江苏省扬州市宝应县2021-2022学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

2021-2022学年度第二学期期中检测试卷高二数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.点关于Oxy平面的对称点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据点关于坐标轴，坐标平面对称时，关于谁对称谁不变可得.【详解】关于Oxy平面对称的点的x，y坐标不变，只有z坐标相反，所以点关于Oxy平面的对称点的坐标为．2.已知，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】化简函数的解析式，利用基本初等函数的导数公式可求得结果.【详解】因为，因此，.故选：D.3.设点，，.若，则点的坐标为（）AB.C.D. 【答案】B【解析】【分析】根据向量的相等求解即可.【详解】设，则，而，则有，所以.故选：B4若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将展开得，化简计算即可.【详解】∵，∴，化简可得，则.故选：B5.如图所示，空间四边形中，，点M在上，且，N为中点，则等于（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】结合空间向量的线性运算即可求出结果.【详解】,故选：B.6.青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答．某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为，且两题是否答对相互之间没有影响，则至少答对一个问题的概率是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析】结合相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.【详解】依题意，至少答对一个问题的概率是.故选：A7.把4本不同的书分给3名同学，每个同学至少一本，则不同的分发数为（）A.12种B.18种C.24种D.36种【答案】D【解析】分析】根据题意可知一名同学分得两本书，其余两名同学各分得一本书，利用排列组合数进行计算.【详解】根据题意可知一名同学分得两本书，其余两名同学各分得一本书，不同的分发数为种.故选：D【点睛】本题考查简单的排列组合问题，属于基础题.8.的展开式中的系数为（）A.B.C.120D.200 【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定的系数.【详解】展开式的通项公式为，当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；据此可得：的系数为.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查二项式定理具体展开项的系数求解问题，解题的关键是写出的通项，再分类讨论的值，确定的系数，考查学生的分类讨论思想与运算能力，属于中档题.二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.某人进行射击，共有发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为，则“”表示的试验结果包括（）A.第次击中目标B.第次未击中目标C.前次未击中目标D.第次击中目标【答案】ABC【解析】【分析】分析可知，“”表示前次没有击中目标，由此可得出结论.【详解】由题意可知，“”表示前次没有击中目标，第次击中目标或未击中目标均可.故选：ABC.10.3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（） A.共有60种不同的坐法B.空位不相邻的坐法有72种C.空位相邻的坐法有24种D.两端不是空位的坐法有27种【答案】AC【解析】【分析】对于A，采用组合先选出座位，再根据排列方法安排座位；对于B，利用插空法；对于C，利用捆绑法；对于D，利用特殊元素优先法.【详解】对于A，，故正确；对于B，，故错误；对于C，，故正确；对于D，，故错误，故选：AC.11.已知函数，下列说法中正确的有（）A.函数的极大值为，极小值为B.若函数在上单调递减，则C.当时，函数的最大值为，最小值为D.若方程有3个不同的解，则【答案】ABD【解析】【分析】可以通过求导，来分析函数的单调性，及极值，最值，进而得出结论.【详解】的定义域为令，得或2，所以在单调递增，在上单调递减，故B正确， 极大值，极小值，故A正确，方程有3个不同的解，则，D正确，，当时，函数的最大值为，最小值为，故C不正确，故选：ABD12.下图为类长方体的几何体，则在下面的说法中，正确的是（）A.若上图是棱长为1正方体，则直线与平面所成的角是B.若上图是长方体，，则在棱AB上存在唯一一点Q满足时，a的值等于2C.若上图是棱长为1的正方体，点P在线段上运动，则的最小值为D.若上图是棱长为1的正方体，M是棱的中点，P是的延长线与DC的延长线的交点，则在线段AP上不存在点Q，使得MQ⊥平面【答案】BCD【解析】【分析】依题意可得为直线与平面所成的角，求出，即可判断A，建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断B、C、D； 【详解】解：对于A：因为平面，所以直线与平面所成的角是，因为，所以，故A错误；对于B：以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，，设，则：．由，得，即．当，即当时，符合题意的点Q有且只有一个．故B正确．对于C：如图2，将与四边形沿展开到同一个平面上，如图所示，线段的长度即为的最小值．在中，利用余弦定理得，故C正确： 对于D：可分析正方体的一部分：如图建立空间直角坐标系，则由已知得，，，设平面的一个法向量为，则取，则，所以平面的一个法向量为． 假设．则．若MQ⊥平面则与共线．所以成立，即但此关于的方程组无解．故不存在点Q，使得MQ⊥平面，故D正确．故选：BCD三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线在点(0，1)处的切线方程为________．【答案】【解析】【分析】对函数求导，将代入可得切线斜率，进而得到切线方程．【详解】解：，切线的斜率为则切线方程为，即故答案为：14.