福建福州铜盘中学2022-2023学年高二数学上学期期末考试试题（Word版附解析）

2022-2023学年第一学期期末考试高二数学试卷（满分：150分；考试时间：120分钟）班级____________姓名____________座号____________一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）1.数列、、、的下一项应该是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】观察数列的项之间的变化规律，即可求得答案.【详解】观察数列、、、的项之间的规律，可得根号下的数依次增加4，故数列、、、的下一项应该是，故选：C2.已知方程表示的曲线是椭圆,则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】因为方程表示的曲线是椭圆，所以，解得且，即实数的取值范围是，故选B.3.若向量，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】由向量数量积的坐标运算求得数量积，模，结合向量的共线定义判断．【详解】由已知，，，与不垂直．，若，则，，但是，，因此与不共线．故选：D．4.若直线与直线平行，则m的值为（）A.2B.C.2或D.或【答案】B【解析】【分析】根据直线的平行可列出方程，求得m的值，验证直线是否重合，即得答案.【详解】由题意知直线与直线平行，而直线的斜率为，则直线必有斜率，即，则，故，解得或，当时，直线与直线重合，不合题意；当时，直线与直线平行，符合题意，故，故选：B5.设为直线上的动点，为圆的两条切线，为切点，则四边形面积的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】由切线的性质可得四边形面积为，求出，又为圆心到直线的距离，即可求解.【详解】圆的圆心，半径为，为两条切线，为切点，，四边形面积为，故当最小时，四边形面积最小，又最小值为圆心到直线的距离，，故四边形面积最小值为.故选：A.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、切线的性质，等价转化为点到直线距离是解题的关键，属于中档题.6.设正项等比数列的前n项和为，若，则的最小值为（）A.2B.4C.8D.16【答案】B【解析】【分析】根据等比数列满足的条件求得公比，将化为，利用基本不等式即可求得答案.【详解】由题意知正项等比数列满足，设的首项和公比分别为，则，即， 则，故，当且仅当，即时取等号，故选：B7.已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若，则点P到准线l的距离为（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】求出焦点的坐标，过点作轴的垂线，垂足为，由可得，求出，结合抛物线的定义，即可得解．【详解】解：由抛物线，可知，准线的方程为，过点作轴的垂线，垂足为，因为，所以，所以，所以点到准线的距离为．故选：C． 8.如图所示，平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是（）A.B.1C.D.【答案】B【解析】【分析】选定基底，根据空间向量的加减运算表示出，再根据空间向量的数量积的运算，即可求得答案.【详解】由题意得，，则,故选：B二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．漏选得2分，选错不得分．）9.已知为直线l的方向向量,分别为平面,的法向量（,不重合）,那么下列说法中正确的有（）．A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】根据法线面垂直平行的性质及法向量、方向向量的概念即可选出选项.【详解】解:若,因为,不重合,所以, 若,则共线,即,故选项A正确;若,则平面与平面所成角为直角,故,若,则有,故选项B正确;若,则,故选项C错误;若,则或,故选项D错误.故选:AB10.已知曲线，则下列结论正确是（）A.若曲线C是椭圆，则其长轴长为B.若，则曲线C表示双曲线C.曲线C可能表示一个圆D.若，则曲线C中过焦点的最短弦长为【答案】BD【解析】【分析】因为恒成立，所以，曲线C不可能为圆，可判断选项C错误，当时为椭圆，且焦点在轴上，可判断选项A错误，时为双曲线，所以选项B正切，时，曲线方程确定，需要用弦长公式求解弦长的最小值【详解】解：由题意，若曲线C是椭圆，则，因为恒成立，所以椭圆的焦点在x轴上，所以其长轴长为，故A错误；若，根据双曲线定义可知曲线C表示双曲线，故B正确；因为对任意的m恒成立，所以曲线C不可能表示一个圆，故C错误；若，则曲线C为椭圆，方程为，焦点坐标为，若过焦点的直线斜率为0时，此时该直线截椭圆C的弦长为；若过焦点直线斜率不为0时，不妨设该直线过椭圆C的右焦点，方程为，与椭 圆C的两个交点分别为，由，可得，则有，当时，上式不等式可取等号，即综上，可知椭圆中过焦点的最短弦长为，故D正确；故选：BD11.已知直线，圆C的方程为，则下列选项正确的是（）A.直线l与圆一定相交B.当k=0时，直线l与圆C交于两点M，N，点E是圆C上的动点，则面积的最大值为C.当l与圆有两个交点M，N时，|MN|的最小值为2D.若圆C与坐标轴分别交于A，B，C，D四个点，则四边形ABCD的面积为48【答案】AC【解析】【分析】由直线过定点在圆内判断A，由圆上点到直线的距离的最大值，求得三角形面积最大 值判断B，当定点与圆心连线垂直于直线时，弦长最短，由勾股定理计算可得弦长，判断C，求出圆与坐标轴的交点坐标，由面积公式计算面积判断D．【详解】直线过定点，，在圆内，因此直线一定与圆相交，A正确；时，直线为，代入圆方程得，，因此，圆心为，圆半径为，圆心到直线的距离为，因此到直线的距离的最大值为，的面积最大值为，B错；当l与圆有两个交点M，N时，|MN|的最小时，，，因此，C正确；在圆方程中分别令和可求得圆与坐标轴的交点坐标为，，，四边形面积为，D错．故选：AC．12.如图的形状出现在南宋数学家扬辉所著的《详解九章算法·商功》中后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（）A.B.C.D.不存在正整数，使得为质数【答案】BCD【解析】 【分析】根据每层的球的个数可得，利用累加法求得，即可求得的值，判断A，B；根据，可判断C；根据，结合数的奇偶性，可判断D.