浙江省温州十校联合体2021-2022学年高二数学下学期期中联考试题（Word版附解析）

2021学年第二学期温州十校联合体期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合，则（　　）A.{2，3}B.{1，2，3，5}C.{1，2，5}D.{1，5}【答案】B【解析】【分析】依据并集的定义去求即可解决.【详解】故选：B2.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由推不出，反之，由可以推出，即可得答案.【详解】由推不出，反之，由可以推出所以“”是“”的必要不充分条件故选：B 【点睛】本题考查的是充分条件和必要条件的判断，较简单.3.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（，），则的值是（　　）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式化简所求的表达式，通过三角函数的定义求解即可．【详解】解：因为角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，所以，，所以，故选：D.4.设a，b，c是空间不同的三条直线，α，β是不同的平面，则下列推导正确的个数是（　　）①②③④⑤A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】依据平行公理可知①判断正确；依据线面平行判定定理否定②；依据线面垂直性质定理可知③判断正确；依据面面平行判定定理否定④；依据面面平行判定定理可知⑤判断正确.【详解】①.判断正确；②或.判断错误；③.判断正确；④或或与相交.判断错误； ⑤.判断正确；综上，推导正确的3个故选：C5.一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为（　　）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】依据题给条件去求一个函数解析式即可解决.【详解】设点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为由，可得，由，可得由t=0时h=0，可得，则，又，则则点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为故选：A6.下表是某饮料专卖店一天卖出奶茶的杯数y与当天气温x（单位：°C）的对比表，已知表中数据计算得到y关于x的线性回归方程为，则据此模型预计 时卖出奶茶的杯数为（　　）气温x/℃510152025杯数y2620161414A.9B.10C.11D.12【答案】A【解析】【分析】先求得的值，再据此模型计算出时卖出奶茶的杯数.【详解】，由，可得，则则据此模型预计时卖出奶茶的杯数为9故选：A7.如图，在平面四边形ABCD中，△BCD是边长为7的等边三角形，，则△ABC的面积为（　　）A.5B.7C.10D.20【答案】C【解析】【分析】先利用余弦定理求得AB的长度，再去求的值，进而可求得△ABC的面积.【详解】由，可得，解之得或（舍）则， 又，则则则△ABC的面积为故选：C8.如图，在直角梯形ABCD中，，，，，M是AD的中点，P是梯形ABCD内一点（含边界），若，且，则的最小值是（　　）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】建立直角坐标系，写出对应的点的坐标与向量的坐标，代入数量积公式计算.【详解】建立如图所示的直角坐标系，设，则，所以，因为，所以，将代入上式，可得，所以， 又，所以，当时，的最小值为.故选：C【点睛】计算向量的数量积时，如果不能直接利用定义求解，可通过建立直角坐标系，利用数量积的坐标表示计算.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.下列计算正确的是（　　）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据指对数的运算可得答案.【详解】，，，，故选：ABD 10.如图是一个正方体的表面展开图，还原成正方体后，下列判断正确的是（　　）A.AC∥FHB.BG与FH所成的角为C.二面角G—AB—C的大小为D.B，D，E，G恰好是一个正四面体的四个顶点【答案】BCD【解析】【分析】将表面展开图还原为正方体，然后逐项分析即可得出答案.【详解】还原为正方体如图：易得与为异面直线，故A错误；连接，因为，，所以四边形为平行四边形，故，故或其补角为异面直线的夹角，设正方体的棱长为，则，所以，所以异面直线与的角为，故B正确；因为平面平面，由于平面，所以，故为二面角的平面角， 由于，且，所以，因此二面角的大小为，故C正确；因为，所以恰好是一个正四面体的四个顶点，故D正确.故选：BCD.11.下列结论正确的是（　　）A.若随机变量，则B.已知随机变量X，Y满足，若，则C.某中学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，现从这10名同学中随机选取3名同学去参加某公益活动（每位同学被选到的可能性相同）.则至少选到2名女同学的概率是0.3D.三批同种规格的产品，第一批占20%，第二批占30%，第三批占50%，次品率依次为6%、5%、4%，将三批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是合格品的概率是0.953【答案】AD【解析】【分析】A选项，B选项分别利用正态分布，二项分布的性质处理，C选项利用古典概型的概率公式计算，D选项利用条件概率解决.【详解】，则正态曲线关于对称，而是关于对称的两个区间，于是，A选项正确；由二项分布的期望方差公式，，，而，于是，，B选项错误；由选项可得，所求的概率为：，C选项错误；根据选项可得，合格品的概率为：，D选项正确.故选：AD 12.已知，且，则（　　）A.ab的最大值为B.的最小值为C.的最小值为D.的最大值为3【答案】ABC【解析】【分析】利用基本不等式求解判断【详解】因为，且，A.，当且仅当时，等号成立，故正确；B.，当且仅当，即时，等号成立，故正确；C.，当且仅当时，等号成立，故正确；D.，当且仅当，即时，等号成立，故错误；故选：ABC非选择题部分三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.若复数z满足（i是虚数单位），则___________.【答案】【解析】【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.详解】由已知可得，因此， .故答案为：.14.在的展开式中的系数为___________.【答案】280【解析】【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项即可计算指定项的系数.【详解】二项式的展开式通项为，由解得，，所以展开式中的系数为280.故答案：28015.