江苏省淮安市淮阴中学2021-2022学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

江苏省淮阴中学2021-2022学年度第二学期期中考试高二数学命题人：韩晓东审定人：卢连伟一、单项选题：本大题共8小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卡相应的位置上．1.若随机变量的分布列如下表所示，则的值为（）1230.2A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4【答案】B【解析】【分析】由概率和为1可得值．【详解】由题意，解得．故选：B．2.某班有4名同学报名参加校运会的五个比赛项目，每人参加一项且各不相同，则不同的报名方法有（）A.种B.种C.种D.种【答案】C【解析】【分析】利用排列，排列数的概念即得.【详解】由题可知不同的报名方法数为从5个不同元素中取出4个元素的排列数，所以不同的报名方法有种.故选：C.3.已知，，，若，则（）A.B.C.11D.4【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量共线的性质进行求解即可.【详解】，，因为，所以，解得，，故.故选：B4.已知直线与圆相交于、两点，若，则实数的值为（）A.或B.或C.或D.或【答案】A【解析】【分析】分析可知为等腰直角三角形，利用几何关系求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，即可解得的值.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，因为且，故为等腰直角三角形，且，则圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式可为，解得或.故选：A.5.甲､乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据全概率公式进行求解即可. 【详解】设事件表示从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中，事件表示从甲箱中随机取出一白球放入乙箱中，设事件表示：从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球，则有：，所以，故选：B6.在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”．若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者．则这6位志愿者不同的分配方式共有（）A.19种B.20种C.30种D.60种【答案】A【解析】【分析】利用对立事件，用总的分配方式减去“社区值守”岗位全是女性的情况可得.【详解】6位志愿者3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”的分配方式共有种，“社区值守”岗位全是女性的分配方式共1种，故“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者的分配方式共有种.故选：A7.函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.3是的极小值点B.是的极小值点C.在区间上单调递减D.曲线在处的切线斜率小于零 【答案】AD【解析】【分析】根据导函数的图象，结合极小值点的定义、导数的性质逐一判断即可.【详解】A：由导函数的图象可知：当时，单调递减，当时，单调递增，所以3是的极小值点，因此本选项说法正确；B：由导函数的图象可知：当时，单调递减，当时，单调递减，所以不是的极小值点，因此本选项说法不正确；C：由导函数的图象可知：当时，单调递减，当时，单调递增，所以本选项说法不正确；D：：由导函数的图象可知：，所以本选项说法正确，故选：AD8.某人射击一次命中目标的概率为0.8，现在他连续射击6次，则命中3次且恰有两次连中的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据次独立重复实验中恰好发生次的概率，可得这名射手射击3次的概率，再根据独立事件的乘法公式求解即可【详解】由题意可得，由于3次未命中形成4个空来插入命中的情况，则有种情况，因为射击一次命中目标的概率为0.8，所以他连续射击6次，则命中3次且恰有两次连中的概率为，故选：C二、多项选题：本题共4小题．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．请把答案填涂在答题卡相应的位置上．9.关于空间向量，下列说法正确的是（） A.直线的方向向量为，平面的法向量为，则B.直线的方向向量为，直线的方向向量，则C.若对空间内任意一点，都有，则P，A，B，C四点共面D.平面，的法向量分别为，，则【答案】BCD【解析】【分析】A.由是否为零判断；B.由是否为零判断；C.由空间向量共面向量定理判断；D.由是否为零判断；【详解】A.因为直线的方向向量为，平面的法向量为，且，所以不平行，故错误；B.因为直线的方向向量为，直线的方向向量，且，所以，故正确；C.因为，即，即，所以，所以P，A，B，C四点共面，故正确；D.因为平面，的法向量分别为，，且，所以，故正确；故选：BCD10.已知椭圆，若P在椭圆上，、是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（）A.若，则B.面积的最大值为 C.的最大值为D.满足是直角三角形的点有个【答案】ABC【解析】【分析】利用余弦定理可判断A选项；利用三角形的面积公式可判断B选项；利用椭圆的定义可判断C选项；利用平面向量的数量积可判断D选项.【详解】在椭圆中，，，，且，对于A选项，当时，则，由余弦定理可得，因为，所以，，A对；对于B选项，当点为椭圆的短轴顶点时，点到轴的距离最大，所以，面积的最大值为，B对；对于C选项，因为，即，所以，，C对；对于D选项，当或时，为直角三角形，此时满足条件的点有个，当为直角顶点时，设点，则，，，，所以，，，此时，满足条件的点有个，综上所述，满足是直角三角形的点有个，D错.故选：ABC.11.若，则下列说法正确的有（）A.B. C.D.【答案】ABC【解析】【分析】令，可得，利用赋值法可判断AB，利用展开式的通项可判断C，通过取导数及赋值法可判断D.【详解】令，则，，令，可得，即，故A正确；令，可得，故B正确；由题可知，故C正确；由，可得，令，可得，故D错误.故选：ABC.12.已知函数，则下列说法正确的有（）A.时，B.在定义域内单调递增时，C.时，有极值D.