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浙江省杭州地区(含周边重点中学)2021-2022学年高二数学下学期期中联考试题(Word版附解析)
浙江省杭州地区(含周边重点中学)2021-2022学年高二数学下学期期中联考试题(Word版附解析)
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2021学年第二学期期中杭州地区(含周边)重点中学高二年级数学学科试题一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列满足,则()A.5B.10C.20D.40【答案】C【解析】【分析】利用等差中项的性质求解.【详解】解:由题得.故选:C2.已知函数的导函数的图象如右下图所示,则的图象可能是()A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】利用导函数与函数的单调性的关系即得.【详解】由题可知,函数单调递增,,函数单调递增.故BCD错误.故选:A.3.数列()A.既有最大项,又有最小项B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项D.既无最大项,又无最小项【答案】A【解析】【分析】结合指数函数单调性和值域即可判断.【详解】∵,,∴根据指数函数单调性可知,在1≤n≤10时为减数列且为负,在n≥11时也为减数列且为正,故数列最小项为第10项,最大项为11项.故选:A.4.已知随机变量满足,则()A.5B.6C.12D.18【答案】D【解析】【分析】根据方差的性质计算可得;【详解】解:因为,所以;故选:D5.数列的前2022项和为() A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】依题意,利用裂项相法求和即可;【详解】解:记前项和为,则;故选:B6.已知定义在上的可导函数满足,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件构造函数,对函数求导,可判断出函数的单调性,然后由函数的单调性比较大小即可【详解】令,则,因为,,所以, 所以在上为减函数,所以,所以,所以,故选:C7.某项射击试验中,某人首射中靶概率为0.6,若前一次中靶,则后一次中靶的概率为0.9,若前一次不中靶,则后一次中靶的概率仍为0.6.若此人射击二次,则该人第二次中靶的条件下,第一次中靶的概率是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】直接由条件概率公式计算即可.【详解】设第一次中靶为事件A,第二次中靶为事件B,则,,则.故选:B.8.已知前项和为的数列满足,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用赋值法,分别令求出,,再令可得,再由可求得结果【详解】因为,所以, 所以,所以,同理,因为,所以,所以,所以,故选:B二、多选题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.下列求导错误的是()A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据基本初等函数的导数公式,导数的运算法则及简单的复合函数的导数计算法则计算可得;【详解】解:对于A:,故A错误;对于B:,故B错误;对于C:,故C正确; 对于D:,故D错误;故选:ABD10.已知二项式的展开式中()A.含项的系数为28B.所有项的系数和为1C.二项式系数最大的项是第五项D.系数最大的项是第六项【答案】BC【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式,对四个选项一一讨论:对于A:利用通项公式直接求解;对于B:利用赋值法,令x=1,即可求得;对于C:利用二项式系数性质可得;对于D:每一项的系数记为.直接求出系数最大的项.【详解】二项式的展开式的通项公式为.对于A:含项为.故A错误;对于B:在二项式的展开式中,令x=1,可得所有项的系数和为1.故B正确;对于C:二项式的展开式一共有9项,由二项式系数的性质可得,二项式系数最大的项是第五项.故C正确;对于D:每一项的系数记为.显然r为奇数,;r为偶数,.要求系数最大的项,只需比较r为偶数的情况:r=0时,;r=2时,;r=4时,;r=6时,;r=8时,.故系数最大的项为第七项.故D错误.故选:BC.11.已知,,()A.若事件独立,则 B.若事件互斥,则C.若事件独立,则D.若事件互斥,则【答案】AB【解析】【分析】根据条件概率的公式及独立事件与对立事件的概率公式即可求解.【详解】对于A,因为事件独立,所以,所以,故A正确;对于B,因为事件互斥,所以,,故B正确;对于C,因为事件独立,所以,所以,故C不正确;对于D,因为事件互斥,所以,所以,故D不正确.故选:AB.12.已知()A.若,则,使函数有2个零点 B.若,则,使函数有2个零点C.若,则,使函数有2个零点D.若,则,使函数有2个零点【答案】ACD【解析】【分析】数形结合,将问题转化为判断直线与曲线交点个数【详解】令,则所以设,则当时,,单调递增;当时,,单调递减在处取得极大值当趋向于时,趋向于;当趋向于时,趋向于又,且当时,;当时,所以,是函数的拐点,所以在处的切线方程为,即如图所示,ACD正确,B错误故选:ACD三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.函数在区间上的平均变化率是___________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件求出函数值的增量,再利用平均变化率的意义计算即得.【详解】依题意,在区间[1,1+]内的函数值的增量为:=f(1+Δx)-f(1)=-1=,于是得=,所以所求的平均变化率为.故答案为:14.函数的极小值点是___________.【答案】2【解析】【分析】利用函数极值点的定义求解.