四川省泸州市泸县第四中学2021-2022学年高一数学下学期期中考试试题（Word版附解析）

泸县四中高2021级高一下学期期中考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第I卷客观题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据式子特点，逆用两角和的正弦公式，即可计算出．【详解】解：.故选：A2.在中，，那么等于A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】分析：由的度数求出的值，再由和的值，利用正弦定理求出的值，由大于，根据大边对大角，得到大于，得到的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出的度数.详解：， 由正弦定理，得，又，得到，则，故选C.点睛：本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.3.正方形数列的一个通项公式是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据数列的前几项归纳出数列的一个通项公式；【详解】解：依题意，，，……，即可归纳出数列的一个通项公式为；故选：C4.设，且，则（）A.3B.12C.-12D.-3【答案】A【解析】【分析】根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；【详解】解：因为，且，所以，解得；故选：A5.设的内角所对的边分别为，若，则 的形状为（）A.锐角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形【答案】C【解析】【分析】由正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可求得，由此得到，进而得到的形状.【详解】由正弦定理得：，即，又，，，，为直角三角形.故选：C.6.在等比数列中，，则的值为（）A.48B.72C.144D.192【答案】D【解析】【分析】由等比数列的性质求解【详解】数列是等比数列，则，，而，故．故选：D7.若的对边分别为，且，,,则A.5B.25C.D.【答案】A【解析】【详解】在中，，，可得，解得． 由余弦定理可得：．8.在中，若，则的值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由两角和的正切公式求出，再根据三角形内角和定理及诱导公式求出，从而得解；【详解】解：由，得，∴，∵.∴.又，∴.故选：B.【点睛】本题考查两角和的正切公式及诱导公式的应用，属于基础题.9.某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2018年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2019年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额，计划恰好在贷款的m年后还清，若银行按年利率为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意建立方程，再结合等比数列 求和公式，即可求出的值.【详解】设每年偿还的金额为，则，所以，解得故选D.【点睛】主要考查了等比数列求和，方程的求解，以及数学应用能力，属于中档题.这类型题的关键在于结合生活实际，读懂题意，合理地转化为数学问题，再进行求解.10.已知，且，则等于AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根据已知条件求得的值，然后求得的值，由此求得题目所求表达式的值.【详解】依题意，由及，解得，故，故选B.【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，考查运算求解能力，属于基础题.11.设函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围为（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据在上的单调递减，所以分段函数的两段都是各自定义域内的减函数，即，且，即可求解.【详解】因为在上的单调递减，所以，即，所以实数的取值范围为，故选：B【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性，求参数的取值范围，属于中档题.12.已知，且，则（）A.B.C.7D.【答案】A【解析】【分析】由题意化简得，平方求得，进而求得，联立方程组，求得，得到，结合两角和的正切公式，即可求解.【详解】由，可得，两边平方得，可得，因为，所以，所以，所以，所以， 联立方程组，可得，所以，所以.故选：A.第II卷主观题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在等差数列中，已知，则该数列前11项和______．【答案】.【解析】【分析】利用等差数列的性质以及前项和公式即可求解.【详解】因为等差数列，所以，故答案为：.14.在中，若，，成等差数列，，的面积为，则________.【答案】【解析】【分析】根据三角形面积公式可知的值，然后结合余弦定理表示出的边，然后结合由成等差数列知，而可知解得的值．【详解】∵成等差数列，∴，∴,① ∵，∴②∵③由①②③得.故答案为：.15.如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是，则河流的宽度等于______.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．【详解】由图可知， 在中，在中，河流的宽度BC等于故答案为：.【点睛】本题给出实际应用问题，求河流在B,C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．16.是等边三角形，点D在边的延长线上，且，，则______；______.【答案】①.②.【解析】【分析】由可得，在中利用余弦定理可求得的长，在中，利用正弦定理可求得的值.【详解】如图所示，等边中，，所以.又，所以，即，解得，所以； 由，即，解得.故答案为：；.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数(1)求最小正周期；(2)求在区间上的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）最大值为,最小值为．【解析】【详解】(1)，（2）因为，所以，当时，即时，的最大值为，当时，即时，的最小值为.18.已知向量，向量（1）当k为可值时，与垂直；（2）求向量在向量上的投影 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量坐标的运算法则求出与，根据垂直得到方程可求出；（2）利用向量的投影公式进行求解.【小问1详解】，，因为，所以，解得：【小问2详解】∵，∴在上的投影.19.已知且均锐角（）求求【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（1）利用同角的三角函数基本关系式算出、的值，再用两角和的正弦公式计算即可.（2）因，故可以利用两角差的正弦公式求. 【详解】（Ⅰ），，.又均为锐角，，，.（Ⅱ）又，.【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.20.已知①；②；③，在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.设正项等比数列的前项和为，数列的前项和为，，，对都有成立.（1）求数列、的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由，得，从而求出；选①有则，选②，，选③由得， ，从而求得数列的通项公式；（2）由（1）得，结合错位相减法即可求得结果．【详解】解：（1）时，，时，，又符合上式，，因为为正项等比数列，.选①，，或（舍）选②，，选③由得，或（舍），（2）①②①-②得：．21.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（1）求A；（2）若，求sinC． 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：，从而可整理出，根据可求得结果；（2）利用正弦定理可得，利用、两角和差正弦公式可得关于和的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果.【详解】（1）即：由正弦定理可得：（2），由正弦定理得：又，整理可得：解得：或因为所以，故.（2）法二：，由正弦定理得： 又，整理可得：，即由，所以.【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.22.等差数列的前项和为；数列中，，且满足．（1）求的通项；（2）求数列的前项和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知结合等差数列的前n项和公式求出即可求数列的通项，由等比数列的定义判断数列为公比的等比数列，从而即可求数列的通项；（2）根据等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法即可求解. 【小问1详解】解：设等差数列的公差为，又，∴，∴，∴，又∵，即，∴为公比的等比数列，∴；【小问2详解】解：∵等差数列的前项和，等比数列的前项和为，∴数列的前项和.