若，且，则实数______________.【答案】【解析】【分析】利用已知条件求出，然后，求出即可.【详解】，,, ,即，解得：.故答案为：【点睛】本题考查空间向量的数量积的应用，向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.15.冬天是鼻炎和感冒的高发期，某人在冬季里鼻炎发作的概率为0.96，鼻炎发作且感冒的概率为0.84，则此人在鼻炎发作的情况下，感冒的概率为________．【答案】【解析】【分析】设某人在冬季里鼻炎发作为事件A，感冒为事件B，则，，利用条件概率计算公式能求出此人在鼻炎发作的情况下，感冒的概率．【详解】解：设某人在冬季里鼻炎发作为事件A，感冒为事件B，则，，则此人在鼻炎发作的情况下，感冒的概率为．故答案为：．【点睛】条件概率是在一定条件下某事件发生的概率，这意味着事件的发生的前提的作用是不可忽视的，同时也强调了某事件的发生对另一事件发生的影响．这类问题的求解除了运用公式求解之外，也可以使用定义进行求解．16.在即将来临的五一长假期间，某单位本来安排、、、、共5个人在5天中值班，每天1人，每人值班1天，但4月28日时接到通知、员工必需出差，故调整为每天1人，每人至少值班1天，现在只有、、共3个人在五一长假期间共有______种不同的值班方案（用数字作答）．【答案】150【解析】【分析】由题知，3人值班5天可以分两种情况：1人值三天，其余2人各值1天；1人值1天，其余2人各值2天.分别计算出结果相加即可.【详解】由题知，3人值班5天可以分两种情况：1人值三天，其余2人各值1天，共有 种方案；1人值1天，其余2人各值2天，共有.因此共有种值班方案.故答案为：150四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.要从6名男生4名女生中选出5人参加一项活动．（1）有多少种不同的选法？（用数字作答）（2）甲当选且乙不当选，有多少种不同的选法？（用数字作答）（3）至多有2名男生当选，有多少种不同的选法？（用数字作答）【答案】（1）252（2）70（3）66【解析】【分析】（1）直接利用组合问题即可得解；（2）甲当选，乙不当选，则从剩余8人选4人即可；（3）分1男4女，2男3女两种情况，即可得解.【小问1详解】解：；【小问2详解】解：若甲当选，乙不当选，则从剩余8人选4人即可，即种选法；【小问3详解】解：至多有2名男生当选，则有1男4女，2男3女，两种情况，共有种选法．18.设函数，若函数的图象在点处与直线相切．（1）求实数、的值；（2）求函数极值﹒【答案】（1）1、；（2）极大值为，无极小值﹒【解析】 【分析】(1)由题可知，解方程组即可得a、b的值；(2)根据导数求f(x)单调性，根据单调性即可求极值.【小问1详解】，由题可知，解得，；【小问2详解】由(1)可知，，，x＞0，时，，单调递增，时，，单调递减，∴f(x)有极大值，无极小值.19.如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，是的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先建立空间直角坐标系．设出点的坐标，求出两直线的方向向量，最后利用向量的夹角公式计算即得异面直线BE与AC所成的角的余弦值；（2）先分别求得平面ABE的法向量和平面BEC的一个法向量，再利用夹角公式求二面角的余弦值，根据三角函数同角关系即可求得正弦值．【小问1详解】以为原点，，，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，则有，，，.，..由于异面直线与所成的角是锐角，故其余弦值是.【小问2详解】.设平面的法向量为，则由，得，取.由题意可得，平面为平面，则其一个法向量为，， 则，即二面角的正弦值为．20.在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；条件②：只有第5项的二项式系数最大；条件③：所有项的二项式系数的和为256.问题：在的展开式中，___________.（1）求的值；（2）若其展开式中的常数项为112，求其展开式中所有的有理项.【答案】（1）条件选择见解析，（2）有理项为：，，.【解析】【分析】（1）选①，根据二项式系数的性质求得正确答案；选②，根据二项式系数的最值求得正确答案；选③，根据二项式系数和求得正确答案.（2）利用二项式展开式的通项公式求得所有的有理项.【小问1详解】选①，，所以；选②，第5项的二项式系数最大，所以；选③，二项式系数的和为.【小问2详解】二项式展开式的通项公式为：，当时，，（负根舍去）. 所以有理项为，，；即，，.21.从棱长为1的正方体的8个顶点中任取不同2点，设随机变量是这两点间的距离．（1）求概率；（2）求的分布列，并求其数学期望．【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）利用组合知识和古典概型概率计算公式计算可得答案；（2）求出随机变量的取值和对应的概率可得分布列，再由期望公式计算可得答案.【小问1详解】从正方体的8个顶点中任取不同2点，共有种，因为正方体的棱长为1，所以其面对角线长为，正方体每个面上均有两条对角线，所以共有2×6＝12条，因此．【小问2详解】随机变量的取值共有1，，三种情况，正方体的棱长为1，而正方体共有12条棱，于是，从而，所以随机变量ξ的分布列是1P 因此．22.如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.【答案】(1)(2)【解析】【详解】试题分析：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为．（1）因为平面，所以是平面的一个法向量，． 因为．设平面的法向量为，则，即，令，解得．所以是平面的一个法向量，从而，所以平面与平面所成二面角的余弦值为．（2）因为，设，又，则，又，从而，设，则，当且仅当，即时，的最大值为．因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值．又因为，所以．考点：二面角的计算，异面直线所成的角，最值问题.【方法点晴】求二面角常采用求法向量直接公式计算的方法去解决，原则是半平面有现成的垂线就直接做法向量，没有现成的垂线就设法向量，求出法向量后再算二面角；第二步的最值问题很好，是高考很常见的形式，多发生在圆锥曲线题目中，一要会换元，如本题中的设，二要会处理分式如本题中的 ，当然这一步有时使用均值不等式（或对勾函数），个别题还可使用导数求最值.