【详解】解:因为函数,所以,令,得或,当或时,,当时,,所以的极小值点是2,故答案为:215.5位学生被分配到3个志愿点作志愿者,每个志愿点至少分配一位学生,其中甲乙不能分配到同一个志愿点,则共有___________种不同的分配方式(用数字作答).【答案】114 【解析】【分析】先把5位学生分为两类分别为3,1,1和2,2,1,再用分步分类计数原理及间接法,结合组合数公式即可求解.【详解】由题意可知5位学生被分配到3个志愿点作志愿者,,共有种.甲、乙分配到同一个志愿点,有种所以不同的分配方案有种故答案为:114.16.已知等比数列的前项和为,若对于,恒成立,则等比数列的公比为___________.【答案】【解析】【分析】由题可得恒成立,由时,可得,进而,即得.【详解】设等比数列的公比为,由题可知,由,可得,∴,即,当时,,∴,又,,恒成立,则,解得(正值舍去). 故答案为:.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知.(1)求;(2)求函数的单调递增区间.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用倍角公式及辅助角公式化简,再将代入计算即可;(2)根据三角函数的单调性进行转化即可求解.【小问1详解】.【小问2详解】由(2)知,,由,,解得,所以函数单调递增区间是.18.如图,已知三棱锥,平面,,,,.、分别为、的中点. (1)证明:平面;(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)利用中位线的性质可得出,再利用线面平行的判定定理可证得结论成立;(2)过点在平面内作,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得点到平面的距离.【小问1详解】证明:因为、分别为、的中点,则,平面,平面,因此,平面.【小问2详解】解:过点在平面内作,因为平面,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系, 则、、、、、,设平面的法向量为,,,则,取,可得,,所以,点到平面的距离为.19.盒子里有3个球,其中2个白球,1个红球.从中随机取球,若取到红球则放回,若取到白球,则不放回,当第2次取到红球时,取球终止.(1)求恰好取了4次球的概率;(2)设游戏终止时取出的白球个数为随机变量,求的分布列及期望.【答案】(1);(2)分布列答案见解析,数学期望:.【解析】【分析】(1)由题可知前3次取得1次红球,2次白球,第4次为红球,以取得红球为标准分类即得;(2)由题可得的取值为0,1,2,分别求概率即得分布列,再利用期望公式可得.【小问1详解】由题可知前3次取得1次红球,2次白球,第4次为红球,设第次取到红球的事件记为,,则,,,故恰好取了4次球的概率; 【小问2详解】由题可知的取值为0,1,2,,所以的分布列为:012所以.20.阿司匹林(分子式,分子质量180)对血小板聚集的抑制作用,使它能降低急性心肌梗死疑似患者的发病风险.对于急性心肌梗死疑似患者,建议第一次服用剂量300,嚼碎后服用以快速吸收,以后每24小时服用200.阿司匹林口服后经胃肠道完全吸收,阿司匹林吸收后迅速降解为主要代谢产物水杨酸(分子式,分子质量138),降解过程生成的水杨酸的质量为阿司匹林质量的,水杨酸的清除半衰期(一般用物质质量衰减一半所用的时间来描述衰减情况,这个时间被称作半衰期)约为12小时.(考虑所有阿司匹林都降解为水杨酸)(1)求急性心肌梗死疑似患者第1次服药48小时后第3次服药前血液中水杨酸的含量(单位);(2)证明:急性心肌梗死疑似患者服药期间血液中水杨酸的含量不会超过230.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)设是小时后第次服药前血液中水杨酸的含量,先求出,再表示出递推关系式,即可求解; (2)先由(1)中递推关系式构造得到等比数列,求得,再求得刚服药后即可求解.【小问1详解】设是小时后第次服药前血液中水杨酸的含量,易知每24小时,水杨酸的含量变为原来的,则,时,,;【小问2详解】由(1)知,,则是以首项为,公比为的等比数列,故,,,故急性心肌梗死疑似患者服药期间血液中水杨酸的含量不会超过230mg.21.已知点为双曲线右支上的点,双曲线在点处的切线交渐近线于点,.(1)证明:为中点;(2)若双曲线上存在点使的垂心恰为原点,求的取值范围.【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】【分析】(1)设,代入双曲线方程,得到的切线方程,进而联立渐近线方程分别求出,通过运算即可证明为中点.(2)双曲线上存在点,设,,通过联立与,得到的坐标,然后分别把代入双曲线方程,利用双曲线的几何性质,得到的范围.【小问1详解】设,满足,过的切线方程点满足方程,,同理可得点满足方程,;.所以为中点;【小问2详解】双曲线上存在点,,.由直线与直线得点坐标为,由,得点坐标,将点坐标代入双曲线方程得, 与点满足的方程联立得,解得,即.22.已知函数,实数,为方程的两个不等的根.(1)求实数的取值范围;(2)证明:.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)利用函数的单调性即可求解;(2)通过观察发现在处的切线方程为,在处的切线方程为,利用导数即可证明和,再利用在区间和上的切线与的交点的横坐标与零点的关系即可证明.【小问1详解】函数的定义域为,,所以在上单调递增,在上单调递减,则,所以【小问2详解】在处的切线的斜率为,其切线方程为,首先证明: ,,在上单调递增,在上单调递减,的最大值,所以成立,在处的切线的斜率为,其切线方程为,再证明:,,在上单调递增,在上单调递减,的最大值,所以成立,不妨设,实数,为方程的两个不等的实根,设直线与在处的切线的交点的横坐标为,则可得,由可得,设直线与在处的切线的交点的横坐标为,则可得,由可得, 所以.
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高中 - 数学
发布时间:2023-04-18 21:33:02
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