从2，4，6，8中任取3个数字，从1，3，5，7，9中任取2个数字，一共可以组成______个没有重复数字的五位偶数（用数字作答）.【答案】2880【解析】【分析】利用分步乘法计数原理，结合排列组合，按位置分析法列式计算作答.【详解】先按给定条件取出偶数和奇数，有种方法，再从3个偶数中取1个放在个位，余下4个数字作全排列，有种方法，由分步乘法计数原理得：，所以一共可以组成2880个没有重复数字的五位偶数.故答案为：288016.已知函数对任意和任意 都有恒成立，则实数a的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】将化为关于的二次式子，利用判别式可将不等式化为对任意恒成立，令，可化为或，即可求出.【详解】，因为对任意和任意都有恒成立，所以对任意恒成立，整理可得对任意恒成立，即或，对任意恒成立，即或对任意恒成立，令，则， 则或对任意恒成立，所以或，因为，当且仅当，即时等号成立，所以，又在单调递减，所以，所以或.故答案为：.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在平面直角坐标系中，已知向量（1）若，求x的值；（2）若与夹角为，求x的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据，由求解；（2）根据与夹角为，得到求解.【小问1详解】解：因为，所以，∴. 又，∴；【小问2详解】因为，∴，，则，又，∴，∴.18.为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策.某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，现从电商平台消费人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，记第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到如下频率分布直方图：（1）求出频率分布直方图中的a值和这200人的年龄的众数、中位数及平均数；（2）从第1，2组中用分层抽样的方法抽取10人，并再从这10人中随机抽取2人进行电话回访，求这两人恰好属于同一组别的概率； 【答案】（1）；众数40、中位数42.1，平均数41.5（2）【解析】【分析】（1）依据频率分布直方图的性质去求a值和众数、中位数及平均数；（2）依据古典概型去求这两人恰好属于同一组别的概率.【小问1详解】由题意得：，所以；众数为最高小矩形底边中点的横坐标，即40；设中位数为x，则平均数为：则可以估计这200人的年龄的众数为40、中位数为及平均数为【小问2详解】利用分层抽样的方法从第一组抽取4人，从第二组抽取6人，依题意，所求的概率为19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.（1）求△ABC各内角的大小；（2）若D，E是边BC上的两点，，，设，△ADE的面积为f（a），求函数f（a）的最小值.【答案】（1），， （2）【解析】【分析】（1）由余弦定理求出，由正弦定理求出，由三角形内角和求出；（2）先用正弦定理求得，，利用面积公式表达出，结合的范围，求出最小值.【小问1详解】∵∴，∴，∴∵∴由正弦定理得：其中∴∵，∴∴∴∴.【小问2详解】由（1）得，△ABC为等腰三角形， ∴在△ABD中，∴同理∴，因为，所以当时，20.如图，在四面体ABCD中，，，M是棱AD的中点.（1）求四面体ABCD的表面积和体积；（2）求直线CM与底面BCD所成的角的正弦值.【答案】（1），（2）【解析】 【分析】（1）根据题意得都是边长为的正三角形，都是等腰三角形，进而求其面积；法一：利用线面角定义即得；法二：利用向量法线面角公式即得.【小问1详解】（1）连结BM，由已知得，∵∴AD⊥面BCM.在△BCM中:∴∴【小问2详解】（2）令M到面BCD的距离为h，直线CM与底面BCD所成的角为.∵ 向量法：表面积求法同上.以BC中点O原点，BC，OD方向为x，y轴正方向，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），C（-1，0，0），D（0，，0）设A（x，y，z）则.即∴到平面BCD的距离为，∴设平面BCD的一个法向量为令直线CM与底面BCD所成的角为θ .21.某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学抽取20名学生，对他们的课外阅读A类（不参加课外阅读），B类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）.调查结果如下表：A类B类C类男生354女生134（1）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加课外阅读与否”与性别有关；男生女生总计不参加课外阅读参加课外阅读总计（2）从抽出女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名女生中B类人数和C类人数差的绝对值，求随机变量X的分布列和均值（数学期望）.附：，其中a0.10.050.010.0050001x02.7063.8416.6357.89710.828【答案】（1）表格见解析，无把握 （2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）依据要求填表，并计算出值后，再判断是否有90%的把握认为“参加课外阅读与否”与性别有关；（2）依据分布列的要求去完成分布列，并依据公式求出随机变量X的均值.【小问1详解】男生女生总计不参加课外阅读314参加课外阅读9716总计12820说明我们没有90%的把握认为“参加课外阅读与否”与性别有关；【小问2详解】随机变量X的可能取值为0,1,2,3,，，随机变量X的分布列X0123P则22.已知函数，（1）判断的奇偶性并证明； （2）若，求最小值和最大值；（3）定义，设.若在内恰有三个不同的零点，求a的取值集合.【答案】（1）偶函数，证明见解析.（2），（3）【解析】【分析】（1）结合奇偶性的定义直接证明即可；（2）将看作整体，结合二次函数的性质即可求出最值；（3）由于，则转化为或，然后分类讨论即可求出结果.【小问1详解】是偶函数证：因为的定义域为,且∴f（x）是偶函数【小问2详解】当，则又∴当时， 当时，【小问3详解】因为都是偶函数.所以在上是偶函数，因为恰有3个零点，所以，则有：或，①当时，即且时，因为当，令，因为，解得或，所以恰有3个零点，即满足条件：.②当时，即且时，此时，当时，只有1个零点，且，所以恰有3个零点等价于恰有2个零点，所以，解得，此时有2个零点符合要求，当时只有一个零点x=0，有2个零点符合要求，当时，解得或，令解得或（舍去），所以的根为，要使恰有3个零点，则综上：【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． （2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．