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2022-2023学年高三数学上学期月考卷(五)(Word版附解析)
2022-2023学年高三数学上学期月考卷(五)(Word版附解析)
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数学命题:高三备课组时景:120分钟满分:150分第Ⅰ卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知,若复数为纯虚数,则复数在复平面内对应的点所在的象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设,向量,,.则“”是“”的A.充分不必要文件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.如图所示,A,B是非空集合,定义集合为阴影部分表示的集合.若,,,则为A.B.C.D.4.已知角的终边上有一点,则的值为A.B.C.D.5.甲、乙两名司机的加油习惯有所不同,甲每次加油都说“师傅,给我加300元的油”,而乙则说“师傅帮我把油箱加满”,如果甲、乙各加同一种汽油两次,两人第一次与第二次加油的油价分别相同,但第一次与第二次加油的油价不同,乙每次加满油箱,需加入的油量都相同,就加油两次来说,甲、乙谁更合算()A.甲更合算B乙更合算C.甲乙同样合算D.无法判断谁更合算6.为参加学校组织的“喜迎二十大,奋进新征程”的演讲比赛,某班从班级初选的甲乙2名男生和6名女生共8名同学中随机选取5名组成班级代表队参加比赛,则代表队中既有男生又有女生的条件下,男生甲被选中的概率为() A.B.C.D.7.若直线与函数(且)的图象有两个公共点,则的取值不可以是()A.B.C.D.38.已知函数的图象在处的切线与直线平行,若存在,使得不等式成立,则实数的最小值是()A.1B.2C.3D.4二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.下列说法正确的是()A.若样本数据的方差为4,则数据的方差为9B.若随机变量,,则C.若线性相关系数越接近1,则两个变量的线性相关性越弱D.若事件A,B满足,,,则有10.在棱长为2的正方体中,点M,N,P分别是线段,线段,线段上的动点,且.则下列说法正确的有()A.B.直线MN与AP所成的最大角为90°C.三棱锥的体积为定值D.当四棱锥体积最大时,该四棱锥的外接球表面积为 11.已知函数,,则下列说法正确的是()A.在上是增函数B.,不等式恒成立,则正实数的最小值为C.若有两个零点,,则D.若,且,则的最大值为12.已知,分别为双曲线:的左、右焦点,点M为双曲线右支上一点,设.过M作两渐近线的垂线,垂足分别为P,Q,则下列说法正确的是()A.的最小值为B.为定值C.若当时,(为坐标原点)恰好为等边三角形,则双曲线的离心率为D.当时,若直线与圆相切,则双曲线的渐近线的斜率的绝对值为第Ⅱ卷三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.的展开式中含的系数是_______.14.若直线:与曲线:有两个不同的交点,则实数的取值范围是_______.15.已知数列满足:对恒成立,且,其前项和有最大值,则使得的最大的的值是_________. 16.已知F为抛物线的焦点,由直线上的动点P作抛物线,切点分别是A,B,则与(为坐标原点)的面积之和的最小值是_________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知等比数列的首项,公比为,前项和为,且,,成等差数列.(1)求的通项;(2)若,,求的前项和.18.(本小题满分12分)在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知.(1)若,求;(2)若BC边上的高是AH,求BH的最大值.19.(本小题满分12分)如图,在斜三棱柱中,是边长为2的正三角形,,侧棱与底面所成角为60°.(1)求三棱柱的体积;(2)在线段(含端点)上是否存在点,使得平面与平面的夹角为60°?若存在,请指出点的位置;若不存在,请说明理由.20.(本小题满分12分)甲乙两人进行乒乓球比赛,经过以往的比赛分析,甲乙对阵时,若甲发球,则甲得分的概率为,若乙发球,则甲得分的概率为.该局比赛甲乙依次轮换发球权(甲先发球),每人发两球后轮到对方进行发球.(1)求在前4球中,甲领先的概率;(2)12球过后,双方战平(6:6),已知继续对战奇教球后,甲率先取得11分获得胜利(获胜要求净胜2分及以上).设净胜分为(甲,乙的得分之差),求的分布列.21.(本小题满分12分) 已知椭圆的离心率为,且点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦AB与CD,求的取值范围.22.(本小题满分12分)设函数.(1)当时,讨论函数的单调性;(2)曲线与直线交于,两点,求证:;(3)证明:.参考答案一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.A【解析】∵复数是纯虚数,∴且,故.∴.故复数在复平面内对应的点在第一象限,故选A.2.A【解析】因为,即;,即,故选A.3.B【解析】因为集合,,所以,,则.故选B.4.C【解析】角的终边上有一点,所以,所以 .5.A【解析】设两次的单价分别是元/升,甲加两次油的平均单价为,单位:元/升,乙每次加油升,加两次油的平均单价为,单位:元/升,因为,,,所以,即,即甲的平均单价低,甲更合算.6.D【解析】记“代表队中既有男生又有女生”为事件,“男生甲被选中”为事件,则,所以,所以,或者.