浙江省温州十校联合体2021-2022学年高一数学下学期期中联考试题（Word版附解析）

2021学年第二学期温州十校联合体期中联考高一年级数学学科试题命题：瑞安市塘下中学一､选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的线性运算化简求解.【详解】解：.故选：A2.在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】由复数与复平面内的点一一对应，即可求出结果.【详解】由知其对应点为，而点在第四象限；故正确答案为【点睛】本题考查复数的几何意义，熟记几何意义即可，属于基础题型.3.下列说法错误的是（）A.一个八棱柱有10个面B.任意四面体都可以割成4个棱锥C.棱台侧棱的延长线必相交于一点D.矩形旋转一周一定形成一个圆柱【答案】D【解析】【分析】根据几何体的定义及特征，利用逐一检验法对各每一个选项依次检验．【详解】解：对于选项A：根据棱柱的定义，八棱柱有8个侧面，2个底面，共10个面，故A 说法正确；对于选项B：任意四面体，在四面体内取一点为，将点与四面体的各个顶点连，即可构成4个棱锥，故B说法正确；对于选项C：根据棱台的定义，其的侧棱的延长线必交于一点，故C说法正确；对于选项D：矩形以一边所在直线为旋转轴旋转形成圆柱，故若以矩形对角线所在直线为旋转轴旋转，不能形成圆柱，故D说法错误.故选：D．4.是钝角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则最大边c取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由与的值，利用三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得出的取值范围，然后再由三角形为钝角三角形，得到小于0，利用余弦定理表示出，把与的值代入，根据小于0列出关于的不等式，求出不等式的解集，取范围的公共部分，即可得到最大边的取值范围．【详解】解：，，，即，又为钝角三角形，最大边为边，所以角为最大角，故，根据余弦定理得，即，即，解得：，，则最大边的取值范围是，．故选：B． 5.如图是一个长方体的展开图，如果将它还原为长方体，那么线段AB与线段CD所在的直线（）A.平行B.相交C.是异面直线D.可能相交，也可能是异面直线【答案】C【解析】【分析】将展开图还原成长方体，即可判断【详解】如图，将展开图还原成长方体，易得线段AB与线段CD是异面直线，故选：C6.如果三个函数的图像交于一点，我们把这个点称“三体点”，若点A是三个函数（t为常数），，的“三体点”，其中，则t的值（）A.0B.1C.D.【答案】B【解析】【分析】根据，由求得即可.【详解】解：由题意得：，则，即， 即，解得或（舍去），因为，所以，所以，故选：B7.在中，，，且AB边上的高为，则满足条件的的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据面积得到，利用正弦定理结合三角恒等变换得到，再求出，结合正弦函数的图象和性质得解.【详解】解：由三角形的面积公式知，即.由正弦定理知，所以，即，即，即，所以， 所以所以所以，又，则，，所以，因为，所以满足的有2个，即满足条件的的个数为2.故选：C8.平面向量，满足与的夹角为，且，则正实数（）A有最小值，但无最大值B.有最小值也有最大值C.无最小值，但有最大值D.既无最小值也无最大值【答案】D【解析】【分析】由可得，又与的夹角为且，进而根据向量减法的几何意义及向量夹角的定义可得，从而可得答案.【详解】解：由，可得，即，所以，由题意，，所以， 所以，又因为与的夹角为，所以，又，所以，所以，所以正实数既无最小值也无最大值，故选：D.二､多选题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9.下面给出的关系式中，正确的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】由数量积的定义依次判断即可.详解】对于A，，，显然不一定相等，A错误；对于B，，B正确；对于C，，故，C正确；对于D，，则，D错误.故选：BC. 10.已知复数，其中z为虚数，则下列结论中正确的是（）A.当时，的虚部为B.当时，C.当时，D.