江苏省南京市、镇江市部分名校2021-2022学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

高二年级期中考试数学试题2022.04一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线和直线，则与之间的距离是（）A.B.C.2D.【答案】A【解析】【分析】利用平行线间的距离公式计算即可【详解】由平行线间的距离公式得故选：A2.在新冠疫情的冲击下，全球经济受到重创，右图是各国公布的2020年第二季度国内生产值（GDP）同比增长率，现从这5个国家中任取2个国家，则这2个国家中第二季度GDP同比增长率至少有1个低于的概率为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用列举法求解即可【详解】解：令中国、澳大利亚、印度、英国、美国的2020年第二季度国内生产值（GDP）同比增长率分别为A，B，C，D，E，其中C，D都低于，则从这5个国家中任取2个国家有：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10种，其中至少有1个低于有AC，AD，BC，BD，CD，CE，DE共7种，所以所求概率为.故选：D.3.若，则的值为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】利用赋值法可求出结果.【详解】在中，令，得，在中，令，得，所以.故选：C4.统计某校1000名学生的某次数学同步练习成绩（满分150分）根据成绩依次分为六组，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（） A.B.C.100分以下的人数为60D.成绩在区间的人数有470人【答案】B【解析】【分析】由频率分布直方图中所有频率和为1可得值，由频率分布直方图得频率，从而可得相应区间人数，从而判断各选项．【详解】由频率分布直方图得，，A正确，B错误；100分以下的人数为，C正确；成绩在区间的人数为，D正确．故选：B．5.已知函数，若函数在上存在最小值，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】对求导，并求出单调性，进而求出极值，通过题意列出不等数组，求解即可.【详解】依题意求导得，可得和为函数的极值， 函数的增区间为，，减区间为，由，，又由，因式分解为，解得或(或观察出)，若函数在上存在最小值，有，解得，故选：A.6.现有5名抗疫志愿者被分配到栗雨、南塘、泰山、云里四个不同社区进行疫情防疫控制，每名志愿者只分配到一个社区，每个社区至少分配名志愿者，则不同的分配方案有（）A.种B.种C.种D.种【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，将5名抗疫志愿者分成4组，再分配到4个社区列式计算作答.【详解】依题意，有2人去一个社区，其余每个人去1个社区，先将5人分成4组，有种分法，再将4组人分到4个社区有种方法，由分步乘法计数原理得：，所以不同的分配方案有种.故选：C7.一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】恰好取5次球时停止取球，分两种情况3，1，1及2，2，1，这两种情况是互斥的，利用等可能事件的概率计算每一种情况的概率，再根据互斥事件的概率得到结果． 【详解】分两种情况3，1，1及2，2，1这两种情况是互斥的，下面计算每一种情况的概率，当取球的个数是3，1，1时，试验发生包含的基本事件总数事件是，满足条件的事件数是∴这种结果发生的概率是同理求得第二种结果的概率是根据互斥事件的概率公式得到.故选：B．【点睛】此题考查根据古典概型求解概率，关键在于准确分类，求出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.8.曲线上存在两点A，B到直线到距离等于到的距离，则（）A.12B.13C.14D.15【答案】D【解析】【分析】由题可知A，B为半圆C与抛物线的交点，利用韦达定理及抛物线的定义即求.【详解】由曲线，可得，即，为圆心为，半径为7的半圆，又直线为抛物线的准线，点为抛物线的焦点，依题意可知A，B为半圆C与抛物线的交点， 由，得，设，则，，∴.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.如图是函数的导函数的图像，则以下说法正确的是（）A.-2是函数的极值点；B.函数处取最小值；C.函数在处切线的斜率小于零；D.函数在区间上单调递增.【答案】AD【解析】分析】根据导函数图像分析函数单调性，对选项逐一判断【详解】根据导函数的图象可得，当上，，在上，，故函数在上函数单调递减；在，函数单调递增，所以是函数的极小值点，所以A正确；其中两侧函数的单调性不变，则在处不是函数的最小值，所以B不正确；由图象得，所以函数在处的切线的斜率大于零，所以C 不正确；由图象可得，当时，，所以函数在上单调递增，所以D是正确的，故选：AD10.已知双曲线：，则（）A.双曲线的焦距为4B.双曲线的两条渐近线方程为：C.双曲线的离心率为D.双曲线有且仅有两条过点的切线【答案】ABD【解析】【分析】根据双曲线的方程求焦距、渐近线方程、离心率，判断ABC，由直线与双曲线的位置关系判断D．【详解】由双曲线标准方程得，，所以，焦距为4，A正确；，渐近线方程为，B正确；离心率为，C错误；设过的直线的方程为，代入双曲线方程得：（*），，即时，方程（*）只有一解，此时直线与渐近线平行，与双曲线相交，又由得，此时方程（*）有两个相等的实数解，此时直线与双曲线相切，即相切的直线有两条，D正确． 