宁夏银川市第二中学2021-2022学年高一数学下学期期中考试试题（Word版附解析）

银川二中2021-2022学年第二学期高一年级期中考试数学试题注意事项：1.本试卷共22小题，满分120分.考试时间为120分钟.2.答案写在答题卡上的指定位置.考试结束后，交回答题卡.一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.教室里的钟表慢了30分钟，在同学将它校正的过程中，时针需要旋转多少弧度?（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先由条件确定时针旋转的度数，再由弧度与角度的关系求对应的弧度数.【详解】将钟表校正的过程中，需要顺时针旋转时针，其大小为，故时针需要旋转弧度，故选：A.2.直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据倾斜角的定义确定直线的倾斜角.【详解】因直线过点，且垂直与轴，所以直线的倾斜角为，故选：C3.已知过点和点的直线为，直线为，直线 为，若，，则实数的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设直线，，的斜率分别为，，，由题意可得，，列出关于的方程，解方程可得的值即可求解.【详解】由题意可得直线，，的斜率存在，可分别设为，，，因为，所以，即，解得：，因为，所以，即，解得：，所以，故选：A.4.若圆与圆外切，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆相外切，列出方程，即可求解.【详解】由题意，圆与圆可得，，因为两圆相外切，可得，解得．故选：C.5.已知圆与直线切于点，则直线的方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】由圆心和切点求得切线的斜率后可得切线方程．【详解】圆可化为，所以点与圆心连线所在直线的斜率为，则所求直线的斜率为，由点斜式方程，可得，整理得.故选：A.6.已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（）A1B.C.或1D.2或1【答案】D【解析】【分析】对a分类讨论，由截距相等列方程解出的值.【详解】当时，直线，此时不符合题意，应舍去；当时，直线，在轴与轴上的截距均为0，符合题意；当且，由直线可得：横截距为，纵截距为.由，解得：.故的值是2或1.故选：D7.航海中，我们一般用海里作为描述船只航行的路程，规定当沿地球表面走过的弧长所对的圆心角为1分(1度的60分之一）时，该弧的弧长为1海里，已知1海里=1.852公里，则由此你可以推算出地球的半径大约等于多少公里（）A.6371B.6731C.7361D.7631【答案】A【解析】 【分析】先得出弧长为1海里所对的圆心角的弧度数，再由弧长公式得出半径.【详解】由题意，弧长为1海里所对的圆心角的弧度为设地球半径为，则故选：A8.若直线与直线互相垂直,则等于(  )A.1B.-1C.±1D.-2【答案】C【解析】【分析】分类讨论：两条直线的斜率存在与不存在两种情况，再利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可．【详解】解：①当时，利用直线的方程分别化为：，，此时两条直线相互垂直．②如果，两条直线的方程分别为与，不垂直，故；③，当时，此两条直线的斜率分别为，．两条直线相互垂直，，化为，综上可知：．故选．【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论思想方法，属于基础题．9.若直线与圆的两个交点关于直线对称，则，的直线分别为（）A.，B.，C.，D.，【答案】A 【解析】【分析】由圆对称性可得过圆的圆心且直线与直线垂直，从而可求出.【详解】因为直线与圆的两个交点关于直线对称，故直线与直线垂直，且直线过圆心，所以，，所以，.故选：A【点睛】本题考查直线方程的求法，注意根据圆的对称性来探求两条直线的位置关系以及它们满足的某些性质，本题属于基础题.10.已知实数满足,那么的最小值为(  )A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】表示直线上的点到原点的距离，利用点到直线的距离公式求得最小值.【详解】依题意可知表示直线上的点到原点的距离，故原点到直线的距离为最小值，即最小值为，故选A.【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.11.已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离满足，则在O，A，M三点所能构成的三角形中面积的最大值是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】设，求出点轨迹方程得其轨迹，由面积公式转化为 ，由三角形面积公式易得最大值．【详解】设，则得，化简整理得，所以点轨迹是以为圆心，2为半径的圆，如图，，，易知时，取得最大值3．故选：C．12.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆.设点满足：圆M上存在点P，使，则实数t的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】连接MT，过点T作圆M的一条切线，与圆相切于点Q，连接MQ，分析可得，从而可求出结果.【详解】由题意知圆心，半径，连接MT，过点T作圆M的一条切线，与圆相切于点Q，连接MQ，根据圆的切线性质，有，反之，若，则圆M上存在一点P使得，因此圆M上存在点P，使得，等价于，由，得，解得，因此，实数t的取值范围是，故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．13.与直线平行，且距离等于的直线方程是___________.