浙江省杭州“六县九校”联盟2021-2022学年高一数学下学期期中联考试题（Word版附解析）

杭州“六县九校”联盟2021学年第二学期期中联考高一年级数学学科试题选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据集合的交集运算，可求得答案.【详解】集合,故，故选：D2.已知i是虚数单位，则复数在复平面上对应的点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的几何意义，即可得到结果.【详解】由复数的几何意义可知复数在复平面上对应的点的坐标为.故选：C.3.已知向量，，若，则（）A.B.C.D.6【答案】A【解析】【分析】利用向量平行的条件列方程即可求解.【详解】因为，，且， 所以，解得：.故选：A4.设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由三角形内角和求得角，再根据正弦定理求得答案.【详解】由题意可得，故由正弦定理得：,则，故选：C5.如图所示，已知正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则其原图形的周长为（）A.8B.C.4D.【答案】A【解析】【分析】将直观图复原为原图，根据斜二测画法的规则求得原图中线段的长，可得答案。【详解】将直观图复原为原图，如图： 则,故，所以原图形的周长为，故选：A6.在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.【详解】函数，与，答案A没有幂函数图像，答案B.中，中，不符合，答案C中，中，不符合，答案D中，中，符合，故选D. 【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征，属于基础题.7.若非零平面向量，，满足，，则向量与的夹角余弦值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据，两边分别乘以向量得到三个式子，化简可得，根据向量的夹角公式可求得答案.【详解】由题意可得：，；；；三式联立消去和可得：，结合得：，故，故选：B8.已知函数，，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数解析式，判断函数为奇函数，判断其单调性以及函数值的正负情况，令，可得，即，排除B,C;令，可根据函数值情况，排除A，即可得答案. 【详解】由题意，，由于，故为奇函数，当时，递增，故递增，故当时，递增，而，故函数在上单调递增，且时，，时，，故对于，当时，即为，即，矛盾，即0不是不等式的解，故选项B,C错误；当时，不等式即，由于，故不成立,说明不是不等式的解，故A错误,故选：D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9.下列命题中，真命题为（）A.复数为纯虚数的充要条件是B.复数的共轭复数为C.复数的虚部为D.复数，则【答案】BCD【解析】【分析】对A,根据纯虚数的定义，可知，故A错.根据共轭复数，虚部的定义，可判断B,C.运用复数的四则运算，可判断D. 【详解】复数为纯虚数的充要条件是,故A错.复数的共轭复数为,复数的虚部为,故B,C对.复数，则,，故D对.故选:BCD10.下列有关平面向量的命题中，不正确的是（）A.若，则B.已知，，则C.若非零向量，，，满足，则D.若，则且【答案】ABC【解析】【分析】A选项，当且方向相同，才有，故A错误，D正确；B选项可以举出反例，C选项利用向量数量积推导出，故C错误.【详解】A选项，，但向量方向可能不同，故A错误；若，则满足，，但可能不平行，故B错误；若，即，因为，，均为非零向量，所以，故不一定成立，C错误；若，则且，D正确.故选：ABC11.已知圆锥底面半径为，母线长为2，则（）A.圆锥侧面积B.圆锥的侧面展开图中，扇形的圆心角为C.圆锥的体积为 D.过顶点的截面三角形的面积最大值为【答案】AB【解析】【分析】由题意可知圆锥的侧面展开图是半径为，弧长为，利用扇形面积公式即可判断A是否正确；根据，即可求出圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角的大小，即可判断B是否正确；根据题意易知圆锥的高，再根据圆锥的体积公式，即可判断C是否正确；根据题意可知圆锥的轴截面的顶角为，设过过顶点的截面三角形，其中，根据三角形面积公式可得，根据三角函数的性质，可知当时面积最大，由此即可D是否正确.【详解】由题意可知，该圆锥的侧面展开图是半径为，弧长为，所以圆锥侧面积为，故A正确；设圆锥的侧面展开图中，扇形的圆心角为，又因为扇形的面积为，所以，故B正确；如图所示，圆锥的高为，圆锥的体积为，故C错误；如图，在中，，所以，所以轴截面三角形中，， 设过过顶点的截面三角形，其中，如下图所示：过顶点的截面三角形的面积为，当时，过顶点的截面三角形的面积最大值为，故D错误.故选：AB.12.如图，分别是空间四边形各边上的点（不与各边的端点重合），且，．则下列结论一定正确的是（）A.共面B.C.面D.若直线与有交点，则交点在直线上【答案】AD【解析】【分析】由可证得四点共面，知A正确；由A可知若，则B不成立；结合线面平行性质，根据未必成立可知C错误；根据平面的性质可判断D正确.【详解】对于A，，；同理可得：， ，四点共面，A正确；对于B，由A知：四点共面，若，则与为相交直线，B错误；对于C，若面，平面，平面平面，，，此条件未必成立，C错误；对于D，平面，平面，与有交点，与的交点必在平面与平面的交线上，平面平面，与的交点在直线上，D正确.故选：AD.非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设复数z满足（其中i是虚数单位），则______．【答案】【解析】【分析】根据复数的除法运算化简，根据复数的模的计算公式求得答案.