故选：ABD．11.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（）A.某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B.课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法C.课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法D.课程“礼”排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有96种排法【答案】ACD【解析】【分析】利用直接法、间接法、捆绑法以及分步乘法计数原理依次判断选项即可.【详解】A：6门中选2门共有种选法，故A正确；B：利用间接法，课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有种排法，然后全排列有种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有种，没有限制条件时共有种排法，故“乐”“射”排在不相邻的两周有种排法，故B错误；C：课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，即把这三个当作一个整体，有种排法，然后全排列有种排法，根据分步乘法计数原理，得共有种排法，故C正确；D：先特殊后一般，先把“礼”排在第一周，再排“数”，有种排法，再把剩下4个全排列，有种排法，根据分步乘法计数原理，得共有种排法，故D正确.故选：ACD.12.在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（） A.当为中点时，为锐角B.存在点，使得平面C.的最小值D.顶点到平面的最大距离为【答案】ABD【解析】【分析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，当为中点时，根据判断得符号即可判断A；当平面，则，则有，求出，即可判断B；当时，取得最小值，结合B即可判断C；利用向量法求出点到平面的距离，分析即可判断D.【详解】解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，则，则，故， 则，，对于A，当为中点时，则，，则，，所以，所以为锐角，故A正确；当平面，因为平面，所以，则，解得，故存在点，使得平面，故B正确；对于C，当时，取得最小值，由B得，此时，则，，所以，即的最小值为，故C错误；对于D，，设平面的法向量， 则有，可取，则点到平面的距离为，当时，点到平面的距离为0，当时，，当且仅当时，取等号，所以点到平面的最大距离为，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在等差数列中，已知，则___________.【答案】【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式可化简得到，根据等差数列的性质即可求得答案.【详解】由题意在等差数列中，设公差为d,则所以，于是，故答案为：1014.如图，一个地区分为5个区域，现给5个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有______种．【答案】72【解析】【分析】分成选用3种颜色和4种颜色全选两类分别计算，再求和即可【详解】选用3种颜色时，必须是②④同色，③⑤同色，与①进行全排列，涂色方法有种；4种颜色全选时，②④同色或③⑤同色，涂色方法有种．所以共有种不同的涂色方法．故答案为：7215.设函数，已知，且，若的最小值为，则的值为___________.【答案】【解析】【分析】设，则，可得出，，令，，对实数的取值范围进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，结合可求得实数的值. 【详解】因为，所以，函数在、上均为增函数，设，则，且，，则，，令，，则，①当时，即时，，在上单调递减，，解得，合乎题意；②当时，即时，若，则，若，则，函数在上单调递减，在上单调递增，，得（舍去），综上，.故答案为：.16.在圆内，过点互相垂直两条直线，与圆分别相交于点A，C和B，D，则四边形ABCD的面积的最大值为_______.【答案】15【解析】【分析】先求出、有一条斜率为零，另外一条斜率不存在时的四边形ABCD的面积，当、斜率均存在且不为零时，设AC中点为H，BD中点为G，设=d ，根据几何条件表示出和，根据对角线互相垂直的四边形面积公式结合基本不等式即可求四边形面积的最大值，与、有一条斜率为零时的面积比较即可得结果．【详解】由，设圆心为F(1，3)，半径r=，当，有一条垂直于x轴时，不妨设⊥x轴，⊥y轴，则，，；当，斜率均存在且不为零时，设AC中点为H，BD中点为G，则FH⊥AC，FG⊥BD，又∵AC⊥BD，故四边形EHFG是矩形， 设圆心F到BD的距离=d，则，，，，当且仅当，即时取等号；，∴四边形ABCD面积的最大值为15﹒故答案为：15．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数在其图象上的点处的切线方程为．（1）求a，b，c的值；（2）求的单调区间与极值． 【答案】（1）；（2）单调减区间为，单调增区间为，的极小值为，无极大值.【解析】【分析】（1）求原函数的导函数，由点在切线上求出c，再由求出参数a、b即可.（2）由（1）得，根据的符号判断的单调区间，并确定极值情况.