【详解】依题意因为，以上n个式子累加可得︰,又满足上式，所以,故，故A错误；因，所以，故B正确；因为，所以，故C正确；因为，故当且为整数时，，此时必为偶数，则为整数，且为合数，则不存在正整数，使得为质数，D正确，故选：BCD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.过点且与直线平行的直线的方程为________________.【答案】【解析】【分析】根据两条直线平行的关系，可知所求直线的斜率，可得结果.【详解】由直线与直线平行所以直线的斜率为：又直线过点，所以根据点斜式可得直线方程为：即 故答案为：【点睛】本题考查直线方程，对于平面中两条直线的位置关系，可想到斜率之间的联系，属基础题.14.已知O为坐标原点，向量，点若点E在直线AB上，且，则点E的坐标为__________．【答案】【解析】【分析】利用点E在直线AB上，可得，然后利用，即可求解E的坐标.【详解】由题意可得：，∵点E在直线AB上，∴，又∵，则，∴，故点E的坐标为.故答案为：15.已知数列{an}满足a1=1，，则{an}的前20项和等于___________.【答案】300【解析】【分析】由数列的通项公式可求得，推出数列的通项公式可得数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，求解即可.【详解】因为 所以，由题意可得，其中，可得，则，当时，也适合上式，所以，所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，则的前20项和为故答案为：300.16.设、分别为双曲线的左、右顶点，、是双曲线上关于轴对称的不同两点，设直线、的斜率分别为、，若，则双曲线的离心率是________.【答案】【解析】【分析】设，有，结合已知得，进而求离心率即可.【详解】设，而，则，∵，又，则，而， ∴，即.故答案为：.【点睛】关键点点睛：利用点在双曲线上且关于x轴对称，结合已知条件得到，应用离心率公式求即可.四、解答题（本大题共6小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.已知等差数列中，为其前n项和，．（1）求数列的通项公式；（2）求．【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）根据题意列出方程组，求得首项和公差，即可求得数列的通项公式.（2）由（1）可得，利用裂项求和即可求得答案.【小问1详解】由题意等差数列中，，设公差为d，可得，解得，故.【小问2详解】由（1）可得，故 .18.已知以点为圆心的圆与直线相切．（1）求圆C的方程；（2）过点的作圆C的切线，求切线方程．【答案】（1）；（2）和．【解析】【分析】（1）由点到直线距离公式得圆半径后可得圆方程；（2）分类讨论，检验斜率不存在的直线是否为切线，斜率存在时设出切线方程，由圆心到切线的距离等于半径得结论．【小问1详解】由题意，圆半径不，所以圆方程为；【小问2详解】易知过点斜率不存在的直线是圆的切线，再设斜率存在的切线方程为，即，，解得，直线方程为，即．所以切线方程是和．19.已知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，且.（1）求抛物线的方程、焦点坐标、准线方程；（2）求所在的直线方程. 【答案】(1)抛物线的方程为，焦点，准线方程为；(2)或.【解析】【分析】(1)根据给定条件求出p值即可求解；(2)设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理并借助弦长公式求解即得.【详解】(1)因点在抛物线方程上，则，所以抛物线的方程为，焦点，准线方程为：；(2)显然，直线不垂直y轴，设直线方程为：，由消去x得：，设，则有，于是得，解得，即直线AB：，所以所在的直线方程：或.20.如图，四棱锥中，平面，，E为中点．（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】【分析】（1）证明，，可得平面.（2）分别求平面和平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.【小问1详解】连接，如图所示：中，，，为等腰三角形，E为中点，∴，平面，平面，∴，平面，所以平面.【小问2详解】以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，有，，，，，， 平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则，令，得,∴,二面角的平面角为，，所以二面角的余弦值为.21.已知数列的前n项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用，，可得为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求得通项公式；（2）利用错位相减法求和即可求．【详解】（1）当时，，解得，当时，由可得，两式相减可得，即，所以是以为首项，以为公比的等比数列，所以 （2）由（1），，则，两式相减得，所以．点睛】方法点睛：由数列前项和求通项公式时，一般根据求解，考查学生的计算能力.22.设a，b是实数，若椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆E的标准方程；（2）过椭圆E的上顶点P分别作斜率为，的两条直线与椭圆交于C，D两点，且，试探究过C，D两点的直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；否则，说明理由.【答案】（1）；（2）过定点，坐标为.【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法进行求解即可；（2）根据直线斜率公式和一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【小问1详解】因为椭圆的离心率为，所以有. 椭圆过点，所以，由可解：，所以该椭圆方程为：；【小问2详解】由（1）可知：，设直线的方程为：，若，由椭圆的对称性可知：，不符合题意，当时，直线的方程与椭圆方程联立得：，设，，，因为，所以，把代入得：，所以有或，解得：或，当时，直线，直线恒过定点，此时与点重合，不符合题意，当时，，直线恒过点， 当直线不存在斜率时，此时，，因为，所以，两点不在椭圆上，不符合题意，综上所述：过C，D两点直线过定点，定点坐标为.【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数关系是解题的关键.