故选D.7.D【解析】的图象由的图象向下平移一个单位,再将轴下方的图象翻折到轴上方得到,分和两种情况分别作图.如图所示: 当时,需要,即,即;当时,有,都符合条件;所以综上或,所以的取值不可以是D.故选D8.C【解析】函数的导数为,由题意可得的图象在处的切线的斜率为,由切线与直线平行,可得,解得.若存在,使得不等式成立,即为在时有解,故在时有解,令,,则,易得,时,恒成立,故时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,故时,取得最小值, 则,可得的最小值为3.故选C.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.BD【解析】由于,所以数据的方差为16,因此选项A错误;随机变量,,则,因此选项B正确;线性相关系数越接近1,则两个变量的线性相关性越强,故选项C错误;由于等价于“事件A与事件B相互独立”,即,故必有.因此选项D正确.故选BD.10.ABC【解析】对于A,因为正方体是棱长为2的正方体,连接,因为点M、N分别是线段、线段的动点,且,所以,而,所以,因此A正确;对于B,又,因此,因此直线MN与AP所成的角就是直线与AP所成的角,当P为中点时,直线与AP所成的角最大为90°,因此B正确;对于C,,因此C正确;对于D,当P为点时,四棱锥体积最大,该四棱锥的外接球即正方体的外接球,其表面积为,因此D不正确.故选ABC.11.ABD【解析】A项中,令,则在是单调增函数且;又函数 ,易知函数在上是单调增函数,由复合函数单调性原理可知在上是增函数,所以A项正确;B项中,时,,又为正实数,所以,又,所以单调递增,所以不等式等价于,对恒成立,即.令,知,所以在上递增,在上递减,所以,所以B项正确;C项中,易知在上递减,在上递增,,所以,不妨设,则必有,若,则等价于,等价于,等价于,令,,,即在上递增,所以,则时,,所以不成立,即C错误;D项中,由在上递减,在上递增,在上递减,在上递增,易知有唯一的解,又,所以,由,即,即有,所以,即,所以,又,所以,所以D正确.12.BCD【解析】对于A,因为是双曲线C的右焦点,点M为双曲线右支上一点,所以由双曲线性质知:线段长度的最小值为,故A错误; 对于B,设,两渐近线方程分别为:,,所以,故B正确;对于C,因为,所以,而(为坐标原点)恰好为等边三角形,因此由知:,,所以由双曲线的定义知:,即,即双曲线的离心率,故C正确;对于D,如图,设直线与圆相切于点A,连接OA,则,且.作于点B,则.又因为,所以,,因此在中,.又点在双曲线右支上,所以,整理得,即,因此双曲线的渐近线的斜率的绝对值,故D正确.故选BCD.第Ⅱ卷三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.-12【解析】略 14.【解析】由题意可得直线:恒过定点,曲线:图象为以为圆心,2为半径的上半圆,它们的图象如图所示,当直线过点时,它们有两个交点,此时,当直线与上半部分圆相切时,有一个交点,此时,由图象可知,若直线与曲线有两个不同的交点,则,即实数的取值范围是.15.15【解析】略16.【解析】略四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】(1)若,而首项,则,,,不合题意,故.则,∴,则.(2)略 18.【解析】(1)由有:,即:.即,又,∴,由正弦定理得:.(2)方法一:由及知,顶点在的外接圆上,且在边所对的优弧上,外接圆的直径.当与外接圆相切且在的延长线上时最大,此时,.方法二:,∵,∴时,取得最大值.19.【解析】(1)取中点M,连接AM,DM.因为为正三角形,为等腰三角形且以BC为底,故,(三线合一),所以平面.又平面,所以平面平面,故在平面的射影在射线AM上,为侧棱AD与底面所成角,即. 在中,,,由余弦定理知,故三棱锥为正三棱锥,高,底面的面积,三棱柱的高也为2,故三棱柱的体积.(2)以M为坐标原点,MA、MB为,轴建立如图所示坐标系.依题意,,,,,假设存在点满足题意,设,,,.设平面的法向量为,则取,平面的法向量. 依题意,,解得,故当位于点时,满足要求.20.【解析】(1)甲与乙的比分是4:0的概率为;比分是3:1的概率为.故前4球中,甲领先的概率为,(2)依题意,接下来由甲先发球.继续对战奇数球后,甲获得11分胜利,即甲11:6或11:8获胜,即在接下来的比赛中,甲乙的比分为5:0或5:2,且最后一球均为甲获胜.设甲发球的两次对战中,甲乙比分为“2:0”,“1:1”,“0:2”依次为事件,,;设乙发球的两次对战中,甲乙比分为“2:0”,“1:1”,“0:2”依次为事件,,.由条件可知,,,,,,.,故甲依题意获胜的概率为.的所有可能取值为3,5,由条件概率有,,,故的分布列为:3521.【解析】∵,所以.设椭圆方程为,将代入,得.故椭圆方程为. (2)①当两条弦中一条斜率为0时,另一条弦的斜率不存在,易得,;②当两条弦斜率均存在且不为0时,设,,设直线的方程为,则直线的方程为,将直线的方程代入椭圆方程中,并整理得:,∴,,∴,同理,,∴,令,则,∴,∵,∴,∴,∴,∴,∴.综合②可知,的取值范围为. 22.【解析】(1)当时,,,时,,单调递减;时,,单调递增.(2),则,由题意,知有两解,,不妨设,要证,即证,①若,则;②若,由知,在上单调递减,在上单调递增,也有,综合①②知,,所以只需证(*).又,,∴两式相减,整理得,代入(*)式,得,即.令,即证.令,则, ∴在其定义域上为增函数,∴,∴成立.(3)由(2)知,,故,,取,,所以,,累加,得.
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