【小问1详解】由题设，，且，又，解得．【小问2详解】由（1）得：，∴，令，解得；令，解得，∴的单调减区间为，单调增区间为，∴当时，的极小值为，无极大值．18.在二项式展开式中，第3项和第4项的二项式系数比为.（1）求n的值及展开式中的常数项；（2）求展开式中系数最大的项是第几项.【答案】（1），常数项为（2）5 【解析】【分析】（1）求出二项式的通项公式，求出第3项和第4项的二项式系数，再利用已知条件列方程求出的值，从而可求出常数项，（2）设展开式中系数最大的项是第项，则，从而可求出结果【小问1详解】二项式展开式的通项公式为，因为第3项和第4项的二项式系数比为，所以，化简得，解得，所以，令，得，所以常数项为【小问2详解】设展开式中系数最大的项是第项，则，，解得，因为，所以，所以展开式中系数最大的项是第5项19.这三个条件中任选一个，补充在下面题目条件中，并解答.①，；②，；③. 问题：已知数列的前项和为，，且___________.（1）求数列的通项公式；（2）已知是、的等比中项，求数列的前项和.【答案】（1）条件选择见解析，（2）【解析】【分析】（1）选①，可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式；选②，可推导出，可知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式；选③，分析可知数列为等差数列数列，确定该数列的首项和公差，可求得，再由可求得数列的通项公式；（2）求得，可得出，利用裂项求和法可求得.小问1详解】解：选条件①时，，，整理得，故（常数），且，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.故；选条件②时，，， 整理得，故，故数列是等差数列，公差，故；选条件③时，，且，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以，则时，.又满足，所以，.【小问2详解】解：由（1）得：，由于是、的等比中项，所以，则，故.20.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点为的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析．（2） 【解析】【分析】（1）取中点，连接，证明是平行四边形，得，从而得线面平行；（2）取中点，连接，交于点，连接，证明是二面角的平面角，然后求出此角（或）的正弦值即可得．【小问1详解】取中点，连接，如图，因为是中点，则且，又，，所以且，所以是平行四边形，所以，平面，平面，所以平面；【小问2详解】取中点，连接，交于点，连接，由已知，，，得是正方形，，，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，同理，所以，，平面，所以平面，又平面，所以，所以是二面角的平面角，又，，所以， ，，所以平面与平面夹角的正弦值为．21.已知椭圆左、右焦点分别为，，离心率为，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，的周长为8．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，，是椭圆C的短轴端点，P是椭圆C上异于点，的动点，点Q满足，，求证与的面积之比为定值．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据的周长为8，求得a，再根据离心率求解；（2）方法一：设，，得到直线和直线的方程，联立求得Q 的横坐标，根据在椭圆上，得到，然后代入Q的横坐标求解；方法二：设直线，的斜率分别为k，，点，，直线的方程为，与椭圆方程联立，求得点P横坐标，再由的直线方程联立，得到P，Q的横坐标的关系求解.【小问1详解】解：∵的周长为8，∴，即，∵离心率，∴，，∴椭圆C的标准方程为．【小问2详解】方法一：设，则直线斜率，∵，∴直线斜率，∴直线的方程为：，同理直线的方程为：，联立上面两直线方程，消去y，得，∵在椭圆上， ∴，即，∴，∴所以与的面积之比为定值4．方法二：设直线，的斜率分别为k，，点，，则直线的方程为，∵，∴直线的方程为，将代入，得，∵P是椭圆上异于点，的点，∴，又∵，即，∴，即，由，得直线的方程为，联立得，∴所以与的面积之比为定值4． 22.设函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）如果对于任意的，都有成立，试求的取值范围.【答案】（1）当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论a的取值范围，根据导数的正负，确定函数的单调区间；（2）由题意可知先求得函数在的最大值，则得到当时，恒成立，分离参数，构造函数，利用导数求得所构造函数的最值，可得答案.【小问1详解】函数的定义域为，，当时，，函数在区间上单调递增；当时，若，则，函数单调递增；若，则，函数单调递减；∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，综上得：当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.【小问2详解】∵，，∴当时，，在区间单调递减， 当时，，在区间单调递增，而，所以在区间上的最大值是1.依题意，需要有当时，恒成立，即恒成立，亦即；令，则，显然，当时，，，，即在区间上单调递增；当时，，，，即在区间上单调递减；所以，当时，函数取得最大值，故，即实数的取值范围是.