秀12204良好10186及格4成绩分为优秀､良好､及格三个等级，横向､纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有人.①若在该样本中，数学成绩优秀率为，求，的值；②若，，将，表示成有序数对，求“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的概率.【答案】（1）010，455，718（2）①，；② 【解析】【分析】（1）根据随机数表法可直接得解；（2）①根据数学成绩优秀率直接计算；②利用古典概型的概率公式直接计算.【小问1详解】依题意，最先检测的3个人的编号依次为010，455，718.【小问2详解】①由，解得，又，所以；②由题意可得，且，，故满足条件的有：，，，，，，，，，共组，其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的有，，，，共组，所以数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为.18.已知数列满足：，.（1）求；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用作差求得：，进而求得的通项公式；（2）首先求出，再采用分组求和即可求出答案.【小问1详解】 当时，，故；当时，两式相减得：，故综上：当时，.【小问2详解】由（1）知所以.19.多面体ABCDE中，与均为边长为2的等边三角形，为腰长为的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F为BC的中点.（1）求证：平面ECD；（2）求多面体ABCDE体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】 【分析】（1）由面面垂直得线面垂直，进而得到线线平行，从而证得线面平行；（2）将多面体ABCDE分为两个三棱锥进行求解体积.【小问1详解】证明：因为为等腰三角形，F为BC的中点，所以AF⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面平面，平面ABC.所以AF⊥平面BCD，取CD的中点G，连接EG，因为是等边三角形，所以EG⊥CD，因为平面CDE⊥平面BCD，交线为CD，且EG平面CDE，所以EG⊥平面BCD，所以，又平面ECD，平面ECD，所以平面ECD.【小问2详解】设多面体ABCDE的体积为V，则，连接DF，因为与均为边长为2的等边三角形，为腰长为的等腰三角形，所以，， 所以，因为，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，所以故.20.椭圆，A，B为其左右顶点，G点坐标为，c为椭圆的半焦距，且有，椭圆E的离心率.（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知O为坐标原点，M，N为椭圆上不重合两点，且M，N的中点H在直线上，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由可得，从而可求出，再由和可求出，进而可得椭圆方程；（2）设，，，则，利用点差法求出直线的斜率为，然后设直线，与椭圆联立方程组，消去，则判别式大于零求出的范围，利用根与系数的关系和弦长公式求出再求出原点到直线的距离，从而表示出的面积，然后利用基本不等式可求出其最大值.【小问1详解】依题意：，，则，. ∴，即.又，解得，，，所以椭圆E的方程为.【小问2详解】设，，，则，因为M，N在椭圆上，有：.设直线，联立，又，得，所以，.原点O到直线的距离.所以.当且仅当，即时等号成立，故面积的最大值为.【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程求法，考察直线与椭圆的位置关系，解题的关键是利用点差法求出直线的斜率，从而可设出直线的方程，再与椭圆方程联立方程组表示出的长，利用点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，进而可表示三角形的面积.21.已知函数（e是自然对数的底数），曲线在点处的切线为.（1）求a，b的值； （2）若不等式在上恒成立，求正实数m的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求导，由切线为，可得，运算即得解；（2）参变分离可得，令，求导分析单调性，可得的最小值为，分析即得解【小问1详解】可得，因为曲线在点处的切线为.所以，解得，.【小问2详解】由（1）知，∵不等式在上恒成立，∴在上恒成立，即在上恒成立.令，∵，当时，解得.∴当时，，为减函数，当时，，为增函数，∴的最小值为，∴，∴正实数m的取值范围为.22.在极坐标系中，射线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，且射线与曲线有异于点的两个交点，. （1）求的取值范围；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据圆心到射线的距离可以确定的范围；（2）联立射线与曲线，将要求的式子用表示出来，结合韦达定理求范围即可.【详解】（1）射线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为.曲线的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为.且射线与曲线有异于点的两个交点，.所以圆心到直线的距离，所以当圆的半径时，射线与圆相切，故，又因为当时，有一个交点为极点，不满足题意，当时，射线与圆只有一个交点，所以.（2）把为，代入，得到，所以，，由于，所以 所以【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换要熟练，二是根与系数的关系的使用.23.已知函数.（1）当时，解不等式；（2）当时，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)a=2，把不等式分段去绝对值符号等价转化为三个一元一次不等式组求解，再求并集而得；(2)在给定条件下化简函数式，计算，再的最小值得解.【详解】（1）当时，等价转化为以下三个不等组：或或，解得或或，即，所以原不等式的解集为；（2）当时，，，， 因为，当且仅当时，取“=”，所以，即.【点睛】含绝对值符号的不等式解法：(1)利用绝对值不等式的几何意义求解；(2)利用“零点分段法”求解；(3)构造函数，利用函数的图象求解.