当时，【答案】AB【解析】【分析】由，利用复数的运算转化为复数的代数形式判断.【详解】A.当时，，则的虚部为，故正确；B.当时，，则，故正确；C.当时，，则，故错误；D.设，则，若，则，即，则，故错误.故选：AB11.已知平行六面体的体积为12，任取其中四个不共面的顶点构成四面体，则该四面体的体积可能取值为（）A.2B.3C.4D.6【答案】AC【解析】【分析】结合图形分两种情况可解得结果.【详解】解： 设平行六面体体积为如左图，当取顶点时，则该四面体体积；如右图，当取顶点时，则该四面体体积.故选：AC.12.已知函数，且对于任意，都有，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为πB.的表达式可以写成C.在区间上单调递增D.若，则【答案】AD【解析】【分析】将化为只含有一个三角函数形式，根据确定函数的一个对称中心，由此确定，得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可； 【详解】解：，又，则是函数的对称中心，所以，即又，，，所以的最小正周期，故A正确；因为，故B错误；令，，即，，解得，，所以函数的单调递增区间为，，当时，单调递增区间为，因为，故C错误；对于D：若，即，所以 ，故D正确；故选：AD三､填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.若，则___________.【答案】【解析】【分析】直接利用两角和的正切公式计算可得；【详解】解：因为，所以；故答案为：14.已知向量，满足，同一平面上任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则___________.【答案】4【解析】【分析】如图，根据平面向量的平行四边形法则和减法法则可得，两边同时平方，结合题意计算即可得出结果.【详解】如图， 由平面向量的平行四边形法则可得，，，又，所以，所以.故答案为：4.15.如图所示，有棱长为2的正方体，P为正方体表面的一个动点，若三棱锥的体积为1，则的取值范围是___________. 【答案】【解析】【分析】根据三棱锥的体积求出点到平面的距离，如图在上取点，使得，过点作平面平面，分别在上，结合图形即可得出答案.【详解】解：设点到平面的距离为，则，所以，如图在上取点，使得，过点作平面平面，分别在上，故点在四边形的边上，则当点在点的位置时，最小，为，当点在点的位置时，最大，为，所以的取值范围是.故答案为：.16.在中，，，，其中O为的外心，则的面积最大值为___________. 【答案】【解析】【分析】根据向量的数量积的定义得到，即，由余弦定理求得，得到，结合面积公式求得，设，得到，利用基本不等式求得，即可求得面积的最大值.【详解】由题意，设角所对的边为，因为点O为的外心，可得，所以，即，即，又由余弦定理可得，所以，则的面积，设，可得，又因为，即，所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以，即的面积的最大值为.故答案为：.四､解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.如图，已知O为平面直角坐标系的原点，，， （1）求和的坐标；（2）求向量在向量上的投影向量的坐标.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）依题意求出、、的坐标，即可得解；（2）首先求出，，再根据数量积的几何意义求出向量在向量上的投影，从而求出投影向量；【小问1详解】解：依题意，设，，，，则，，所以，，所以，，【小问2详解】解：由（1）可得，， 所以在向量上的投影长度为，所以在向量上的投影向量为．18.已知函数某一周期内的对应值如下表：（1）根据表格提供的数据求函数的解析式；（2）根据（1）的结果，若函数的最小正周期为，求函数在区间上的值域【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由表格提供的数据知，且，由此得，再把代入，又，求出的值，即可得的解析式；（2），由函数的最小正周期为，得，从而，根据，利用整体思想即可求解函数在区间上的值域．