【答案】【解析】【详解】依题意可得与直线平行的直线方程可设为∵两直线的距离为∴∴或者∴与直线平行的直线方程为或 故答案为或点晴：本题考查的是两条平行直线间的距离的运用.根据两条平行直线之间的距离公式为，即可求出直线方程.14.已知圆C经过两点，圆心在轴上，则C的方程为__________．【答案】.【解析】【分析】由圆的几何性质得，圆心在的垂直平分线上,结合题意知，求出的垂直平分线方程，令，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程.【详解】由圆的几何性质得，圆心在的垂直平分线上,结合题意知，的垂直平分线为，令，得，故圆心坐标为，所以圆的半径，故圆的方程为.【点睛】本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.15.平面直角坐标系内有四个定点A（-1，0），B（1，0），C（2，3），D（-2，6），在四边形ABCD内求一点，使取得最小值时的坐标为_________.【答案】【解析】【分析】由，可求的最小值，并确定取最小值时的点的坐标.【详解】因为，当且仅当点三点共线，且点位于之间时等号成立，，当且仅当三点共线，且点位于之间时等号成立， 所以，当且仅当点为直线与的交点时等号成立，因为A（-1，0），B（1，0），C（2，3），D（-2，6），所以直线的方程为：，直线的方程为：，所以直线与的交点为，所以当点的坐标为时，取最小值，故答案为：.16.由曲线围成的图形的面积为_______________．【答案】【解析】【详解】试题分析：当时，曲线表示的图形为 以为圆心，以为半径的圆在第一象限的部分，所以面积为，根据对称性，可知由曲线围成的图形的面积为考点：本小题主要考查曲线表示的平面图形的面积的求法，考查学生分类讨论思想的运用和运算求解能力.点评：解决此题的关键是看出所求图形在四个象限内是相同的，然后求出在一个象限内的图形的面积即可解决问题.三、解答题：本大题共56分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，已知边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，若点的坐标为.（1）求直线的方程；（2）求直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据两直线垂直可求得直线的斜率，再利用点斜式可得出所求直线的方程；（2）联立边上的高所在直线和的平分线所在直线的方程，可求得点的坐标，求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程.【小问1详解】解：边上的高所在直线的斜率为，所以，，因此，直线的方程为，即.【小问2详解】解：联立可得，即点，所以，，因此，直线的方程为，即.18.在平面直角坐标系中，的顶点分别为. （1）求外接圆的方程；（2）若直线经过点，且与圆相交所得的弦长为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）先设圆的方程为，根据圆过，，三点，列出方程组，即可求出结果；（2）分直线的斜率不存在与存在两种情况，分别用代数法联立直线与圆的方程，结合弦长公式求解，即可得出结果.【详解】（1）设圆的方程为，因为圆过三点，所以有，解得，，∴外接圆的方程为，即.（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，联立，得或，此时弦长为，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，由于圆心到该直线的距离为，故，解得，∴直线的方程为，即. 综上可得，直线的方程为或.【点睛】本题主要考查求圆的方程，以及已知弦长求直线方程的问题，通常需要联立直线与圆的方程，结合弦长公式求解，属于常考题型.19.用坐标法证明：菱形的对角线互相垂直.【答案】证明见解析【解析】【分析】建立坐标系，根据得出，从而证明菱形的对角线互相垂直.【详解】以AB为x轴，过A作AB的垂线为y轴，如图，建立平面直角坐标系，设各点坐标分别为因为四边形是菱形，所以由，所以，菱形的对角线互相垂直.20.求圆心在直线上，并且经过圆与圆的交点的圆的方程．【答案】【解析】【分析】设两圆交点系方程为，求得圆心坐标代入直线求得圆的方程. 【详解】设经过两圆交点的圆的方程为，即，圆心坐标为，将其代入直线解得．所以圆的方程为．故所求圆方程为：21.直线，相交于点，其中.（1）求证：、分别过定点、，并求点、的坐标；（2）当为何值时，的面积取得最大值，并求出最大值.【答案】（1）证明见解析，，（2）时，取得最大值【解析】【分析】（1）在直线的方程中令可得出定点的坐标，在直线的方程中令可得出定点的坐标，由此可得出结论；（2）联立直线、的方程，可求得两直线的交点的坐标，计算出和，利用三角形的面积公式可计算出的表达式，由的表达式可求得的最大值及其对应的的值.【小问1详解】在直线的方程中，令可得，则直线过定点，在直线方程中，令可得，则直线过定点；【小问2详解】联立直线、的方程，解得，即点.， ，，所以，；且，因此，当时，取得最大值，即.22.已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．（1）求线段AB的中点P的轨迹的方程；（2）设圆与曲线的两交点为M，N，求线段MN的长；（3）若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)设，，可得，代入圆化简即可；(2)联立方程和，得MN所在公共弦所在的直线方程,再由弦长公式可求得结果； (3)作关于轴得对称点，连接与x轴交于Q点，根据时求解即可.【小问1详解】设，，点A在圆，所以有：，P是A，B的中点，，即，得P得轨迹方程为：；【小问2详解】联立方程和，得MN所在公共弦所在的直线方程，设到直线MN得距离为d，则,所以，；【小问3详解】作出关于轴得对称点，如图所示； 连接与x轴交于Q点，点Q即为所求，此时，所以的最小值为.