时，的图象存在两条相互垂直的切线【答案】ABD【解析】【分析】对函数求导得，A代入自变量求参数值即可；B由在上恒成立，求范围即可；C判断时的符号即可；D利用导数研究的单调性及值域，判断定义域内是否存在即可. 【详解】由题设，函数定义域为，且，A：，则，正确；B：在定义域上递增，即在上恒成立，只需，而在上的最大值为，故，正确；C：由B分析知：当时恒成立，此时无极值，错误；D：令，则，当时，递减；当时，递增；又，故，趋向于0或正无穷时都趋向于正无穷，所以上各有一个零点，故上，上，故必存在，即存在两条相互垂直的切线，正确.故选：ABD三、填空题：本大题共4小题．请把答案填写在答题卡相应位置上．13.已知点，平面a经过原点O，且垂直于向量，则点A到平面a的距离为______.【答案】【解析】【分析】利用点到平面的距离为，即可求得结论.【详解】由题意，，，，所以点到平面的距离为.故答案为：. 14.被除的余数是____________．【答案】【解析】【分析】由题知，再结合二项式定理求解即可.【详解】解：，所以被除的余数是故答案为：15.已知，抛物线：的焦点为，与抛物线在第一象限的交点为，且，则____________．【答案】2【解析】【分析】根据给定条件，求出点M的坐标，再结合抛物线定义列式计算作答.【详解】由解得或，于是得，抛物线：的焦点为，准线方程为：，因此，，解得，所以.故答案：216.对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现视为条件，若函数， 则它的对称中心为______；并计算______．【答案】①②.【解析】【分析】求出，由可求得函数的“拐点”坐标，可得出，再利用倒序相加法可求得的值.【详解】因为，则，，由可得，且所以，函数的对称中心为，所以，对任意的，.因此，，因此，.故答案为：；.四、解答题：本大题共6小题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在一个袋子里有大小一样的5个小球，其中有3个红球和2个白球．（1）现无放回地依次从中摸出1个球，求第一次摸出红球且第二次摸出白球的概率；（2）现有放回地每次从中摸出1个球，连摸3次，设摸到红球的次数为X，求随机变量X的 概率分布及方差．【答案】（1）（2）分布列见解析；【解析】【分析】（1）记“第一次摸出红球”为事件A，“第二次摸出白球”为事件B，直接求出，，由概率乘法公式得；（2）先分析出，直接求出概率，写出分布列，套公式求出方差.【小问1详解】解：记“第一次摸出红球”为事件A，“第二次摸出白球”为事件B，则，，由概率乘法公式得即第一次摸出红球且第二次摸出白球的概率为．【小问2详解】由题意分析.所以，，，.分布列为：X.18.已知展开式的系数和为，求的展开式中，（1）常数项；（2）系数最大的项． 【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)由条件可求，再由通项公式求常数项；(2)设第项系数最大，列不等式求，再由通项公式求解即可.【小问1详解】因为展开式的系数和为，所以故，设的展开式的第为，，令得，，所以常数项为．【小问2详解】设的展开式的第项系数最大，解得，所以系数最大项为第3或第4项，所以系数最大的项为或19.某中学经过选拔的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有不优秀和优秀两个等次，若考核为不优秀，则授予0分加分资格；若考核优秀，授予20分加分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立．（1）求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学考核都为优秀的概率；（2）记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得加分之和为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为. 【解析】【分析】（1）利用独立事件概率公式即得；（2）由题可知的所有可能取值为0，20，40，60．计算相应的概率可得分布列，再利用期望公式即得.【小问1详解】记“甲考核为优秀”为事件，“乙考核为优秀”为事件，“丙考核为优秀”为事件，“甲、乙、丙考核都为优秀”为事件．则事件是相互独立事件，于是．【小问2详解】随机变量的所有可能取值为0，20，40，60．，，，．所以随机变量X的分布列为X∴．20.如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，，平面．（1）求证：；（2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理证得，再结合线面垂直的性质和判定推理作答.（2）以点D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的余弦计算作答.【小问1详解】在中，，，由余弦定理得：，则，即，有，因平面，平面，则，而，平面，于是得平面，又平面，所以．【小问2详解】因平面，平面，则，由（1）知，射线两两垂直，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设为平面一个法向量，则，令，得 ，设是平面的一个法向量，则，令，得，设二面角的大小为，则，所以二面角的正弦值为．21.已知双曲线C的方程为，离心率为，右顶点为(2，0)（1）求双曲线的标准方程；（2）过的直线与双曲线C的一支交于两点，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意可得即可求出、，从而求出双曲线方程；（2）设直线的方程为，设、，联立直线与双曲线方程，消元，依题意可得，即可求出的取值范围，再根据向量数量积的坐标表示得到，即可求出的范围；【小问1详解】 解：根据题意，由离心率，又，所以，又右顶点为，即，故双曲线的标准方程为．【小问2详解】解：设直线的方程为，设、，则由，消去整理得到，∵直线与双曲线一支交于、两点，，解得．因此，∵，故，故．22.已知（1）当时，求在处的切线方程；（2）当时，恒成立，求的取值范围；（3）求证：，其中，．【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可. （2）分别讨论和时的情况求解即可.（3）根据（2）得到，从而得到，再利用放缩法求解即可.【小问1详解】当时，，，切点为.所以，，切线方程为．即.【小问2详解】，，，则在区间单调递增，又，所以当时，，在上单调递增，所以，即，在上单调递增，，所以，符合题意．当时，令，解得，当时，，在上单调递减，，在上单调递减，所以时，，不符合题意，所以a的取值范围是．【小问3详解】由（2）可知时，当时，，即，所以当时，有，， 所以．