【小问1详解】 解：由表格提供的数据知，且，解得，，，，把代入，得，又，解得，；【小问2详解】解：，函数的最小正周期为，，解得，，，，所以，所以，所以函数在区间上的值域为.19.把一个半径为3的圆，剪成三个完全一样的扇形（如图1所示），分别卷成相同的无底圆锥（衔接处忽略不计）（1）求一个圆锥的体积； （2）设这三个圆锥的底面的圆心分别为，，，将三个圆锥的顶点重合并紧贴一起，记顶点为P（如图2所示），求三棱锥的表面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意求出圆锥的底面周长，设底面半径为，即可取出，再由勾股定理求出圆锥的高，最后由体积公式计算可得；（2）由对称性可知为等边三角形，且，圆锥的母线与的夹角为，即可得到，再设底面圆与圆的圆锥在底面的交点为，设，即可求出，从而求出，再由余弦定理求出，即可求出，再求出，最后根据计算可得；【小问1详解】解：依题意圆锥的底面周长为，设底面半径为，则，解得，所以圆锥的高，所以圆锥的体积【小问2详解】解：由对称性可知为等边三角形，， 设圆锥的母线与的夹角为，则；记底面圆与圆的圆锥在底面的交点为，设，则；所以，由余弦定理，所以，连接与交于点，则，所以，所以20.请先阅读下列材料；在作战中，有经验的步兵往往能通过“跳眼法”估测物体和自己的距离.具体过程如下：第一步，向正前方伸直左手手臂，竖起拇指；第二步，将右眼闭上，靠左眼观察目标，伸直并端平并移动（可以把左眼到左手拇指的距离看成手臂长），使得目标恰好位于拇指左侧边缘处；第三步，伸出的手臂保持不动，闭上左眼，靠右眼观察，大体估计从左 手拇指左侧看到的另一物体与目标的距离；最后即可根据该距离以及你手臂长度､两眼间距来计算你到目标的距离.一般自动步枪有效射程为400，现一人需用自动步枪射击目标P，先采用“跳眼法”预测自己与目标P的距离，此人手臂长60，双眼间距6，面朝正北方向，测量时与上述第一步第二步完全相同，第三步用右眼观察时，拇指左侧恰好对准的是参照物Q，参照物Q在目标P的北偏西，且与目标P的距离为133.2，（如图所示）（1）求（2）若此人在A处开枪射击，请问目标P是否在射程范围内？请说明理由.【答案】（1）（2）详见解析【解析】【分析】（1）易得，再由求解；（2）由，得到CM，进而得到CP，然后由AP=AC+CP与400m比较即可.【小问1详解】解：如图所示： ，所以，所以，，，；【小问2详解】因为，且，所以，即，解得，则，所以，所以目标P不在射程范围内.21.已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且. （1）若，，求B；（2）若，求的最大值.【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）由正弦定理可将已知条件化为，即，进而可得，然后根据三角形的面积公式及余弦定理可得，，从而即可求解角B的大小；（2）由（1）知，则由余弦定理可得，又，进而可得，联立可得，最后利用均值不等式重要变形即可求解.【小问1详解】解：在中，因为，所以由正弦定理可得，所以，又，所以，所以，由正弦定理可得，因为，所以，即,因为，所以由余弦定理有 ，所以，即，因为，所以，所以，即；【小问2详解】解：由（1）知，所以由余弦定理有，即，因为，所以，所以，即，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为4.22.点Q在半径为1的圆P上运动的同时，点P在半径为2的圆O上运动，O为定点，P､Q两点的初始位置（如图1所示），其中，且两点均以逆时针方向运动，当点P转过角度α时，Q转过的角度为2α（如图2所示），其中且，G为的重心， （1）求证：为定值；（2）把三个实数a，b，c的最小值记为，若，求m的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】分析】(1)由图可得、，根据平面向量的线性运算和坐标表示求得，结合重心的定义求出点G的坐标，利用向量数量积的坐标表示即可证明；(2)结合(1)可知的坐标，利用向量数量积的坐标表示分别求出、、，结合的取值范围即可得出结果.【小问1详解】由题意知，建立如图平面直角坐标系，由图可知， ，，所以，由为的重心，得，且，所以，则，即为定值；【小问2详解】由(1)知，，，，则，同理，可得，，又，所以，有，，，所以的最小值为， 即m的取值范围为.