【详解】,故，故答案为：14.已知，，则______．【答案】【解析】【分析】根据角的范围求得，利用两角和的正弦公式求得答案.【详解】由已知，可得，故， 故，故答案为：15.已知三棱锥中，，，，侧棱PA，PB，PC两两垂直，则三棱锥的外接球表面积为______．【答案】【解析】【分析】以、、为棱构造一个长方体，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，表示棱长，求得外接球半径，由此能求得该球的表面积．【详解】三棱锥的侧棱，，两两垂直，且长度分别为，，，且，，，都在同一个球面上（如图所示），以、、为棱构造一个长方体，这个球就是长方体的外接球，设正方体的相邻三条棱长分别为x,y,z,则，故，设三棱锥外接球半径为R，则，该球的表面积为．故答案为：16.如图在直角梯形中，，，，．点E，F为 线段BC上两点，满足，则的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】根据梯形的几何性质，建立平面直角坐标系，表示出向量的坐标，根据数量积的坐标运算，求得其表达式，结合二次函数的性质，求得答案.【详解】由题意，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，梯形ABCD中，，，，，作于G,则,设，则，即，则，故，所以，由，此时为增函数， 故，即，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知．（1）求的值；（2）求向量与夹角的余弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据即可求；（2）设向量与大角为,.【小问1详解】，，，；小问2详解】,，,，设向量与大角为, .18.已知，，，．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值和最小值．【答案】（1）（2）最大值为；最小值为【解析】【分析】（1）根据向量数量积坐标运算，结合二倍角和辅助角公式可化简得到，由此可得最小正周期；（2）利用的范围可求得的范围，根据正弦型函数值域的求法可求得值域，进而得到最值.【小问1详解】，的最小正周期.【小问2详解】当时，，，；的最大值为；最小值为.19.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比在B地晚秒.A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°.（1）求A、C两地的距离； （2）求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)【答案】(1)420m;(2)140.【解析】【详解】分析：（1）设，由题意已知两边及一角用余弦定理，列出关于的方程式求解．（2）在直角三角形中，，由（1）解出，可得的值．详解：（1）由题意，设AC＝x，则BC＝x－340＝x－40.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝BA2＋AC2－2BAACcos∠BAC，即(x－40)2＝10000＋x2－100x，解得x＝420.∴A、C两地间的距离为420m.（2）在Rt△ACH中，AC＝420，∠CAH＝30°，所以CH＝ACtan∠CAH＝140.答:　该仪器的垂直弹射高度CH为140米．点睛：正弦定理，余弦定理，直角三角形的正切值，我们要灵活应用，千万不要只纠结于正余弦定理，直角三角形中的几何性质也可以应用进来．20.如图在四棱锥中，，M，N分别是AB，CD的中点，． （1）求证：平面AED；（2）若点F在棱AD上且满足，平面CEF，求的值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取BE的中点为Q，证明面MNQ面ADE，即可得到平面AED；（2）根据已知，将线面平行转化得到线线平行，再用三角形相似即可得到的值.【小问1详解】取BE的中点为Q，连接NQ，MQ∵，N，Q分别为CD、BE的中点；∴，又∵面AED，面AED，∴面AED又∵M为BA的中点∴，∵面AED，面AED，∴面AED ∵，∴面面AED，∴面AED【小问2详解】设BD交CE于点G，连接FG．∵面CEF，面面ABD＝FG，面ABD∴，∴．在直角梯形BCDE中，，∴，∴，∴，∴21.请从这三个条件中选择一个，补充在下面试题的横线上，并完成试题解答．①；②；③；设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知的面积为，且______．（1）求角B；（2）求b的最小值．【答案】（1） （2）【解析】【分析】(1)选，利用正弦定理通过边角互化，再由余弦定理求B，选利用正弦定理通过化边为角，再求B，选利用正弦定理通过化边为角，再求B，(2)由三角形面积公式求,再由余弦定理和基本不等式求b的最小值．【小问1详解】若选择①∵；∴∴∴又∴若选择②∵∴∵∴即又∴若选择③∵；∴∴∴又∴【小问2详解】∵∴由余弦定理知 ∴，当且仅当时取等号，∴当时，取最小值，.22.已知，函数.（1）当时，函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）当时，对任意的，都有恒成立，求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【详解】分析：（1）把函数转化为分段函数形式，利用二次函数对称性明确分段的单调性即可;（2）对任意的，都有恒成立等价于，转求最值即可.详解：（1）当时，.由函数在上单调递增，得，化简得.∴实数的取值范围.（2）当且时，，，由得，，化简得：，∴，解得.∴实数的最大值是.点睛：研究分段函数单调性注意两点：（1）分析各段的单调性；（2）注意端点处取值的大小；恒成立问题处理手段首选变量分离，然后转最值即可.